Bài tập 6, § 5

Cho $A$ là một vành Noether giao hoán, $\mathfrak{g}$ là một iđêan của $A$ và $M$ là một $A$-môđun. Chứng minh rằng điều kiện (v) của Định lý 1 tương đương với điều sau: (v') Với mọi $A$-môđun sinh hữu hạn $N$ và mọi môđun con $N'$ của $N$, ánh xạ chính tắc $(M \otimes_A N')^\wedge \to (M \otimes_A N)^\wedge$ (trong đó hai vế là các hoàn thành Hausdorff tương ứng đối với các tôpô $\mathfrak{g}$-adic trên $M \otimes_A N'$ và $M \otimes_A N$) là đơn ánh. (Để chứng minh rằng (v) kéo theo (v'), hãy lập luận như trong phần (E) của chứng minh Định lý 1. Để thấy rằng (v') kéo theo (v), hãy xét các $A$-môđun $N$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của 8.)