习题 11, § 2

令$E$为右$A$模。如果 $E$ 的每个有限生成的子模都是有限呈现的，$E$ 被称为“伪相干”；伪相干模的每个子模都是伪相干的。如果$E$是伪相干的并且是有限生成的（因此是有限呈现的），则它被称为*相干*。

(a) 设$0 \to E' \to E \to E'' \to 0$为右$A$模块的正合序列。证明，如果 $E$ 是伪相干（或相干）并且 $E'$ 是有限生成的，则 $E''$ 是伪相干（或相干）。证明，如果 $E'$ 和 $E''$ 是伪相干的（或相干的），那么 $E$ 也是伪相干的。证明，如果 $E$ 和 $E''$ 是相干的，那么 $E'$ 也是相干的（使用 no. 8 的习题 6 和引理 9）。

(b) 设$E$为相干$A$模块，$E'$为伪相干（或相干）$A$模块。证明，对于每个同态 $u : E \to E'$，$\operatorname{Im}(u)$ 和 $\operatorname{Ker}(u)$ 是相干的，并且 $\operatorname{Coker}(u)$ 是伪相干的（或相干的）（使用 (a)）。

(c) 证明伪相干（或相干）模的每个直和（或每个有限直和）都是伪相干（或相干）模。

(d) 如果$E$是伪相干模和$M, N$是$E$的相干子模，则证明$M + N$和$M \cap N$是相干的（使用（a）和（c））。

(e) 假设 $A$ 是可交换的。证明，如果 $E$ 是相干的 $A$ 模，并且 $F$ 是相干的（或伪相干的）$A$ 模，则 $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ 是相干的（或伪相干的）$A$ 模。 （约化对于$F$是相干的情况，并考虑$E$的有限表示，然后使用（b）。）