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章 I(*)

平模

除非另有说明，假设此章中考虑的所有环都具有单位元；所有环同态均假定为映射单位元至单位元。 环$A$中的子环意味着$A$中的子环包含单位元。

如果$A$是环，$M$是左$A$模，$U$（分别是$V$）是$A$（分别是$M$）的加法子群，请记住$UV$或$U . V$是用于表示乘积$uv$生成的$M$的加法子群，其中$u \in U, v \in V$（代数，章VIII, § 6, no. 1）。如果$a$是$A$的理想，我们写成$a^0 = A$。对于任何集合 $E$、$1$（如果不引起混淆则为 1）用于表示 $E$ 的恒等映射本身。

回想一下，公理对于模意味着如果$E$是环$A$的左（或右）模并且$1$表示$A$的单位元，那么$1.x = x$ （分别为$x.1 = x$）对于所有$x \in E$（代数、章II, §1, no. 1）。如果 $E$ 和 $F$ 是两个左（或右）$A$ 模块，请回想一下 $\mathrm{Hom}_A(E, F)$（或简称 $\mathrm{Hom}(E, F)$）用于表示 $E$ 到 $F$ 的同态中的加法群（如前所述， § 1, no. 2）。由于滥用记号，$O$经常被用来表示模减少到单位元素。