习题 7, § 2

(a) 当记号为习题 6 时，证明如果 M 为投射模，则$\lambda(M) = -1$ 或 $\lambda(M) = +\infty$。如果 A 是左诺特环，则对于每个 A-模 M，有 $\lambda(M) = -1$ 或 $\lambda(M) = +\infty$。

(b) 如果$a$是环$A$的左理想，且不是有限生成的，则$A_s/a$是单生$A$模，不允许有限表示，在其他字$\lambda(A_s/a) = 0$（no. 8，引理9）中。

(c) 给出环$A$的单生左理想$a$的例，使得$A_s/a$（具有有限表示）承认不是有限生成的右$A$模的对偶。

(d) 令$K$为交换域、$E$向量空间$K^{(\mathbf{N})}$、$E$的$(e_n)$典范基以及$T$张量代数 $E$，因此有有限乘积$e_{i_1}e_{i_2}\ldots e_{i_k}$的基由……组成（$k \geqslant 0, i_j \in \mathbf{N}$对于所有$j$）。对于给定的整数$n$，令$b$为由乘积生成的$T$的两侧理想

和 $e_{n+k}e_n$ 对于所有 $k \geqslant 1$；令$A$为商环$T/b$，对于每个整数$m$，令$a_m$为$A$中$e_m$的典范像。证明，如果$M = A_s/Aa_0$，则$\lambda(M) = n$（观察到，对于$m \leqslant n - 1$，$a$的左边湮没子是$Aa_{m+}$，并使用习题 6(b)）。