Bài tập 3, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương, $\mathfrak{m}$ là iđêan cực đại của nó, $k = A/\mathfrak{m}$ là trường thặng dư của nó và $f : A \to k$ là đồng cấu chính tắc. Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương:

(H) Với mọi đa thức đơn khởi $P \in A[X]$ và mọi phân tích của $f(P) \in k[X]$ thành một tích $f(P) = Q.Q'$ của các đa thức đơn khởi nguyên tố cùng nhau, tồn tại hai đa thức đơn khởi $Q, Q'$ trong $A[X]$ sao cho $f(Q) = \overline{Q}$, $f(Q') = \overline{Q}'$ và $P = QQ'$.

(C) Mọi đại số giao hoán trên $A$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn đều là một hợp thành trực tiếp của các $A$-đại số là các vành địa phương.

(Để chứng minh rằng (H) kéo theo (C), lập luận như trong Mệnh đề 8 của no. 6, sử dụng Bài tập 2 (a). Để thấy rằng (C) kéo theo (H), trước hết chứng minh rằng, với mọi $A$-đại số giao hoán $B$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, mọi phân tích của $B/\mathfrak{m}B$ thành tổng trực tiếp của hai iđêan tất yếu có dạng $b/\mathfrak{m}b \oplus b'/\mathfrak{m}b'$, trong đó $B = b \oplus b'$ là một phân tích của $B$ thành tổng trực tiếp của hai iđêan; sau đó sử dụng Bài tập 2 (b).)

Một vành địa phương thỏa mãn các điều kiện (H) và (C) được gọi là Henselian. Mọi vành địa phương đầy đủ Hausdorff đều là Henselian. Nếu $A$ là Henselian và $B$ là một $A$-đại số giao hoán là một vành địa phương và là một $A$-môđun sinh hữu hạn, thì $B$ là Henselian.