习题 12, § 2

(a) 设$A$为环。证明以下四个性质是等价的：

$(a)$ 右侧$A$-模块$A,$ 是连贯的（习题 11）。 $(\beta)$ 每个有限呈现的右$A$-模块都是连贯的。 $(y)$ 每个$A$-模$A^I_s$（I任意集合）都是平坦的。 $(\delta)$ 平左 $A$ 模块中的每乘积都是平的。

（要证明$(a)$蕴含$(\beta)$，请使用习题 11(b)。要看到$(y)$蕴含$(a)$，no. 11的应用命题 13，并通过反证法进行论证。要证明$(a)$蕴含$(\delta)$，使用习题 9。）

这样的环被称为“右相干”，并且“左相干”环的概念也有类似的定义。

(b) 证明每个右诺特环都是正确连贯的。给出右阿廷环中的例，其不连贯（cf. 代数，章 VIII, § 2，习题 4）。

(c) 高度 1 的非离散估值 (章 VI) 的环是相干的，但包含理想是不相干的，并且承认（单源）商模不是伪相干的。

(d) 证明，如果$A$是右相干环，则对于每个右$A$模$E$、$\lambda(E) = -1$或$\lambda(E) = 0$或$\lambda(E) = +\infty$ (习题 6)。

(e) 设$(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$为环的直接系统，其索引集合是有向的，并设$A = \varprojlim A_\alpha$。假设对于 $a \leq \beta$，$A_a$ 是平右 $A_\alpha$ 模。证明，如果 $A_a$ 是正确相干的，那么 $A$ 也是正确相干的。 （观察到$A$是所有$\alpha$的平面$A_\alpha$模，并且如果$E$是$A_\alpha$的有限生成的子模，则存在指标$a$和有限生成的子模 $(A_\alpha)_a$的$E_\alpha$使得$E_\alpha \otimes_{A_\alpha} A$同构于$E$。）

\* (f) 从 (e) 推论出诺特交换环上的每个多项式环（在任何有限或无限集合的不定数中）都是相干的。由此推断，相干的环的商环不一定是相干的。*

(g) 为了使 A 保持相干，A 的每个元素的左湮没子是有限生成的，并且 A 的两个有限生成的左理想的交是有限生成的（使用习题 6(f)）。