Exercice 3, § 4

Soient $A$ un anneau local, $m$ son idéal maximal, $k = A/m$ son corps résiduel, $f : A \to k$ l'homomorphisme canonique. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(H) Pour tout polynôme unitaire $P \in A[X]$, et toute décomposition de $\bar{f}(P) \in k[X]$ en produit $\bar{f}(P) = \bar{Q}.\bar{Q}'$ de polynômes étrangers unitaires, il existe deux polynômes unitaires $Q, Q'$ dans $A[X]$ tels que $\bar{f}(Q) = \bar{Q}$, $\bar{f}(Q') = \bar{Q}'$ et $P = QQ'$.

(C) Toute algèbre commutative sur $A$, qui est un $A$-module de type fini, est composée directe de $A$-algèbres qui sont des anneaux locaux.

(Pour prouver que (H) entraîne (C), raisonner comme dans la prop. 8 du no 6, en utilisant l'exerc. 2 a) Pour voir que (C) entraîne (H), montrer d'abord que pour toute $A$-algèbre commutative $B$, qui est un $A$-module de type fini, toute décomposition de $B/mB$ en somme directe de deux idéaux est nécessairement de la forme $b/mB \oplus b'/mb'$, où $B = b \oplus b'$ est une décomposition de $B$ en somme directe de deux idéaux ; puis utiliser l'exerc. 2 b)).

On dit qu'un anneau local $A$ vérifiant les conditions (H) et (C) est hensélien. Tout anneau local séparé et complet est hensélien. Si $A$ est hensélien et si B est une A-algèbre commutative qui est un anneau local et un A-module de type fini, alors B est hensélien.