习题 6, § 5

令$A$是可交换的诺特环，$\mathfrak{g}$是$A$的理想，$M$是$A$模。证明定理 1 的条件 (v) 等价于： (v') 对于每个有限生成的$A$-模$N$和$N$的每个子模$N'$，典范映射$(M \otimes_A N')^\wedge \to (M \otimes_A N)^\wedge$（其中两侧是关于$M \otimes_A N'$上$\mathfrak{g}$-adic拓扑的Hausdorff完成，并且$M \otimes_A N$ 分别）是单射的。 （为了证明 (v) 蕴含 (v')，请按照定理 1 的证明的部分 (E) 进行论证。要证明 (v') 蕴含 (v)，请考虑 $A$-模块 $N$ 被 8 的幂消灭。）