习题 13, § 7

(a) 令 M 为型 $\mathbf{N}$ 的分级A-模。证明在代数$S(M)$（或$\Lambda(M)$）上存在且仅有一个型$\mathbf{N}$的分级，其中$S(M)$（或$\Lambda(M)$）是分级的A-代数，而诱导在M上是给定的分级。证明如果M中偶数次数的齐次元素都是零（此时M上的分级称为*奇*），则得到的分级代数$\Lambda(M)$为*交错的*（§ 4, no. 9，定义7）。

(b) 给定分级 A-模为型 $\mathbf{N}$，考虑以下普遍映射问题： $\Sigma$ 是类的反交换分级代数结构 (§ 4, no. 9， 定义 7)、态射是分级代数 (§ 3, no. 1) 的 A 同态，$\alpha$ 映射是 M 的次数 0 的分级同态到反交换分级 A-代数。令$M^-$（或$M^+$）表示由奇数（或偶数）次数的齐次元素生成的M的分级子模。证明分级代数 $G(M) = \Lambda(M^-) \otimes_A S(M^+)$ 是反交换的； M 的典范嵌入 $j$ 到这个代数中的定义是通过写 $j(x) = x \otimes 1$ if $x \in M^-$, $j(x) = 1 \otimes x$ if $x \in M^+$ 来定义。证明分级的代数$G(M)$和单射$j$构成了上述普遍映射问题的解。

被称为分级 A-模 M 上的*通用反交换代数*。

(c) 证明命题 2、3 和 4 对于通用反交换代数的类似物。考虑 M 承认齐次元素的基由……组成的情况：在这种情况下显式找到通用反交换代数的基。