习题 23, § 2

(a) 令$0 \to R \to L \to E \to 0$为左A-模中的正合序列，其中L为自由A-模；令 $(e_i)$ 为基 / L。证明以下条件是等价的：

(a) E 是平的。

(b) 对于所有$x \in R$，如果$a$是$x$的分量相对于基$(e_\alpha)$生成的正确理想，则$x \in Ra$。

(y) 对于所有$x \in R$，存在同态$u_x : L \to R$使得$u_x(x) = x$。

(8) 对于 R 的元素的每一个有限序列$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$，都存在同态$u : L \to R$，使得$u(x_i) = x_i$对应于$1 \leq i \leq n$。 （使用命题 7 of no. 6 的推论。）

(b) 令 a 为 A 的左理想，使得 $A/a$ 是平坦的 A-模。证明，对于每个有限生成的左理想 $b \subset a$，存在 $x \in A$ 使得

（使用（a）中的条件（8））。

(c) 从 (a) 得出习题 15 结果的新证明。

(d) 设$r$为左$A$模的$A$和$0 \to R \to L \to E \to 0$正合序列的雅各布森根，使得$L$是自由的。假设$E$是平坦的并且$R$包含在$rL$中。证明 $R = 0$（在 (a) 的记号中观察到 $a_r$ 是有限生成的理想且 $a_r = a_{x,r}$）。

(e) 令 $E$ 为有限生成的平面 $A$ 模块；假设存在$A$的雅各布森根中包含$A$的双面理想$b$，使得$E/bE$是自由的$(A/b)$模。证明$E$是一个自由的$A$模块（观察存在一个有限生成的自由$A$模块$L$，使得$L/bL$同构于$E/bE$并使用代数，章VIII, § 6, no. 3，推论4至命题6；然后应用(d))。