习题 3, § 4

令$A$为局部环，$\mathfrak{m}$为最大理想，$k = A/\mathfrak{m}$为剩余类域，$f : A \to k$为典范同态。证明以下两个条件是等价的：

(H) 对于每一个单调多项式$P \in A[X]$和$f(P) \in k[X]$的每一个分解作为相对素单调多项式乘积$f(P) = Q.Q'$，在$A[X]$中存在两个单调多项式$Q, Q'$使得$f(Q) = \overline{Q}$，$f(Q') = \overline{Q}'$和$P = QQ'$。

(C) $A$上的每个交换代数（有限生成的$A$-模）都是$A$-代数的直接合成，这些代数是*局部*环。

（为了证明 (H) 蕴含 (C)，请按照 no. 6、利用习题 2 (a) 的命题 8 进行论证。要看到 (C) 蕴涵 (H)，首先证明，对于每个有限生成的可交换 $A$-代数 $B$ $A$-模，$B/\mathfrak{m}B$作为两个理想的直和的每个分解必然是形式$b/\mathfrak{m}b \oplus b'/\mathfrak{m}b'$，其中$B = b \oplus b'$是$B$的分解作为两个理想的直和，然后使用； 习题 2 (b).)

局部环满足条件 (H) 和 (C) 称为 Henselian。每个*完整的 Hausdorff* 局部环都是 Henselian。如果 $A$ 是 Henselian 且 $B$ 是可交换的 $A$-代数，即局部环和有限生成的 $A$-模，则 $B$ 是 Henselian。