习题 17, § 3

(a) 设$K$为$n$中形式幂级数的交换域、$A = K[[X_1, \ldots, X_n]]$环，且$K$和$V$向量空间中的系数超过$K$。 记号为§ 2, no. 6，例 1，让$V[[X_1, \ldots, X_n]]$表示向量空间$V^{n^n}$，$A$模块结构定义为

其中$w_\alpha = \sum_{\beta + \gamma = \alpha} c_\beta v_\gamma$。证明，如果 $V$ 承认基并以 $I$ 作为索引集合，则 $A$ 模 $V[[X_1, \ldots, X_n]]$ 同构于 $A'$（如果 $I$ 是有限的）并且与 $A$ 模同构$A$，如果 $I$ 是无穷大，则在习题 16 中定义。推断 $V[[X_1, \ldots, X_n]]$ 是一个平坦的 $A$ 模，并且如果 $V$ 不减少到 0，则它是忠实平坦的。

(b) 设$L$为域$K$中的扩张。从 (a) 推断出形式幂级数 $L[[X_1, \ldots, X_n]]$ 的环是模与环 $K[[X_1, \ldots, X_n]]$ 的忠实平坦模。如果$L$的有限秩大于$K$，则$L[[X_1, \ldots, X_n]]$与$L \otimes_K K[[X_1, \ldots, X_n]]$同构的。

(c) 如果 $L$ 是 $K$ 的代数扩张，则证明环 $L[[X_1, \ldots, X_n]]$ 是环上忠实平坦的模

（将$L$视为有限秩在$K$上的子扩展的直极限，并使用章I, § 2, no. 7、命题9）。推论环

是诺特局部环，其完成由$L[[X_1, \ldots, X_n]]$标识。在阶、$\hat{B} = B$中，$n = 0$或$[L : K] < +\infty$是充分必要的。