此外，这些条件意味着： (c) 典范同态 $\gamma_M : \operatorname{gr}(A) \otimes_{\operatorname{gr}_0(A)} \operatorname{gr}_r(M) \to \operatorname{gr}(M)$ 是双射。 相反，如果 $\mathfrak{g}$ 幂零，(c) 意味着 (a) 和 (b)。

(a)和(b)的等价由正合序列推出

考虑下一步图表

其中注 $(\mathfrak{g}^n/\mathfrak{g}^{n+1}) \otimes_A (M/\mathfrak{g}M)$ 被规范地等同于 $(\mathfrak{g}^n/\mathfrak{g}^{n+1}) \otimes_{A/\mathfrak{g}} (M/\mathfrak{g}M)$。这个图表可以通过$\gamma_n$的定义交换，并且它的行是精确的。如果 (b) 成立，$0$ 和 $\theta_{n+1}$ 是双射的，因此是 $\gamma_n$ 乘以余核的定义，因此 (b) 蕴涵 (c)。相反，假设 $\mathfrak{g}$ 是幂零的，让我们证明 (c) 蕴涵 (b)；我们将通过从$n$下降归纳来论证，因为$\mathfrak{g}^n \otimes_A M = \mathfrak{g}^n M = 0$为$n$足够大。假设在图表 (1) 中，$\gamma_n$ 和 $\theta_{n+1}$ 是双射；那么$\theta_n$凭借章I, § 1, no. 4，推论1至命题2。

(C) 含义 (ii) $\Rightarrow$ (iv)

如果 (ii) 成立，则 (ii') 也成立 注 1； 命题 1 那么表明$\gamma_M$ 是同构。另一方面，我们已经知道 (ii) 蕴含 (iii)，因此 $M/\mathfrak{g}M$ 是一个扁平的 $(A/\mathfrak{g})$ 模块，它完成了 (ii) 蕴含 (iv) 的证明。

注 (2)。 命题 1 表明，如果 $\mathfrak{g}$ 幂零，(iv) 蕴含 (iii)；考虑到*注* 1，我们因此在这种情况下证明了(i)、(ii)、(iii)和(iv)是等价的。

(D) 等价 (iv) $\Leftrightarrow$ (v)

对于所有 $n \geq 1$，$M/\mathfrak{g}^n M$ 具有规范的 $(A/\mathfrak{g}^n)$ 模块结构。如果通过$(\mathfrak{g}/\mathfrak{g}^n)$-adic过滤进行过滤，如果$m < n$则为$\mathrm{gr}_m(M/\mathfrak{g}^n M) = \mathrm{gr}_m(M)$，如果$m \geq n$则为$\mathrm{gr}_m(M/\mathfrak{g}^n M) = 0$，则为直接的。对于所有$k \geq 1$，设$A_k = A/\mathfrak{g}^k$，$\mathfrak{g}_k = \mathfrak{g}/\mathfrak{g}^k$，$M_k = M/\mathfrak{g}^k M$；设 (iv), (resp. $(v)_k$) 表示由 (iv) (resp. (v)) 通过替换 $A, \mathfrak{g}, M$ 通过 $A_k, \mathfrak{g}_k, M_k$ 导出的断言。由刚才可知，(iv)相当于“对于所有$k \geq 1$，$(iv)_k$”，显然(v)相当于“对于所有$k \geq 1$，$(v)_k$”。那么只要为所有$k$建立等价$(iv)_k \Leftrightarrow (v)_k$就足够了，或者还可以证明当$3$是*幂零*时(iv)$\Leftrightarrow$(v)。现在 (注 2) 我们已经看到，在这种情况下 (iv) 等价于 (i)。由于$M/\mathfrak{g}^n M$与$M \otimes_A (A/\mathfrak{g}^n)$同构的，(i) 蕴涵(v) (章I, § 2, no. 7，推论2至命题8)；此外，显然 (v) 意味着 (i)。因此，我们在所有情况下都显示了等价 (iv) $\Leftrightarrow$ (v)，并且在 $3$ 幂零的情况下也显示了定理的所有性质。

(E) 蕴含 (v) $\Rightarrow$ (i) 当 $A$ 为诺特且 $M$ 理想情况下 Hausdorff

足以证明对于$A$典范映射$j : a \otimes_A M \to M$的每个理想$a$都是*内射*（章I, § 2, no. 3，命题1）。让$x \in \mathrm{Ker}\, j$； $a \otimes_A M$ 是具有 $\mathfrak{g}$-adic 拓扑的 Hausdorff，足以验证对于每个整数 $n > 0$，$x \in \mathfrak{g}^n(a \otimes_A M)$。令$f : \mathfrak{g}^n a \to a$为典范嵌入；只要证明 $x \in \mathrm{Im}(f \otimes 1_M)$ 就足够了；因为如果$b \in \mathfrak{g}^n$，$a \in a$和$m \in M$，$f \otimes 1$下的像，$(\mathfrak{g}^n a) \otimes_A M$的元素$(ba) \otimes m$是$a \otimes_A M$的元素$(ba) \otimes m = b(a \otimes m)$，因此$\mathrm{Im}(f \otimes 1_M) \subset \mathfrak{g}^n(a \otimes_A M)$。根据克鲁尔的定理（§ 3, no. 2，定理2），存在整数$k$使得$a_j = a \cap \mathfrak{g}^k \subset \mathfrak{g}^n a$；如果$i : a_j \to a$是典范嵌入，那么就足以证明$x \in \operatorname{Im}(i \otimes 1_M)$。现在，用 $p : a \to a/a_k$ 和 $h : a/a_k \to A/\mathfrak{g}^k$ 典范映射表示，有一个可交换的图表

其中第一行是准确的。只要证明 $x \in \operatorname{Ker}(p \otimes 1_M)$ 就足够了，并且，正如 $x \in \operatorname{Ker} j$ 乘以假设一样，也足以证明映射 $h \otimes 1_1$ 是单射的。现在，也可以写成（代数，章II, § 3, no. 6，推论3到命题6）

并且，由于 $h$ 是单射的，并且根据 (v)，$M/\mathfrak{g}^k M$ 是平面 $(A/\mathfrak{g}^k)$ 模，因此完成了证明。

我们将更普遍地看到，对于每个有限生成的$A$-模$N$，$N \otimes_A M$是具有$3$-adic拓扑的Hausdorff。因为$N_{(B)} = N \otimes_A B$是有限生成的$B$模块，而$B$模块$N \otimes_A M$凭借张量积的结合性被规范地标识为$N_{,,} \otimes_B M$。令$\mathfrak{L}$为$B$的雅各布森根式；由于$\mathfrak{g} B$包含在$\mathfrak{L}$中，因此$N \otimes_A M$上的$\mathfrak{g}$-adic 拓扑比$N_{(B)} \otimes_B M$上的$\mathfrak{L}$-adic 拓扑更容易被识别为更细拓扑；但后者拓扑是Hausdorff，因为$N_{,,} \otimes_B M$是有限生成的$B$模（no. 1，例1），从而结论。

条件 (a) 通过章 I, §2, no. 7 隐含 (b)，推论 2 和 3 到命题 8 并且$M/\mathfrak{g} M$ 同构于 $M \otimes_B (B/\mathfrak{g} B)$。假设条件 (b) 成立；为了证明$M$是一个扁平的$B$模块，我们将no. 2中的应用定理 1，其中$A$替换为$B$，$\mathfrak{g}$替换为$\mathfrak{g} B$。因此，只要证明典范映射 $f : \mathfrak{J}B \otimes_B M \to \mathfrak{J}M$ 是单射的就足够了。令$f_1$为典范映射$\mathfrak{J} \otimes_A B \to \mathfrak{J}B$，$f_2$典范同构$\mathfrak{J} \otimes_A M \to (\mathfrak{J} \otimes_A B) \otimes_B M ; f \circ (f_1 \circ 1_M) \circ f_2$为典范映射$f' : \mathfrak{J} \otimes_A M \to \mathfrak{J}M$，这很容易验证。现在$f'$是同构，因为$M$是一个平坦的$A$模块，而$f_1$是同构，因为$B$是平坦的，$A ; f$是同构。

设$p : A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B$为典范同态； $M/\mathfrak{J}M$上的$(A/\mathfrak{J})$模块结构通过$p$从其$(B/\mathfrak{J}B)$模块结构导出，与$M \otimes_A (A/\mathfrak{J})$上的同构。那么，如果$M$是一个扁平的$A$模块，那么$M/\mathfrak{J}M$是一个扁平的$(A/\mathfrak{J})$模块，因此如果$p$是同构，那么它也是一个扁平的$(B/\mathfrak{J}B)$模块；因此，我们在这种情况下证明了 (c) $\Rightarrow$ (b)。

事实上我们知道$\hat{A}$是诺特环（$§ 3$，编号4，命题8）和一个扁平的$A$模块（$§ 3$，编号4，定理3），即$\mathfrak{J} \hat{A} = \hat{\mathfrak{J}}$ ($§ 2$, no. 12, 命题 16) 并且典范同态 $A/\mathfrak{J} \to \hat{A}/\hat{\mathfrak{J}}$ 是双射 ($§ 2$, no. 12, 命题 15);因此可以应用命题 3。

由于 $B$ 与 $2$-adic 拓扑是 Zariski 环，$\hat{B}$ 是一个忠实的扁平 $B$ 模块（$§ 3$、no. 5、命题 9），$M$ 是规范同构的至$M \otimes_B \hat{B}$（$§ 3$，第4，定理3）；立即验证该典范同构是$\hat{M}$上的$A$模块结构的同构到源自$M$上的$M \otimes_B \hat{B}$上的$A$模块结构。 应用命题 4 个章 I、$§ 3$、no. 2，其中 $R$ 替换为 $B$、$S$ 替换为 $A$、$E$ 替换为$\hat{B}$、$F$和$M$，我们看到$M$是一个扁平的$A$模，$\hat{M}$是一个扁平的$A$模是充分必要的。此外，$\hat{M}$是有限生成的$\hat{B}$模，$\mathfrak{J} \hat{B}$包含在$\mathfrak{Q} = \mathfrak{Q} \hat{B}$中，因此包含在$\hat{B}$的Jacobson根式中（$§ 3$，编号4，命题8）；因此 $\hat{M}$ 是关于 $\mathfrak{J} \hat{A}$ (命题 2) 的理想 Hausdorff $A$ 模。因此，根据推论，条件 (b) 和 (c) 等价于命题 3。