Exercice 6, § 5

Soient $A$ un anneau commutatif noethérien, $\mathfrak{J}$ un idéal de $A$, $M$ un $A$-module. Montrer que la condition (v) du th. 1 équivaut à la suivante :

(v') Pour tout $A$-module de type fini $N$ et tout sous-module $N'$ de $N$, l’application canonique $(M \otimes_A N')^\sim \to (M \otimes_A N)^\sim$ (où les deux membres sont les séparés complétés pour les topologies $\mathfrak{J}$-adiques de $M \otimes_A N'$ et $M \otimes_A N$ respectivement) est injective. (Pour prouver que (v) entraîne (v'), raisonner comme dans la partie E) de la démonstration du th. 1. Pour voir que (v') entraîne (v), considérer des $A$-modules $N$ annulés par une puissance de $\mathfrak{J}$.