(i) 代数 A 是中心简单语。

(ii) 代数 A 是中心且无部首。

(iii) 从K-代数$A\otimes_KA^o$到K-代数End$_K(A)$的典范同态将$a\otimes a'$到K-线性映射$x\mapsto axa'$从A发送到A是双射的。

(iv) 存在域 K 和整数 $n\geqslant 1$ 的扩张 L，使得L-代数$A_{(L)}$ 和$\mathbf{M}_n(L)$ 同构。

(v) 对于 K 的每个可分闭包 $K'$，都存在整数 $n\geqslant 1$，使得 $K'$-代数 $A_{(K')}$ 和 $\mathbf{M}_n(K')$ 同构。

(vi) 存在有限次数和整数$n\geqslant 1$的域K的伽罗瓦扩张L，使得L-代数$A_{(L)}$和$\mathbf{M}_n(L)$同构。

(vii) 存在有限次数 D 的K-代数，即域、中心 K 和整数 $n\geqslant 1$，使得代数 A 同构于代数 $\mathbf{M}_n(D)$。

环是简单的当且仅当它是半单并且它的中心是域（VIII，p. 143，命题 10 的推论）。由于 A 是有限次数与域 K 的代数，因此它是左阿廷的环；因而，当且仅当它没有部首（VIII，p. 154，命题 4）时，它才是半单。 (i) 和 (ii) 的等价如下。

集合 $E = A\otimes_KA^o$ 且 F = 结束$_K(A)$；表示从 E 到 F 的 $\varphi$ 典范同态，由 A 中的 $x, a, a'$ 的关系 $\varphi (a\otimes a')(x) =axa'$ 定义。如果代数 A 是中心单形，那么 $A^o$ 也是中心单形，因而，E (注 1)，因而 $\varphi$ 是单射的。现在，我们有 $[E : K] = [A : K]^2= [F : K]$，所以 $\varphi$ 是双射的。相反，假设 $\varphi$ 是双射；因为代数 F 是中心单元（因为它与矩阵代数 $\mathbf{M}_m$(K) 同构），所以 E 也是中心简单，因而 A (注 1) 也是。这样我们就证明了(i)和(iii)的等价。

通过注 4，断言 (vii) 意味着断言 (i)。 逆命题蕴涵来自VIII、p. 122的推论3和VIII、p. 83的推论2。

显然，(vi) 隐含 (iv)，(iv) 通过注 2 隐含 (i)。

仍有待证明含义 (i)$\Rightarrow$(v)$\Rightarrow$(vi)。假设 A 是中心简单，并令 $K'$ 为 K (V, §7, No. 8, p. 45) 的可分闭包 。那么$A_{(K')}$是有限次数在$K'$上的中心单代数（VIII，p. 251，注2）。根据VIII、p. 231的推论，从$A_{(K')}$到$\mathbf{M}_n(K')$存在$K'$-代数的整数$n\geqslant 1$和同构；观察$K'$-代数$\mathbf{M}_n(K')$和$\mathbf{M}_n(K)_{(K')}$是同构的。通过VIII、p. 234的引理 4，存在$K'$的子扩张L，在K上有限生成，使得L-代数$A_{(L)}$和$\mathbf{M}_n(K)_{(L)}$是同构的。那么L是可分的，并且有限次数在K上，因此包含在$K'$的子外延$L'$中，即伽罗瓦和有限次数在K上（V, §10, No. 1，p. 57，命题2）。那么$L'$-代数$A_{(L')}$和$\mathbf{M}_n(L')$是同构的。

事实上，K 的每个伽罗瓦扩张都等于 K；只需应用定理 1 的属性 (i) 和 (v) 中的等价即可。

令 L 为 K 的扩张，并且 $n$ 严格为正整数，使得 L 代数 $A_{(L)}$ 和 $\mathbf{M}_n(L)$ 同构。我们有

在推论2的记号中，整数$n$称为A的约化次数。

(i) $(B,A)$双模$A^f$和$A^g$是同构的。

(ii) A 存在内自同构 (I, §8, No. 4, p. 102, 例 2) $\theta$，使得$g=\theta \circ f$。

右A-模 $A_d$的自同构是映射$x\mapsto ax$，其中$a$是A的可逆元。这样的自同构是从$A^f$到$A^g$的B-线性映射当且仅当我们有

对于A中的每个$x$和B中的每个$b$。这个关系相当于B中每个$b$的$g(b) =af(b)a^{-1}$，即$g=\theta \circ f$，其中$\theta$是A的内自同构$x\mapsto axa^{-1}$。

A) 首先考虑 B 为向量空间 S 的自同态环有限维 $d$ 超过交换域 L 的情况。那么我们有 Z = L；我们将 S 视为 $(B$, Z)-双模。 环 B 是简单的，S 是单B-模，Z 是 S 的交换子；每个 B-模都是型 S 的同型 (VIII, p. 122, 命题 2 a))。令$(V, \alpha )$（或$(W, \beta )$）为描述 / B-模 M（或N）。 集合 V（分别为W）被赋予了$(Z$，A）-双模结构，使得$\alpha$（分别为$\beta$）是$(B$，A）-双模（VIII，p. 64，的同构， 注2)。作为$(Z$，A)-双模，M与$V^d$同构，N与$W^d$同构，并且从$(Z$的集合存在同构，V的A)-子双模，按包含排序，到$(B$， A)-M 的子双模（loc. cit.）。因此V是有限长度的$(Z$，A)-双模，W也是。由于$(Z,A)$-双模$V^d$和$W^d$同构，$(Z$，A)-双模V和W同构定理 2，VIII、p. 37 的 d) 适用于环 $Z\otimes_{\mathbf{Z}}A^o$。最后，$(B$，A)-双模M和N是同构的。

B) 现在考虑 B 是作为 Z 模块有限生成的简单环的情况。那么Z是域，B是域Z上有限次数的中心单代数。通过VIII、p. 252的定理1，存在Z上有限次数的Z的扩张$Z'$，使得$Z'$-代数$B'= B_{(Z')}$同构于有限维$Z'$向量空间的内同态代数。 集合$M'= M_{(Z')}$和$N'= N_{(Z')}$。那么$M'$和$N'$是$(B'$，A)-有限长度的双模；视为 $(Z'$，A)-双模，$M'$ 和 $N'$ 是同构的。根据$A), M'$和$N'$的情况，同构为$(B'$，A)-双模，更不必说同构为$(B$，A)-双模。 集合$r= [Z': Z]$。 $(B$，A)-双模$M'= Z'\otimes_ZM$同构于$M^r$，同样，$(B$，A)-双模$N'$同构于$N^r$。由于 M 和 N 是有限长度的 $(B$，A) 双模，因此从 VIII，p. 37 的定理 2, d) 可以得出，$(B$，A)-双模 M 和 N 是同构的。

C) 最后，考虑一般情况，当 B 为半单环时，它作为 Z 模有限生成。设$\mathscr{S}$为单B-模类集合；它是有限的（VIII、p. 136、命题 1）。对于任何$\lambda \in \mathscr{S}$，用$M_{\lambda}$（或$N_{\lambda}$）表示B-模 M（或N）的型$\lambda$的同型成分；它是 M (resp. N) (注, VIII, p. 67) 的$(B$, A)-子双模。对于$\lambda \in \mathscr{S}$，用$\mathfrak{b}_{\lambda}$和集合$B_{\lambda}= B/\mathfrak{b}_{\lambda}$表示B-模$\lambda$的湮没子；令 $Z_{\lambda}$ 为 $B_{\lambda}$ 的中心。对于$\lambda \in \mathscr{S}$，$(B_{\lambda}$、A)-双模$M_{\lambda}$和$N_{\lambda}$有有限长度。然后我们可以将认同 B 与简单的环 $B_{\lambda}$ 的乘积相结合，将 Z 与 $Z_{\lambda}$ 的乘积相结合（VIII、p. 141、命题 8）。此外，我们将可以确定 M 与 $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}M_{\lambda}$ 组合，将 N 与 $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}}N_{\lambda}$ 组合。到假设，M和N同构为$(Z$，A)-双模；由此可见，$\lambda \in \mathscr{S}, M_{\lambda}$ 和 $N_{\lambda}$ 是同构的 $(Z_{\lambda}$，A)-双模。根据B)中处理的情况，$(B_{\lambda}$，A)-双模$M_{\lambda}$和$N_{\lambda}$是同构的，因而$(B$，A)-双模M和N是同构的。

(i) A 存在内自同构$\theta$使得$g=\theta \circ f$。

(ii) A 存在内自同构$\theta$使得$g_Z=\theta \circ f_Z$。

由于环 A 是右阿廷，$A_d$ 是有限长度中的右A-模（VIII、p. 6、定理 1）。因而$A^f$和$A^g$是$(B$，A)-有限长度的双模。通过引理 1 (VIII, p. 254)，断言 (i) 表示 $A^f$ 和 $A^g$ 同构 $(B$, A)-双模，断言 (ii) 表示它们同构$(Z,A)$-双模块。因而，(i) 和 (ii) 的等价由引理 2 (VIII，p. 254) 得出。

在定理 2 的记号中，我们有 Z = K，因此有 $f_Z= 1_Z=g_Z$。

通过VIII、p. 254的引理 1，足以证明$(B,A)$双模$A^f$和$A^g$是同构的。现在，我们可以将$A^f$和$A^g$视为左模超过代数$C = B\otimes_KA^o$，这很简单，可以通过VIII、p. 221的命题7来实现。由于右A-模、$A^f$和$A^g$与$A_d$同构，因此有有限长度，因为环 A 是简单的（VIII、p. 121，推论1）。 更不必说、$A^f$和$A^g$是C-有限长度的模块。设 S 是一个简单的 C 模块；严格存在正整数、$m$和$n$，使得$A^f$与$S^m$同构，$A^g$与$S^n$同构。因此右A-模 S 有非零的有限长度。由于$A^f$和$A^g$底层的右A-模同构，因此它们具有相同的长度；因此我们有$m=n$，因此C模块$A^f$和$A^g$是同构的。

第一个断言源自V, §3, No. 1、p. 17的推论1。

假设存在$D^*$的元素$a$使得$y=axa^{-1}$；对于 K[X] 的每个多项式 P，我们有 $P(y) =aP(x)a^{-1}$，特别是，当且且仅当 $P(y) = 0$ 时，我们才有 $P(x) = 0$。因而，$x$ 和 $y$ 在 K 上具有相同的最小多项式（V, §3, No. 1、p. 16、定理 1）。

相反，假设 $x$ 和 $y$ 具有相同的最小多项式。按地点。如上所述，存在从$K[x]$到$K[y]$的K-同构$u$，使得$u(x) =y$，并且$K[x]$是域。根据 D 的推论 2$,u$ 扩展到内自同构 $\theta :z\mapsto aza^{-1}$，因此我们有 $y=\theta (x) =axa^{-1}$。

(i) A 存在内自同构$\theta$使得$g=\theta \circ f$。

(ii) 由于左B-模，$A^f$和$A^g$是同构的。

通过引理 1 (VIII, p. 254)，性质 (i) 等价于$A^f$ 和$A^g$ 同构为$(B$, A)-双模。由于 A 是 $K, A^f$ 和 $A^g$ 上的有限维，因此是 B-模或有限长度。由于 A 的中心等于 K，(i) 和 (ii) 的等价由 VIII 的引理 2 得出，p. 254 应用于 $(A^o,B^o$) 双模 $A^f$ 和 $A^g$。

这是从应用$f=$Id$_A$和$g=u$应用VIII、p. 256的定理2开始的。

集合 B = 结束$_L(V)$。令$u$为L-代数B的自同构。我们将V视为左B-模；令$u_*(V)$为与$u$相关的左B-模，以及外法则$(b, v)\mapsto u(b)(v)$（II, §1, No. 13，p. 221）。设$(e_1, . . . , e_m)$为L模块V的基；给定V的元素$v_1, . . . , v_m$，存在B的唯一元素$b$，这样我们就有$b(e_i) =v_i$对应$1\leqslant i\leqslant m$。在其他字、$V^m$的元素$e= (e_1, . . . , e_m)$提供B-模$V^m$的基。由于$u$是自同构，$e$也给出B-模$u_*(V^m) =u_*(V)^m$的基，因此与$V^m$同构。 $(B$, L)-双模 V 是可逆的 (VIII, p. 102, 例 1)。根据VIII、p. 103的定理 2, b)，因此存在L模M，使得B-模$u_*(V)$同构于$V\otimes_LM$。 B-模 $V\otimes_LL^m$ 和 $V\otimes_LM^m$ 分别同构于 $V^m$ 和 $u_*(V)^m$，因此是同构的。按地点。如上所述，L模块$L^m$和$M^m$是同构的。给定假设，M 与 L 同构；因而，与$V\otimes_LM$同构的B-模$u_*$(V)也与V同构。设$h$从V到$u_*(V)$为B-模同构；特别是，它是L模块V的自同构，即B的可逆元。对于B中的$b$和V中的$v$，我们有$h(b(v)) =u(b)(h(v))$，因此有$u(b) =hbh^{-1}$。

特别地，当交换环L为主理想整环（VII, §3，p. 15，推论3）或阿廷的（VIII，p. 37，定理2）时，命题2中的条件得到满足， d)) 或本地（VIII，p. 36，推论 6）。

a) A中B的交换子$B'$是单子代数，B是A中$B'$的交换子。且代数$B\cap B'$是有限次数在K上的半单交换代数；是B的公共中心和$B'$。

b) 假设 B 是简单的。那么$B'$很简单，我们有等式

（左侧次数$[A : B]_s.$的定义参见VIII、p. 124、定义2）

K-代数$A^o$是中心简单，K-代数B是半单和有限次数。根据 VIII、p. 221、代数 $C = B\otimes_KA^o$ 的推论 1 为半单。设 M 为与 A 具有相同加法群且外法则由 A 中的 $a, a'$ 和 B 中的 $b$ 的公式 $(b\otimes a)a'=ba'a$ 给出的 C 模。令 $u$ 为 End$_{\mathbf{Z}}(A)$ 的元素。那么$u$属于到C模M的交换子$C'_M$当且仅当$u$是右A线性且左B线性，在其他字，当且仅当$u$属于到交换子A-模$A_s$同位的环中有$B_M$。因而，我们将定义同构$\gamma$从$B'$到$C'_M$，通过关系$\gamma (b')(x) =b'x$，为$B'$中的$b'$和M中的$x$。现在，环 C是半单，C模块M是由A的元素1生成的。通过VIII的命题6，p. 139，环$C'_M$是半单，所以代数$B'$是半单。

设$\varphi$是从$A\otimes_KA^o$到End$_K(M)$的K-代数同态，将$a\otimes a'$发送到K-线性映射$x\mapsto axa'$从M到M。由于K-代数A和$A^o$是中心简单，所以唯一的两侧$A\otimes_KA^o$ 的理想值是 0 和 $A\otimes_KA^o$（VIII、p. 218，推论）。我们有$C_M=\varphi (B\otimes A^o)$和$C'_M=\varphi (B'\otimes K)$。 同态 $\varphi$ 不是零；因此它是单射的。由于环C是半单，我们有$C''_M= C_M$乘命题5个VIII，p. 139。由此可见，$A\otimes_KA^o$的子代数$B\otimes_KA^o$是子代数$B'\otimes_KK$的交换子。因而，$A\otimes_KK$中$B'\otimes_KK$的交换子等于$(B\otimes_KA^o)\cap (A\otimes_KK)$，即$B\otimes K$乘以II, §7, No. 9、p. 311的命题 19。因而，A 中$B'$ 的交换子等于 B。代数 $L = B\cap B'$ 是 B 的中心。由于 B 是 K 上有限次数的半单代数，代数 L 是可交换的，半单和有限次数大于 K。由于 B 是 A 中$B'$的交换子，$B'$的中心也等于$L = B\cap B'$（VIII，p. 77）。我们已经证明了a）。

现在假设代数 B 是简单的。由 VIII、p. 222、环 C 的推论 2 很简单。通过VIII的命题 4，p. 123应用于C模M，其交换子与$B'$同构的，环$B'$是简单的，并且M是有限长度的$B'$模。在其他字中，$B'$是简单环A的简单子环，而左边的次数$[A : B']_s$是整数$m\geqslant 1$。作为左 $B'$ 模，A 具有有限的基 $(a_1, . . . , a_m)$。此外（前述），$\varphi$诱导由限制同构从C到$C''_M=$结束$_{B'}$（A），以及映射$c\mapsto (ca_1, . . . , ca_m)$从C到$A^m$是因此是双射的。因而，C 是维数 $m$ 的免费右A-模。现在，我们有 $C = B\otimes A^o$，所以 C 是维数 [B : K] 的免费右A-模；由此可见$[A : B']_s=m= [B : K]$。从VIII、p. 125的命题 6，我们推导出

因为我们也有

[B : K] 是有限的并且非零的，我们结论有等式$[A : B]_s= [B': K] ($集合理论，III, §6, No. 3，p. 188，推论3）。我们已经证明了b）。

设 A 为有限次数的中心单K-代数。可以存在满足$[A : K]\not=$$[B : K] [B': K]$的半单交换子代数B（VIII、p. 269中的习题1）。

a) 假设 B 是中心简单的。那么$B'$是中心简单，将$b\otimes b'$发送到$bb'$的K-代数同态$\theta : B\otimes_KB'\rightarrow A$是同构。

b) 假设B是半单，令$L = B\cap B'$。那么$B'$就是半单代数。 A 中L的交换子$L'$是半单环和中心L，将$b\otimes b'$发送到$bb'$的环同态$\psi : B\otimes_LB'\rightarrow L'$是同构。

让我们证明a）。如果 B 是中心单形，则 $B'$ 是VIII、p. 259 的定理 5 的中心单形。因而 K-代数 $B\otimes_KB'$ 是简单的（VIII，p. 222，推出 2），同态 $\theta : B\otimes_KB'\rightarrow A$ 是单射的。现在，通过$[A : B']_s$的等式和[B : K] (定理 5)，左边的$B'$-模块$B\otimes_KB'$和A不再有相同的有限维；因而，它们是相同有限长度的 $B'$ 模块。根据 II, §1, No. 10 的推论 2，第 14 页$213,\theta$ 是双射的。

让我们证明b)。到定理 5，代数 L 是可交换的，有限次数超过 K，并且半单。按地点。引用。应用于L，它在A中的交换子$L'$是半单代数，L是A中$L'$的交换子，所以L是$L'$的中心。由于 L 是半单环 $L', B$ 的中心和 $B'$，因此我们可以确定 $L'$ 具有简单环 $L'_i$ 的有限乘积 （对于$i\in I$），这样我们就有

其中$L_i$是$L'_i$的中心，$B_i$和$B'_i$是$L'_i$的子代数，中心$L_i$互为$L'_i$中的交换子。我们将$L'_i$视为交换域$L_i$的中心单代数，并将$B_i$视为有限次数的中心简单$L_i$代数。通过断言a)，将$b_i\otimes b'_i$发送到$b_ib'_i$的典范映射$\psi_i: B_i\otimes_{L_i}B'_i\rightarrow L'_i$是环同构。现在，我们将可以确定$B\otimes_LB'$与$\prod_{i\in I}(B_i\otimes_{L_i}B'_i)$相结合，这样$\psi$就是映射$(\psi_i)_{i\in I}$家族的乘积。因而，$\psi$是环同构。

由于 K 上有限次数的每个单代数都是中心，因此推论由定理 5 和 6 得出。

a) 代数 L 是 A 的最大值交换子代数当且仅当 L 等于 A 中的交换子 $L'$。

b) 设$K'$为非零的交换K-代数。那么L是A的最大值交换子代数当且仅当$L_{(K')}$是$A_{(K')}$的最大值交换子代数。

让我们证明a）。首先假设L等于$L'$。那么 L 是可交换的；如果 M 是包含 L 中的交换子代数，那么对于 L 中的 $x$ 和 M 中的 $y$，我们有 $xy=yx$，因而 $M\subset L'$ 因而 M = L。因而，L 是 A 的最大值交换子代数。

相反，假设L是A的最大交换子代数，并令$x$为$L'$的元素。由 $L\cup \{x\}$ 生成的 A 的子代数 M 是可交换的且包含 L。因为 L 是最大的，所以我们有 M = L，所以 $x\in L$，最后是 $L = L'$，这给出了 a)。

通过III, §4, No. 4、p. 468的命题 6，$L_{(K')}$在$A_{(K')}$的交换子是$L'_{(K')}$。由于等式 $L = L'$ 和 $L_{(K')}= L'_{(K')}$ 是等价的（II, §7, No. 9、p. 311、命题 19），断言 b) 由 a) 推出。

(i) 代数 L 是 A 的最大值交换子代数。

(ii) 左边的 L-模块 A 是自由的，维数 [L : K]。

(iii) 我们有 $[A : K] = [L : K]^2$。

此外，假设 A 是代数 End$_K(V)$，其中 V 是 K 上非零有限维的向量空间。那么前面的性质也等价于以下：

(iv) V 是维数 1 的免费 L 模块。

A) 假设 A 为形式End$_K$(V)，其中V是非零有限维的向量空间超过域K。我们将建立条件的等价(i)到(iv)如下图表

（一）$=\Rightarrow$（四）$=\Rightarrow$（二）$=\Rightarrow$（三）$=\Rightarrow$（一）。

由于L在K上是有限次数的半单交换代数，我们用有限次数的K的扩张的有限乘积$\prod_{i\in I}L_i$来计算可以确定（VIII，p. 137， 命题3)。对于每个$i\in I$，令$V_i$为L模块V的型$L_i$的同型组件；它是非零有限维的向量空间超过$L_i$，因为V是一个忠实的L模块（VIII，p. 144，推论）。然后我们可以用$\prod_{i\in I}V_i$来认同V。在这些条件下，A中L的交换子$L'$，简单来说就是代数End$_L$(V)，可以用乘积$\prod_{i\in I}$End$_{L_i}(V_i)$来识别。

假设L是End$_K(V)$的最大值交换子代数。到引理 3, a) 时，我们有 $L = L'$，因而 $L'$ 是可交换的，并且对于每个 $i\in I$，我们都有暗淡$_{L_i}(V_i) = 1$。因而 (i) 意味着 (iv)。

假设L模V不含维数 1。令$(e_1, . . . , e_r)$为K上V的基。映射$a\mapsto (ae_1, . . . , ae_r)$为左A-模的同构，因此为L-从A到$V^r$的模块。因而，A 是维数 $r$ 的自由左L模，我们有$r=$暗淡$_K(V) = [L : K]$。因而 (iv) 意味着 (ii)。

显然，(i) 意味着(iii)。

最后，假设我们有$[A : K] = [L : K]^2$，在其他字，暗淡$_K(V) = [L : K]$。然后我们就有了 $\sum_i$ 暗淡$_{L_i}(V_i)[L_i: K] =\sum_i[L_i: K]$，因此对于每个 $i$，$V_i$ 的维数比 $L_i$ 多 1。然后，对于每个$i$，我们都有End$_{L_i}(V_i) = L_i$，所以$L'= L$。通过引理 3，a)，L 是 A 的最大值交换子代数。因而 (iii) 蕴涵 (i)。

B) 让我们继续讨论一般情况。通过VIII、p. 252的定理 1，存在有限次数的K的可分扩张$K'$，使得$K'$-代数$A_{(K')}$同构于代数End$_{K'}(V')$，其中$V'$ 是非零有限维中的向量空间超过$K'$。那么$K'$-代数$L_{(K')}$是可交换的并且半单（VIII，p. 222，推论2）。通过证明的第一个部分，以下属性是等效的：

(i$'$)代数$L_{(K')}$是$A_{(K')}$的最大交换子代数。

(ii$'$) 左边的$L_{(K')}$模块$A_{(K')}$是免费的，维数$[L_{(K')}: K']$。

(iii$'$) 我们有$[A_{(K')}: K'] = [L_{(K')}: K']^2$。

根据引理 3, b)，性质 (i) 和 (i’) 是等价的。

集合$n= [L : K]$；然后$n= [L_{(K')}: K']$。 性质 (ii) 表示左侧L-模A与$L^n$同构；通过VIII、p. 37的定理 3，这相当于$L_{(K')}$模块$A_{(K')}$和$(L_{(K')})^n$是同构的。 (ii) 和 (ii$'$) 的等价如下。

最后，我们有$[A : K] = [A_{(K')}: K']$和$[L : K] = [L_{(K')}: K']$，它们给出了属性(iii)和(iii$'$)的等价。这样我们就证明了性质 (i)、(ii) 和 (iii) 的等价。

集合$n= [L : K]$。当左模超过子环$f$(L)时，A不包含维数$n$；这是从命题的属性(ii)和(iii)的等价得出的。由于$f$是从L到$f$(L)的同构，所以左边的L-模块$A^f$（其律作用由 $(x, a)\mapsto f(x)a$ 给出）与维数 $n$ 无关。这同样适用于$A^g$，因此它与$A^f$同构的。我们对命题 1 (VIII, p. 257) 的属性 (i) 和 (ii) 利用得出等价。

假设 A 是 K 上有限次数的中心单代数。 A 可能存在不是半单且 $[A : K]\not= [L : K]^2$ (VIII, p. 270, 习题 5) 的最大值交换子代数 L。

根据 Wedderburn 的定理 (VIII, p. 120, 定理 1)，我们可以假设 A 是形式 $\mathbf{M}_n$(D)，其中 $n$ 是严格的正整数，D 域与中心 K。

假设$n >1$。 K 中包含条目的对角线矩阵的代数是与 K 不同的 A 的既约子代数。

假设$n= 1$。设$p$为D的特征指数。通过VIII、p. 230的引理1，存在D的元素$a$，使得对于任何自然数$m$，$a^{p^m}$不属于到K。因而，对于 $m$ 足够大，元素 $x=a^{p^m}$ 在 K (V, §7, No. 7, p. 44, 命题 13) 上是可分的，但它不能属于到 K。 A 的子代数 $K(x)$ 是可分扩张域 K 有限次数，因此既约子代数大于 K；它与 K 不同。

a) 如果L是A的半单交换子代数中最大的，则我们有$L = L'$，L是A的最大交换子代数。

b) 如果L是A的既约子代数中最大的，则我们有$L = L'$，L是A的最大交换子代数。

我们知道关系$L = L'$意味着L是A的最大交换子代数（VIII，p. 261，引理3，a））。假设 L 是半单，可交换，且不同于 $L'$。通过VIII的定理 5，p. 259$, L'$是半单，L是$L'$的交换子，因此中心是$L'$；因而，$L'$ 不可交换。只要证明 A 中存在半单交换子代数 M，它不同于 L 和包含 L，并且如果 L 是 étale，那么它也是 étale。

通过结构定理对于半单环（VIII，p. 135，定理1），从$L'$到$B_1\times \cdots \times B_r$存在简单的环$B_1, . . . ,B_r$和同构$\varphi$。对于$1\leqslant i\leqslant r$，用$E_i$表示$B_i$的中心；那么我们就有$\varphi (L) = E_1\times \cdots \times E_r$。由于 $L'$ 不可交换，我们可以假设 $B_1$ 对于例不可交换；因而，我们有$B_1\not= E_1$，并且到引理 4，存在$B_1$的子代数$M_1$，它是可交换的，与$E_1$不同，并且在$E_1$之上。 集合$M =\varphi^{-1}(M_1\times E_2\times \cdots \times E_r)$；它是包含 L 中的半单交换子代数，与 L 不同。假设 L 是 K 上的 étale；让我们证明 M 是 étale。 K 的扩张 $E_i$ 是可分离的 (V, §6, No. 4, p. 30, 命题 3)。此外，由于$E_1$-代数$M_1$和K-代数$E_1$是étale，K-代数$M_1$也是étale（V, §6, No. 5，p. 32，推论2）。因而 K-代数 $M_1\times E_2\times \cdots \times E_r$ 是 étale，因而 M 也是如此。

设A是K上有限次数的中心单代数。A的半单交换子代数中最大的子代数称为A的最大半单交换子代数。通过命题4，项“最大”指的是性质可交换或半单且可交换。 A的既约子代数中最大的A的子代数称为A的极大étale子代数。

a) D 的极大交换子域是 D 的极大交换子代数，也是 D 的极大半单交换子代数。D 的每个可交换子域 L 都包含在极大交换子域中。

b) 令 L 为 D 的交换律子域，即 K 的可分扩张；它包含在 D 的极大交换子域中，即 K 的可分扩张中。

c) 令 L 为 D 的交换律子域。则当且仅当我们有 $[D : K] = [L : K]^2$ 时，L 为 D 的极大交换子域。

D 的子代数是域 (V, §2, No. 2, p. 10, 命题 1)，因此是半单。此外，D 包含于 K 的极大交换子域。 断言 a) 和 b) 由推论 1 和命题 3 (VIII, p. 262) 的断言 c) 得出。

a) 代数 B 包含于 A 的最大半单交换子代数当且仅当 B 包含于 $B'$。

b) 假设 B 包含于 $B'$，并设 $g$ 为K-代数同态，从 B 到 A，存在 A 的内自同构 $\theta$，重合与 B 上的 $g$。

设L为A的最大交换子代数；通过 VIII、p. 261、L 的引理 3 等于 A 中其交换子 $L'$。如果 B 包含于 L，则其交换子 $B'$ 包含在 $L'$ 中，因此也包含在 B 中。

反之，假设B包含$B'$，则$B'$是B的中心，即半单交换代数（VIII，p. 137，命题2）。根据推论 1，存在最大半单交换子代数 L 包含于 $B'$。 L的交换子是L（VIII，p. 261，引理3，a）），$B'$的交换子等于B（VIII，p. 259，定理5）。因此关系$L\supset B'$意味着$L\subset B$。我们已经证明了a）。

让我们证明b)。假设 B 包含于 $B'$，且选择 B 中包含的 A 的最大值半单交换子代数 L，由 a) 存在。令从B到A的$g$为同态。通过VIII、p. 262中的命题 3，我们有等式$[A : K] = [L : K]^2$；由VIII、p. 263的推论，存在A的内自同构$\theta_1$，即重合与L上的$g$。如果$f$是B到A的典范嵌入，则同态$g$和$\theta_1\circ f$具有相同的B的限制到中心$B'$，因为$B'$包含在L中。由VIII、p. 256的定理2，存在A的内自同构$\theta$使得$g=\theta \circ f$；其他字、$\theta$扩展$g$。