Bourbaki

习题 2, § 4

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交换代数, III, 255

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 A 为局部环，其最大理想，k=A/mk = A/m 为剩余类域，f:A→kf : A \to k 典范同态。令 P∈A[X]P \in A[X] 为次数 n 的一元多项式。我们写 B=A[X]/P.A[X]B = A[X]/P.A[X] 并用 B 中的 X 的 xx 典范像表示。

(a) 设 Q、Q′Q' 为A[X]A[X] 中的两个强互质一元多项式，使得 P=QQ′P = QQ'。证明环 B 是理想B.Q(x)B.Q(x) 和B.Q′(x)B.Q'(x) 的直和。

(b) 相反，设 B=b⊕b′B = b \oplus b' 为 B 的分解，作为两个理想的直和。证明 (a) 的假设 A[X]A[X] 满足中存在多项式 Q, Q′Q' 且b=B.Q(x),b′=B.Q′(x)b = B.Q(x), b' = B.Q'(x)。 （首先证明b/mBb/mB和b′/mBb'/mB是由像在B/mBB/mB的一元多项式Q0∈f~(b),Q0′∈f~(b′)Q_0 \in \tilde{f}(b), Q'_0 \in \tilde{f}(b')生成的）

f~(P)=f~(Q0)f~(Q0′). \tilde{f}(P) = \tilde{f}(Q_0) \tilde{f}(Q'_0).
让r=deg⁡(Q0),s=deg⁡(Q0′)r = \deg(Q_0), s = \deg(Q'_0)。证明 b 是自由A-模且基 Q0(x),xQ0(x),…,xs−1Q0(x)Q_0(x), xQ_0(x), \ldots, x^{s-1}Q_0(x)（应用章 II, § 3, no. 2、命题 5）；然后我们可以写 xsQ0(x)=a0Q0(x)+a1xQ0(x)+⋯+as−1xs−1Q0(x)x^s Q_0(x) = a_0 Q_0(x) + a_1 x Q_0(x) + \cdots + a_{s-1} x^{s-1} Q_0(x)，其中 ai∈Aa_i \in A (0≤i≤s−10 \leq i \leq s-1)；表明，如果我们写
Q′(X)=Xs−(as+a1X+⋯+as−1Xs−1), Q'(X) = X^s - (a_s + a_1 X + \cdots + a_{s-1} X^{s-1}),
然后是f~(P)=f~(Q0)f~(Q′)\tilde{f}(P) = \tilde{f}(Q_0) \tilde{f}(Q')和Q′∈f~(b′)Q' \in \tilde{f}(b')。类似地，定义 Q 从 Q′Q' 和 Q0Q_0 开始，并表明 Q 和 Q′Q' 使用 no. 1 的命题 2 求解问题。）

解答

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