习题 3, § 2

设 A 为域 K 上两个不定式多项式的环 $K[X, Y]$。 (a) 考虑 A 中的主要理想 $b = (X)$、$c = (Y)$，它们是自由A-模，并且其交 $b \cap c = (XY)$ 也是自由的。证明 $a = b + c$ 不是平面 A-模，尽管 a 是无扭转的 (cf. 代数、章 III, § 2、习题 4)。 (b) 在A-模$A^2$中，令R为元素$(x, -x)$的子模由……组成，其中$x \in a$。在A-模$A^2/R$中，令M、N为子模，分别为$A^2$的因子子模的像；证明 M 和 N 与 A 同构的，但 $M \cap N$ 不是平坦的 A-模。