Bài tập 2, § 4

Cho A là một vành địa phương, m là iđêan cực đại của nó, $k = A/m$ là trường thặng dư của nó và $f : A \to k$ là đồng cấu chính tắc. Cho $P \in A[X]$ là một đa thức đơn khởi có bậc n. Ta viết $B = A[X]/P.A[X]$ và ký hiệu $x$ là ảnh chính tắc của X trong B.

(a) Cho Q, $Q'$ là hai đa thức đơn khởi nguyên tố cùng nhau mạnh trong $A[X]$ sao cho $P = QQ'$. Chứng minh rằng vành B là tổng trực tiếp của các iđêan $B.Q(x)$ và $B.Q'(x)$.

(b) Ngược lại, cho $B = b \oplus b'$ là một phân tích của B thành tổng trực tiếp của hai iđêan. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức Q, $Q'$ trong $A[X]$ thỏa mãn các giả thiết của (a) và sao cho $b = B.Q(x), b' = B.Q'(x)$. (Trước hết chứng minh rằng $b/mB$ và $b'/mB$ được sinh bởi các ảnh trong $B/mB$ của các đa thức đơn khởi $Q_0 \in \tilde{f}(b), Q'_0 \in \tilde{f}(b')$) sao cho

Đặt $r = \deg(Q_0), s = \deg(Q'_0)$. Chứng minh rằng b là một A-môđun tự do với cơ sở $Q_0(x), xQ_0(x), \ldots, x^{s-1}Q_0(x)$ (áp dụng Chương II, § 3, no. 2, Mệnh đề 5); khi đó ta có thể viết $x^s Q_0(x) = a_0 Q_0(x) + a_1 x Q_0(x) + \cdots + a_{s-1} x^{s-1} Q_0(x)$, trong đó $a_i \in A$ ($0 \leq i \leq s-1$); chứng minh rằng, nếu ta viết thì $\tilde{f}(P) = \tilde{f}(Q_0) \tilde{f}(Q')$ và $Q' \in \tilde{f}(b')$. Tương tự, định nghĩa Q bắt đầu từ $Q'$ và $Q_0$ và chứng minh rằng Q và $Q'$ giải bài toán, sử dụng Mệnh đề 2 của no. 1.)