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4. 完整提升环

1. 强相对素多项式

设$R$为交换环。如果主理想 $Rx$ 和 $Ry$ 互质，则 $R$ 的两个元素 $x, y$ 被称为*强互质*，在其他字（章 II, § 1, no. 2），如果 $R x + R y = R$；相当于说存在 $R$ 中的两个元素 $a, b$ 使得$ax + by = 1$。

2. 限制正式幂级数

注在这样的环中，理想$3 \in \mathscr{B}$是开放和封闭的（一般拓扑，章111，§ 2, no. 1，命题4的推论）。对于所有 $3 \in \mathscr{B}$，商拓扑环 $A/\mathfrak{J}$ 是离散的；对于$8 \in \mathscr{B}$，$8' \in \mathscr{B}$，$\mathfrak{J}' \subset 8$，令

If $A$ is linearly topologized, the restricted formal power series in $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ form a subring of $A[[X_1, \ldots, X_p]]$, denoted by $A\{X_1, \ldots, X_p\}$: for if

那么$c''_{n_1 \ldots n_p} = \sum c_{r_1 \ldots r_p} c'_{s_1 \ldots s_p}$对于所有系统$(r_k), (s_k)$使得$r_k + s_k = n_k$对于$1 \leq k \leq p$；我们结论，如果$n_k \geq 2m$，则$r_k \geq m$或$s_k \geq m$，因此，由于$\mathfrak{z}$是一个理想，$c''_{n_1 \ldots n_p} \in \mathfrak{g}$只要$n_k \geq 2m$至少有一个$k$，这就建立了我们的断言。此外，受限制形式幂级数的每个导数$\partial T / \partial X_i$（$1 \leq i \leq p$）都是受限制的，紧随定义以及邻域$\mathfrak{z} \in \mathscr{B}$是$\mathbf{A}$的加性子群这一事实。

如果$\mathbf{A}$是离散的，则受限形式幂级数的环就是多项式环$\mathbf{A}[X_1, \ldots, X_n]$。

让我们始终假设$\mathbf{A}$是线性拓扑的，并让$\mathscr{B}$是$\mathbf{A}$理想的$\mathbf{A}$由……组成中0的邻域的基本系统；对于所有$\mathfrak{g} \in \mathscr{B}$，令$p_\mathfrak{g}: \mathbf{A} \to \mathbf{A}/\mathfrak{g}$为典范同态。到定义，对于每个受限正式幂级数$T \in \mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$，

显然

是环的逆系（相对于有向索引集合$\mathscr{B}$），$(\bar{p}_\mathfrak{g})$是同态$\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\} \to (\mathbf{A}/\mathfrak{g})[X_1, \ldots, X_p]$的逆系；由于每个多项式都是受限形式幂级数，因此 $\bar{p}_\mathfrak{g}$ 是满射；它的核$N_\mathfrak{g}$是限制形式幂级数的$\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$由……组成的理想，其所有系数都为属于到$\mathfrak{g}$；我们将给$\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$（线性）拓扑，其中$N_\mathfrak{g}$（对于$\mathfrak{g} \in \mathscr{B}$）形式，邻域的基本系统为0（拓扑显然仅取决于$\mathbf{A}$）。然后由一般拓扑、章III, § 7, no. 3、命题2得出

是一个严格的态射，其核是$\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$中$\{0\}$的闭包，并且其像密集于

3. 亨塞尔引理

在拓扑环 $A$ 中，如果 $O$ 是序列 $(x^n)_{n \geq 0}$ 的极限，则元素 $x$ 被称为“拓扑幂零”。 If $A$ is a linearly topologized commutative ring, to say that $x$ is topologically nilpotent means that for every open ideal $\mathfrak{J}$ of $A$ the canonical image of $x$ in $A/\mathfrak{J}$ is a nilpotent element of that ring. 如果$\mathfrak{r}_g$是$A/\mathfrak{J}$的零根，则显然$(\mathfrak{r}_g)$是子集的逆系并且$A$的拓扑幂零元的集合$t$是$\mathfrak{r} = \lim \mathfrak{r}_g$的逆像典范同态$A \to \lim A/\mathfrak{J}$；因此它是$A$的“封闭理想”。 如果 $A$ 也是 Hausdorff 和 完全，则该理想包含在 $A$ 的 Jacobson 根式中，并且，对于元素 $x \in A$ 可逆，其类 mod 是充分必要的。 $t$ 在 $A/t$ (§ 2, no. 13, 引理 3) 中可逆。

注，如果$A$是环且$m$是$A$的双面理想，$m$的元素相对于*m-adic*拓扑在拓扑上是幂零的。

定理 1（亨塞尔）。令 $A$ 为完全豪斯多夫线性拓扑交换环。令$m$为$A$的封闭理想，其元素拓扑幂零。令$B = A/m$为拓扑环与$\varphi : A \to B$典范映射的商。令$R$为$A\{X\}$中的限制形式幂级数，$\overline{P}$为$B[X]$中的一元多项式，$\overline{Q}$为$B\{X\}$中的限制形式幂级数。假设$\overline{\varphi}(R) = \overline{P} \cdot \overline{Q}$、$\overline{P}$和$\overline{Q}$在$B\{X\}$中强互质。那么存在一个单调多项式 $P \in A[X]$ 的唯一有序对 $(P, Q)$ 由……组成和一个受限形式幂级数 $Q \in A\{X\}$ 使得 (4)

证明分为四步。在前三个中，我们假设 $A$ 是离散的，在这种情况下 $R$ 和 $\overline{Q}$ 是多项式。

(I)$m^2 = 0$ 令 $S, T$ 为 $A[X]$ 的两个多项式，使得 $S$ 为单调且$\bar{\varphi}(S) = \overline{P}$、$\bar{\varphi}(T) = \overline{Q}$； no. 1的命题2表明$S$和$T$强互质；因此 (no. 1, 命题 1) 存在$A[X]$多项式$(S', T')$的唯一有序对，使得 (5)

(2) $m$ 幂零的 令$n$为最小的整数，使得$m^n = 0$，让我们通过归纳对$n > 2$进行论证，定理已被证明为$n = 2$。设$A = A/m^{n-1}$，$m' = m/m^{n-1}$；如${m'}^{n-1} = 0$，$A'[X]$中存在唯一的多项式有序对$(P', Q')$，使得$P'$是单调的，$R' = P'Q'$、$\psi(P') = \overline{P}$和$\psi(Q') = \overline{Q}$，其中$\psi$表示典范同态 $A' \to A'/m' = B$、$\theta$、典范同态、$A \to A'$ 和 $R' = \tilde{\theta}(R)$。另一方面，如$(m^{n-1})^2 = 0$，$A[X]$中存在唯一的多项式有序对$(P, Q)$，使得$P$是单次的且$R = PQ$、$\bar{\theta}(P) = \overline{P}$、$\bar{\theta}(Q) = \overline{Q}$；作为$\phi = \psi \circ \theta$，这表明$P$和$Q$满足的存在和唯一性 (4)；此外，$P'$和$Q'$与归纳假设强互质，因此$P$和$Q$也是如此。

(3) 是离散的

注在这种情况下$m$不再一定是幂零的，但它始终是假设的*nilideal*。 令$P_0$、$Q_0$为$A[X]$的两个多项式，使得$\bar{\varphi}(P_0) = \overline{P}$、$\bar{\varphi}(Q_0) = \overline{Q}$和$P_0$是单调的。 让我们考虑由$R - P_0 Q_0$的系数生成的$A$的理想$n$；它是有限生成的并包含在$m$中，因此它是*幂零*（章11，§ 2, no. 6，命题15）和定义，如果$\psi : A \to A/n$是典范映射，那么$\bar{\psi}(R) = \bar{\psi}(P_0) \bar{\psi}(Q_0)$。 此外，$\bar{\psi}(P_0)$和$\bar{\psi}(Q_0)$是强互质，如下从$\overline{P}$上的假设和$\overline{Q}$以及no. 1的命题2应用于典范同态$A/n \to A/m$。 根据情况(2)，$A[X]$中存在有序对$(P, Q)$多项式，使得$P$是单调的并且关系(4)成立。 $\overline{P}$ 和 $\overline{Q}$ 强互质的事实也意味着，$P$ 和 $Q$ 在 $A[X]$ 中凭借 no. 1、命题 2 强互质，因为 $m$ 包含在 $A$ 的雅各布森根式中。 最后假设$P_1$、$Q_1$是$A[X]$满足(4)中的两个多项式，且$P_1$是单调的，令$n_1$是由$P - P_1$的系数和$Q - Q_1$的系数生成的$A$的有限生成理想；由于$n_1$包含在$m$中，因此它是幂零的，并且如果$\psi_1 : A \to A/n_1$是典范映射，则$\bar{\psi}_1(P) = \bar{\psi}_1(P_1)$和

(4) 一般情况

设$\mathscr{B}$为$A$理想的$A$由……组成中0的邻域的基本系统。对于所有$\mathfrak{s} \in \mathscr{B}$，令$f_{\mathfrak{s}}$为典范映射$A \to A/\mathfrak{s}$，$\phi_{\mathfrak{s}}$典范映射