Bài tập 13, § 7

(a) Cho M là một A-môđun phân bậc kiểu $\mathbf{N}$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phép phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ trên đại số $S(M)$ (tương ứng, $\Lambda(M)$), theo đó $S(M)$ (tương ứng, $\Lambda(M)$) là một đại số trên A phân bậc và phép phân bậc đó cảm sinh phép phân bậc đã cho trên M. Chứng minh rằng nếu các phần tử thuần nhất có bậc chẵn trong M đều bằng không (trong trường hợp đó phép phân bậc trên M được gọi là lẻ), thì đại số phân bậc $\Lambda(M)$ thu được như vậy là phản xứng (§ 4, no. 9, Định nghĩa 7).

(b) Cho một A-môđun phân bậc kiểu $\mathbf{N}$, xét bài toán ánh xạ phổ quát sau: $\Sigma$ là loài của các cấu trúc đại số phân bậc phản giao hoán (§ 4, no. 9, Định nghĩa 7), các cấu xạ là các A-đồng cấu của các đại số phân bậc (§ 3, no. 1) và các ánh xạ $\alpha$ là các đồng cấu phân bậc bậc 0 từ M vào một đại số trên A phân bậc phản giao hoán. Gọi $M^-$ (tương ứng, $M^+$) là môđun con phân bậc của M sinh bởi các phần tử thuần nhất có bậc lẻ (tương ứng, chẵn). Chứng minh rằng đại số phân bậc $G(M) = \Lambda(M^-) \otimes_A S(M^+)$ là phản giao hoán; một đơn ánh chính tắc $j$ của M vào đại số này được xác định bằng cách viết $j(x) = x \otimes 1$ nếu $x \in M^-$, $j(x) = 1 \otimes x$ nếu $x \in M^+$. Chứng minh rằng đại số phân bậc $G(M)$ và đơn ánh $j$ tạo thành một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát trên.

được gọi là đại số phản giao hoán phổ quát trên A-môđun phân bậc M.

(c) Chứng minh các tương tự của các Mệnh đề 2, 3 và 4 đối với đại số phản giao hoán phổ quát. Xét trường hợp M có một cơ sở gồm các phần tử thuần nhất: hãy tìm tường minh trong trường hợp này một cơ sở của đại số phản giao hoán phổ quát.