Exercice 2, § 4

Soient $A$ un anneau local, $m$ son idéal maximal, $k = A/m$ son corps résiduel, $f : A \to k$ l'homomorphisme canonique. Soit $P \in A[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On pose $B = A[X]/P.A[X]$ et on note $x$ l'image canonique de $X$ dans $B$.

a) Soient $Q, Q'$ deux polynômes unitaires fortement étrangers dans $A[X]$, tels que $P = QQ'$. Montrer que l'anneau $B$ est somme directe des idéaux $B.Q(x)$ et $B.Q'(x)$.

b) Réciproquement, soit $B = b \oplus b'$ une décomposition de $B$ en somme directe de deux idéaux. Montrer qu'il existe des polynômes $Q, Q'$ de $A[X]$ vérifiant les hypothèses de a) et tels que $b = B.Q(x)$, $b' = B.Q'(x)$. (Montrer d'abord que $b/mB$ et $b'/mb'$ sont engendrés par les images dans $B/mB$ de polynômes unitaires $Q_0 \in \bar{f}(b)$, $Q'_0 \in \bar{f}(b')$, tels que

Soit $r = \deg(Q_0)$, $s = \deg(Q'_0)$. Montrer que $b$ est un $A$-module libre de base $Q_0(x), xQ_0(x), ..., x^{s-1}Q_0(x)$ (appliquer le chap. II, § 3, no 2, prop. 5); on peut alors écrire $x^sQ_0(x) = a_0Q_0(x) + a_1xQ_0(x) + \cdots + a_{s-1}x^{s-1}Q_0(x)$ avec $a_i \in A$ $(0 \leq i \leq s-1)$; montrer que si l'on pose on a $\bar{f}(P) = \bar{f}(Q_0)\bar{f}(Q')$ et $Q' \in \bar{f}(b')$. Définir de même $Q$ à partir de $Q'$ et $Q_0$ et montrer que $Q$ et $Q'$ répondent à la question, en utilisant la prop. 2 du no 1).