（II, § 3, no. 6，推论 1 至命题 6）*为代数同构*。

这是从 (1) 和定义给定 loc 得出的。引用。

是一个$(A/a)$*-代数同构*。

是代数同构。

这紧接在$E \otimes F$上的乘法的II, § 3, no. 7、命题7和定义。

(II, § 5, no. 1, 命题 3) 是一个$B$-代数同构。

(II, § 5, no. 2, 命题 6) 是$A$-代数同构。

由于§ 1, no. 5，验证是微不足道的。

特别是，通过将标量的环$B$限制为$A$获得的$B \otimes_A E$上的$A$-代数结构与代数$B \otimes_A E$的结构、张量积相同$A$-代数$B$和$E$。

最后，如果$(A_i, \phi_{ji})$是交换环，$(E_i, f_{ji})$和$(F_i, g_{ji})$的直接系统，$A_i$-代数（$§ 1$，no. 6）和$A = \lim \rightarrow A_i$的两个直接系统，则规范的$A$-模同构

(II, § 6, no. 3, 命题 7) 也是一个$A$-代数同构，由定义如下。

例张量积代数。 (1) 设$A$为交换环和$M, N$两个$A$模； 典范映射

(II, § 4, no. 4) 是$A$-代数同态，由II, § 3, no. 2、公式 (5) 如下。当$M$或$N$是有限生成的射影$A$模时，我们知道这个同态是双射的（II, § 4, no. 4，命题4）。特别是，我们恢复了两个方阵中的张量积中的定义。

(2) 设$S, T$为两个幺半群，以及幺半群$S$和$T$在环$A$(III, § 2, no. 6)上的$A^{(S)}$和$A^{(T)}$代数；那么有一个规范的$A$-代数同构

元素$e_s \otimes e_t$（分别$e_{(s,t)}$），其中$s$穿过$S$，$t$穿过$T$，形式基，$A^{(S)} \otimes_A A^{(T)}$凭借II, § 3, no. 7，推论2 命题 7（分别为$A^{(S \times T)}$；所需的同构是通过映射$e_s \otimes e_t$到$e_{(s,t)}$获得的，并且从定义得出，这确实是代数同构。

(i) *$u_i$ 是 $\mathbf{A}$-代数同构；此外，对于$i \neq j$，元素、$u_i(x_i)$和$u_j(x_j)$在$\mathbf{E}$中是可置换的，对于所有$x_i \in \mathbf{E}_i$和$x_j \in \mathbf{E}_j$，$\mathbf{E}$由子代数$u_i(\mathbf{E}_i)$的并生成。

(ii) 令$\mathbf{F}$为$\mathbf{A}$代数，对于所有$i \in \mathbf{I}$，令$v_i : \mathbf{E}_i \to \mathbf{F}$为$\mathbf{A}$代数同态，其中$v_i$使得，对于$i \neq j$，$v_i(x_i)$且对于所有 $x_i \in \mathbf{E}_i$ 和 $x_j \in \mathbf{E}_j$，$v_j(x_j)$ 在 $\mathbf{F}$ 中是可置换的。那么存在且仅有一个 $\mathbf{A}$-代数同态 $w : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$ 使得

(i) 映射 $u_i$ 是 $\mathbf{E}$ 上乘法的代数同态与定义。如果$i \neq j$，$x_i \in \mathbf{E}_i, x_j \in \mathbf{E}_j$，那么

显然，$x'_k x''_k = x''_k x'_k$对于所有$k \in \mathbf{I}$，因此$u_i(x_i)$和$u_j(x_j)$在$\mathbf{E}$中通过公式（1）（no. 1）在$\mathbf{E}$中定义乘法进行通勤。 最后一个断言源自关系 $\bigotimes_i x_i = \prod_{i \in \mathbf{I}} u_i(x_i)$。

(ii) 对于每个 $i \in \mathbf{I}$，令 $x_i$ 为元素 / $\mathbf{E}_i$。然后，乘积$\prod_{i \in \mathbf{I}} v_i(x_i)$在$\mathbf{F}$中独立于$\mathbf{I}$上的任何排序进行定义，因为代数$\mathbf{F}$是关联的并且元素$v_i(x_i)$是成对可置换的。 $\prod_{i \in \mathbf{I}} \mathbf{E}_i$到$\mathbf{F}$的映射$(x_i)_{i \in \mathbf{I}} \to \prod_{i \in \mathbf{I}} v_i(x_i)$显然是$\mathbf{A}$-多重线性，因此存在一个且仅有一个$\mathbf{A}$-线性映射$w : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$使得

现在，所需的$\mathbf{A}$-代数同态$w : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$必须满足(5)，这是从(4)和$\bigotimes_i x_i = \prod_{i \in \mathbf{I}} u_i(x_i)$事实得出的。这就证明了$w$的唯一性；仍有待证明由(5)定义的$\mathbf{A}$-线性映射$w$是$\mathbf{A}$-代数同态并且满足(4)。 $w$满足(4)的事实是显而易见的：将(5)应用于$x_j = e_j$对于$j \neq i$的情况就足够了，我们得到$w(u_i(x_i)) = v_i(x_i)$。最后，$w$是代数同态，对于

因为$v_i(x_i)$与$v_j(y_j)$通勤$j \neq i$；因此

根据线性，完成证明。

The ordered pair consisting of E and the canonical mapping $\phi : (x_i) \mapsto \bigotimes_i x_i$ of $\prod_i E_i$ into E is a solution of the universal mapping problem (Set Theory, IV, § 3, no. 1) where $\Sigma$ is the species of A-algebra structure, the morphisms being the A-algebra homomorphisms and the $\alpha$-mappings the mappings $\prod_i u_i$ of $\prod_i E_i$ into an A-algebra such that the $u_i$ are A-algebra homomorphisms and $u_i(x_i)$ and $u_j(x_j)$ commute for $i \neq j$, for all $x_i \in E_i$ and $x_j \in E_j$.

同态 $g_i = v_i \circ f_i$满足注，使得$g_i(x_i) = v_i(f_i(x_i))$和$g_j(x_j) = v_j(f_j(x_j))$通勤$i \neq j$、$x_i \in E_i$和$x_j \in E_j$；然后应用命题5。

When, in 命题 5, 代数 F is assumed to be commutative, 假设 that $v_i(x_i)$ and $v_j(x_j)$ are permutable for $i \neq j$ is automatically satisfied.因此，*当 F 是可交换的*时，存在规范的双射

即与$\bigotimes_i E_i$的每一个同态$w$关联到$w \circ u_i$的F族中。

注，如果E是可交换的A-代数，则$E \otimes_A F$的环结构与$F_{(E)}$(§ 1, no. 5)相同。

这都是约化验证$C \otimes_K D$（$x_i \in F, y_i \in F$）属于到$C' \otimes_K D'$的扶正器的元素$z = \sum_i x_i \otimes y_i$；我们知道

（II, § 7, no. 7，命题 14 的推论）。 $y_i$ 可以假设与 K 线性无关；对于所有$x \in C$，必然$(x \otimes e')z = z(x \otimes e')$，即$\sum_i (xx_i - x_ix) \otimes y_i = 0$，从而$xx_i = x_ix$，对于所有$i$（II, § 3, no. 7，推论1至命题7）；因此对于所有 $i$ 来说必然有$x_i \in C'$，因此$z \in C' \otimes_K F$；类似地可以证明$z \in E \otimes_K D'$，从而命题。

设E和F是代数G在交换域K上的两个子代数；假设 E 的每个元素与 F 的每个元素都可交换。那么典范嵌入 $i : E \to G, j : F \to G$ 定义典范同态 $h = i \otimes j : E \otimes_K F \to G$ (no. 2, 命题 5) 使得

叙述的条件显然是必要的，因为E在K上的每个基都是$E \otimes_K F$的基及其正确的F模结构（II, § 3, no. 7，推论1到命题7）。看出条件就足够了，注即h下$E \otimes_K F$的像H是G中和$\sum_i x_i y_i = \sum_i y_i x_i$的集合，其中$x_i \in E$和$y_i \in F$；如果 $(a_\lambda)$ 是 E 在 K 上的基，则 H 也是由 $(a_\lambda)$ 生成的（右或左）F 模 G 的子模。因此，叙述的条件意味着存在E的基$(a_\lambda)$，它也是F模H的基；由此可见 h 是单射的。 断言 (iii) 从以下事实得出：E 的每个自由子集都包含在 E 的基 (II, § 7, no. 1, 定理 2) 中。

(ii) 设 F 为 A-代数，并且对于所有 $i \in I$，*令* $u_i : E_i \to F$ 为 A-代数同态，使得对于 $i \neq j$、$u_i(x_i)$ 和 $u_j(x_j)$ 通勤 F 对于所有 $x_i \in E_i$ 和 $x_j \in E_j$。 那么存在且仅有一个A-代数同态$u : E \to F$*使得*$u_i = u \circ f_i$*对于所有*$i \in I$。

(i) 因为，对于I、$f_i = f_J \circ f_{J,i}$的每一个有限子集 J，(i)中的第一个断言是从no. 2、命题 5得出的，取J包含 i和j；第二个也是从no. 2、命题 5 得出，考虑到当 J 穿过$\mathscr{F}(I)$ 时，E 是$f_J(E_J)$ 的并。

(ii) 对于I的每个有限子集 J，从no. 2、命题 5 可以得出，存在唯一同态 $u_J : E_J \to F$，使得$u_J \circ f_{J,i} = u_i$对于所有$i \in J$；从唯一性性质可以立即得出，对于$J \subset J'$，$u_J = u_{J'} \circ f_{J'J}$；在其他字中，$u_J$形式a 直接系统同态。 Let $u = \lim \to u_J : E \to F$; then by definition $u_J = u \circ f_J$ for every finite subset $J$ of $I$ and in particular $u_i = u \circ f_i$ for all $i \in I$; the uniqueness of $u$ follows from these relations and the fact that the $f_i(E_i)$ generate the algebra $E$.

可交换，$f_i$ 和 $f'_i$ 表示典范同态。

应用命题8至同态$f'_i \circ u_i$就足够了。

命题 8 的推论中定义的同态 $u$ 用$\bigotimes_{i \in I} u_i$ 表示。如果$J$是$I$中的任意一个子集，命题8可以应用于典范同态$f_i : E_i \to \bigotimes_{i \in I} E_i = E$的族$(f_i)_{i \in J}$；推导出典范同态$E_J \to E$，也用$f_J$表示，并且当$J$是*有限*时，重合和同态如上所述表示。

现在让 $(x_i)_{i \in I}$ 为 $\prod_{i \in I} E_i$ 的元素，这样族 $(x_i - e_i)_{i \in I}$ 有 有限支撑 $H$。就是直接的，如果$J$和$J'$是$I$包含$H$的两个有限子集，那么

$I$的有限子集$J \supset H$的$f_J((x_i)_{i \in J})$的公共的值用$\bigotimes_{i \in I} x_i$表示。