§ 4. 扁平模和“TOR”函子

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

4. 扁平模和“TOR”函子

为了方便熟悉同调代数 (*) 的读者，我们将快速指出平模的理论与 Tor 函子的理论有何关系。

命题 1 044W

设E为右A-模。以下四个属性是等效的：

引用了 1

(a) E 是平的。 (b) 对于每个左A-模 F 和每个整数 n $\geq 1$ ， $\mathrm{Tor}_n^A(E, F) = 0$ 。 (c) 对于每左A-模 F， $\mathrm{Tor}_1^A(E, F) = 0$ 。 (d) 对于 A 的每个有限生成的左理想 $a$ ，

\mathrm{Tor}_1^A(E, A_s/a) = 0.

我们证明（a）蕴涵（b）。让

\cdots \to L_n \to L_{n-1} \to \cdots \to L_0 \to F \to 0

是 F 的自由分辨率。由于 E 是平坦的，序列

(1) \quad \cdots \to E \otimes L_n \to E \otimes L_{n-1} \to \cdots \to E \otimes L_0 \to E \otimes F \to 0

是准确的。由于

\mathrm{Tor}_n^A(E, F)

与复合体(1)的同源群同构，因此对于

n \geq 1

来说，它们是零。 (b) 暗示(c) 且(c) 暗示(d) 是微不足道的。最后我们证明（d）蕴涵（a）。正合序列

0 \to a \to A, \to A_s/a \to 0

给出正合序列

\mathrm{Tor}_1^A(E, A_s/a) \to E \otimes_A a \to E \otimes_A A.

由于 (d) 成立，典范同态

E \otimes_A a \to E \otimes_A A = E

是单射的，这意味着 E 是平坦的 (§ 2, no. 3, 命题 1)。

命题 1 提供了模的刻画，这在应用中通常很有用。我们将通过例来限制自己

(*) 请参阅本论文的部分，专门讨论类别，特别是阿贝尔的类别（正在准备中）。在本文出版之前，读者可以查阅 H. CARTAN-S。 EILENBERG，同源代数，普林斯顿，1956 年，或 R. GODement，Théorie des Faisceaux，巴黎（赫尔曼），1958 年。

\operatorname{Tor}_1^A(E', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E'', F)

表明对于每个左A-模 F 都有 $\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0$ ，因此 E 是平坦的。如果 E 和 E'' 平坦，则正合序列

\operatorname{Tor}_2^A(E'', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E', F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F)

表明 $\operatorname{Tor}_1^A(E', F) = 0$ ，因此 E' 是平坦的。

命题 2 044X

设 R、S 为两个环、 $\rho : \mathbf{R} \to \mathbf{S}$ 同态，F 为左 R 模。以下两个属性是等效的：* (a) 对于每个右 S 模 E 都有 $\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) = 0$ 。 (b) *左 S 模 $\varphi^*(F) = F_{(S)} = S \otimes_R F$ 是平坦的且 $\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) = 0$ 。

被以下引用 3

被以下引用习题 1, § 4, 注, III § 5. 过滤后的平整度模

假设(a)成立。取 $E = S_d$ ，我们看到 $\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) = 0$ 。我们还证明 $F_{(S)}$ 是一个平面 S 模。为此，我们注认为，如果E是右S模，则加法群 $E \otimes_S F_{,,}$ 可以用 $\rho_*(E) \otimes_R F$ 来标识。那么如果有正合序列个右S-模

0 \to E' \to E \to E'' \to 0

我们使用 (a) 得到正合序列

0 \to \rho_*(E') \otimes_R F \to \rho_*(E) \otimes_R F \to \rho_*(E'') \otimes_R F \to 0

或者也

0 \to E' \otimes_S F_{(S)} \to E \otimes_S F_{(S)} \to E'' \otimes_S F_{(S)} \to 0

这证明 $F_{(S)}$ 是平坦的。

相反，如果 (b) 成立，我们首先对于每个“自由”右 S 模 $L = S_d^{(I)}$ ， $\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(L), F) = (\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F))^{(I)} = 0$ 。每个正确的S-模块E都可以写成形式 $E = L/H$ ，以获得合适的自由S-模块L；那么我们就有正合序列

(2) $0 = \operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(L), F) \to \operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) \to \rho_*(H) \otimes_R F \to \rho_*(L) \otimes_R F.$

但由于 $F_{,,}$ 是平的，同态 $H \otimes_S F_{(S)} \to L \otimes_S F_{(S)}$ 是单射的，并且与同态一致

\rho_*(H) \otimes_R F \to \rho_*(L) \otimes_R F.

然后由(2)得出 $\operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) = 0$ 。

注 044Y

命题 2 也由正合序列的存在推出

E \otimes_S \operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(S_d), F) \to \operatorname{Tor}_1^R(\rho_*(E), F) \to \operatorname{Tor}_1^S(E, S_d \otimes_R F) \to 0

由 Tor 函子“结合性”的光谱序列产生。

引用了 1

引用了命题 2

习题

参见习题为 § 4。