Exercice 13, § 7

a) Soit M un A-module gradué de type N. Montrer qu’il existe sur l’algèbre $S(M)$ (resp. $\wedge(M)$) une graduation et une seule de type N pour laquelle $S(M)$ (resp. $\wedge(M)$) soit une A-algèbre graduée et qui induise sur M la graduation donnée. Montrer que si les éléments homogènes de degré pair dans M sont tous nuls (auquel cas on dit que la graduation de M est impaire), l’algèbre graduée $\wedge(M)$ ainsi obtenue est alternée (III, p. 53, déf. 7). b) Etant donné un A-module gradué de type N, on considère le problème d’application universelle suivant: $\Sigma$ est l’espèce de structure d’algèbre graduée anticommutative (III, p. 53, déf. 7), les morphismes sont les A-homomorphismes d’algèbres graduées (III, p. 30) et les $\alpha$-applications sont les homomorphismes gradués de degré 0 de M dans une A-algèbre graduée anticommutative. On désigne par $M^-$ (resp. $M^+$) le sous-module gradué de M engendré par les éléments homogènes de degré impair (resp. de degré pair). Montrer que l’algèbre graduée $G(M) = \wedge(M^-) \otimes_A S(M^+)$ est anticommutative; on définit une injection canonique $j$ de M dans cette algèbre en posant $j(x) = x \otimes 1$ si $x \in M^-$, $j(x) = 1 \otimes x$ si $x \in M^+$. Montrer que l’algèbre graduée $G(M)$ et l’injection $j$ constituent une solution du problèmed'application universelle précédent. On dit que $G(M) = \wedge(M^-) \otimes_A S(M^+)$ est l’algèbre anticommutative universelle sur le A-module gradué M.

c) Démontrer les analogues des prop. 2, 3 et 4 pour l’algèbre anticommutative universelle. Cas où M admet une base formée d’éléments homogènes : expliciter dans ce cas une base de l’algèbre anticommutative universelle.