假设 (10) 的两行是精确的。然后：

(i) 如果 c 是单射的，我们有

(11) $\operatorname{Im}(b) \cap \operatorname{Im}(u') = \operatorname{Im}(u' \circ a) = \operatorname{Im}(b \circ u).$

(ii) 如果 a 是满射，我们有

(12) $\operatorname{Ker}(b) + \operatorname{Im}(u) = \operatorname{Ker}(v' \circ b) = \operatorname{Ker}(c \circ v).$

让我们证明（i）。显然

相反，设$x \in \operatorname{Im}(b) \cap \operatorname{Im}(u')$。存在$y \in B$使得$x = b(y)$。作为 $v' \circ u' = 0$，我们有 $0 = v'(x) = v'(b(y)) = c(v(y))$、从而 $v(y) = 0$，因为 c 是单射的。由于$(u, v)$是正合序列，因此存在$z \in A$使得$y = u(z)$，从而$x = b(u(z))$。

让我们证明(ii)。由$v \circ u = 0$和$v' \circ u' = 0$可知

相反，令$x \in \operatorname{Ker}(v' \circ b)$。那么 $b(x) \in \operatorname{Ker}(v')$ 并且存在 $y' \in A'$ 这样 $u'(y') = b(x)$，因为序列 $(u', v')$ 是精确的。由于 a 是满射，因此存在 $y \in A$ 使得 $a(y) = y'$, 从而 $b(x) = u'(a(y)) = b(u(y))$；接下来是$x - u(y) \in \operatorname{Ker}(b)$，从而完成证明。

那么存在且仅有一个同态$u_1 : \operatorname{Ker}(a) \to \operatorname{Ker}(b)$和且仅有一个同态$u_2 : \operatorname{Coker}(a) \to \operatorname{Coker}(b)$使得图表

和

是可交换的，i 和 j 表示典范嵌入，p 和 q 典范满射。

如果$x \in \mathrm{Ker}(a)$，则$a(x) = 0$和$b(u(x)) = u'(a(x)) = 0$，因此$u(x) \in \mathrm{Ker}(b)$，并且$u_1$的存在性和唯一性则为直接的。类似地，我们有 $u'(a(A)) = b(u(A)) \subset b(B)$，然后通过商 $u'$ 得到同态 $u_2 : \mathrm{Coker}(a) + \mathrm{Coker}(b)$，这是 (15) 唯一可交换的同态。

现在让我们从交换群的*交换*图表(10)开始； 对应到引理 1 图表

其中 $i, j, k$ 是典范嵌入、$p, q, r$ 典范满射和 $u_1, u_2$（分别为 $v_1, v_2$）同态与 $u, u'$（分别为 $v, u'$）通过引理规范关联 1. 立即验证这个图表是可交换的。

（一）$v_1 \circ u_1 = 0$；如果 $u'$ 是单射的，则序列 $(u_1, v_1)$ 是精确的。 (ii) $v_2 \circ u_2 = 0$；如果 $v$ 是满射，则序列 $(u_2, v_2)$ 是精确的。 (iii) 假设 $u'$ 是单射，$v$ 是满射。那么存在且仅有一个同态 $d : \mathrm{Ker}(c) \to \mathrm{Coker}(a)$ 和以下性质：如果$x \in \mathrm{Ker}(c)$、$y \in B$ 和$t' \in A'$ 满足关系 $v(y) = k(x)$ 和$u'(t') = b(y)$，则$d(x) = p(t')$。而且序列

(*)

是准确的。

让我们证明（i）。由于$u_1$和$v_1$分别与$u$和$v$到$\mathrm{Ker}(a)$和$\mathrm{Ker}(b)$的限制具有相同的图，因此我们有$v_1 \circ u_1 = 0$。然后

但是，通过命题 1，(i)，如果 $u'$ 是单射的，则$\mathrm{Ker}(v_1) = \mathrm{Im}(j \circ u_1) = \mathrm{Im}(u_1)$。

让我们证明(ii)。由于$u_2$和$v_2$是由$u$和$v$取商得到的，所以显然$v_2 \circ u_2 = 0$。假设 $v$ 是满射；由于 $q$ 和 $p$ 是满射的，因此根据假设和命题 1，(ii)

最后让我们证明(iii)。对于$x \in \mathrm{Ker}(c)$，存在$y \in B$，使得$v(y) = k(x)$，因为$v$是满射；此外，$v'(b(y)) = c(k(x)) = 0$，因此存在一个*唯一*$t' \in A'$，使得$u'(t') = b(y)$，因为$u'$是单射的。我们现在证明元素$p(t') \in \mathrm{Coker}(a)$是元素$y \in B$*独立*，使得$v(y) = k(x)$。因为如果$y' \in B$是另一个元素，使得$v(y') = k(x)$，则$y' = y + u(z)$，其中$z \in A$；我们证明，如果 $t'' \in A'$ 使得 $u'(t'') = b(y')$ 那么 $t'' = t' + a(z)$；为了

最后得出$p(t'') = p(t') + p(a(z)) = p(t')$。那么就可以定义集合$d(x) = p(t')$和映射$d : \mathrm{Ker}(c) \to \mathrm{Coker}(a)$。

如果现在$x_1, x_2$是$\mathrm{Ker}(c)$和$x = x_1 + x_2$的元素，我们取$B$的元素$y_1, y_2$，这样$v(y_1) = k(x_1)$和$v(y_2) = k(x_2)$以及选择对于$y \in B$ 元素$y_1 + y_2$；那么直接的就是$d(x) = d(x_1) + d(x_2)$，因而$d$是*同态*。

假设$x = v_1(x')$对于某些$x' \in \mathrm{Ker}(b)$；然后取$y \in B$为元素$j(x')$。作为$b(j(x')) = 0$，可以得出$d(x) = 0$，因而$d \circ v_1 = 0$。相反，假设$d(x) = 0$。在上面的记号中，我们有$t' = a(s)$，其中$s \in A$。在这种情况下，我们有$b(y) = u'(t') = u'(a(s)) = b(u(s))$，或$b(y - u(s)) = 0$。因而，元素$y - u(s)$等于形式$j(n)$，其中$n \in \mathrm{Ker}(b)$，我们有$k(x) = v(y) = v(u(s) + j(n)) = v(j(n)) = k(v_1(n))$；由于 $k$ 是单射，$x = v_1(n)$，这证明序列 (*) 在 $\mathrm{Ker}(c)$ 处精确。

最后，我们有（总是在同一个记号）

因而$u_2 \circ d = 0$。相反，假设$\mathrm{Coker}(a)$的元素$w = p(t')$使得$u_2(w) = u_2(p(t')) = 0$（其中$t' \in A$）。然后$q(u'(t')) = 0$，因而$u'(t') = b(y)$对于一些$y \in B$；作为$v'(u'(t')) = 0$，我们有$v'(b(y)) = 0$，因而$c(v(y)) = 0$，在其他字$v(y) = k(x)$对于一些$x \in \mathrm{Ker}(c)$，以及定义$w = d(x)$，这表明序列（*）精确于

焦炭（一）。从 (i) 中可以看出，它在 Ker(b) 处精确，在 (ii) 中它在 Coker(b) 处精确，从而完成了 (iii) 的证明。

(i) 如果 $u'$，a 和 c 是单射的，b 是单射的。 (ii) 如果 v、a 和 c 是满射，则 b 是满射。

断言 (i) 是命题 2 的断言 (i) 的推论：对于$\mathrm{Ker}(a) = 0$ 和$\mathrm{Ker}(c) = 0$，因而$\mathrm{Ker}(b) = 0$。

断言 (ii) 是命题 2 的断言 (ii) 的推论：对于$\mathrm{Coker}(a) = 0$ 和$\mathrm{Coker}(c) = 0$，因而$\mathrm{Coker}(b) = 0$。

(i) 如果 b 是单射且 a 和 v 是满射，则 c 是单射。 (ii) 如果 b 是满射且 c 和 $u'$ 是单射，则 a 是满射。

为了证明 (i) 考虑图表

其中$a'$是映射，与b到$u(A)$的限制相同的图，w和$w'$是典范嵌入；显然这个图表是可交换的并且它的行是精确的。此外 $w'$ 是单射的，并且假设 v 是满射的；那么到命题 2 时，(iii) 我们有正合序列

因为 b 是单射且 $a'$ 是满射； 从而$\mathrm{Ker}(c) = 0$。

为了证明 (ii) 考虑图表

其中，此时$c'$是映射，与c到v(B)的限制具有相同的图，并且w和w'分别与v和v'具有相同的图；这个图表是可交换的并且它的行是精确的。此外，w 是满射的，并且通过假设 u' 是单射的；那么到命题 2 时，(iii) 我们有正合序列

因为 b 是满射而 c' 是单射； 从而焦化器 (a) = 0。