对于 $x\in P,x^*\in P^*$ 和 $y\in P$，通过关系 (4)、(8)、(10) 和 (11)，我们有

同样，对于$x\in P,\widetilde{y}\in \widetilde{P}$和$y\in P$，我们有

由于假设，P 忠实于A-模和B-模。分别从关系 (15) 和 (16) 推导出 $\widetilde{\sigma}\circ \sigma = 1_{P^*}$ 和 $\sigma \circ \widetilde{\sigma}=$ $1_{\widetilde{P}}$。 关系 (13) 和 (14) 分别由 (12) 和 (9) 得出。

(i) A-模 P 是射影且有限生成的。

(ii) 映射 θ (VIII, p. 96) 是从 $P^*\otimes_AP$ 到 $_sB_d$ 的 $(B,B)_k$ 双模的同构。

(iii) B 的 θ 包含单位元的像。

此外，如果从 A 到 End$_B(P)$ 映射 $a\mapsto a_P$ 是双射，则上面的断言等价于下面的叙述：

(iv) 从$Q\otimes_AP$到$_sB_d$存在$(B,A)_k$-双模Q和满同态的$(B,B)_k$-双模。

由 II, §4, No. 2、p. 271、断言的推论 (i) 意味着 (ii)。此外，(iii) 由(ii) 得出。令$t\in B^*\otimes_AB$ 使得$\Theta (t) = 1$。令$n$为整数，并令$(x_1, . . . , x_n)\in P^n$和$(x^*_1, . . . , x^*_n)\in P^{*n}$为$t=\sum^n_{i=1}x^*_i\otimes x_i$。对于每个 $x$ 属于到 P，关系 $x\Theta (t) =x$ 可以写成

由此可见，A-模 P 由$(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$族有限生成，并且我们使用II, §2, No. 6、p. 238的命题 12 来得到蕴涵 (iii) $\Rightarrow$ (i) 的结论证明。

显然我们有 (ii) $\Rightarrow$ (iv)。设Q是从$Q\otimes_AP$到$_sB_d$的$(B,B)_k$双模的$(B,A)_k$双模和$\theta$满同态。在前面的小节的记号中，存在$(B,A)_k$双模$\zeta : Q\rightarrow \widetilde{P}$的同态，使得$\theta (y\otimes x) =\langle \zeta (y), x\rangle$对应于$x\in P$和$y\in Q$，我们有$\theta =\widetilde{\Lambda}\circ (\zeta \otimes 1_P)$。由于 $\theta$ 是满射，因此$\widetilde{\Lambda}$ 也同样成立。如果从A到End$_B(P)$的映射$a\mapsto a_P$是双射，则θ是VIII、p. 97的命题 1的关系(14)满射；蕴涵 (iv) $\Rightarrow$ (iii) 如下。

(i) A-模 P 为生成的。

(ii) 映射Λ中的像从$P\otimes_BP^*$到$_sA_d$（VIII，p. 95）包含单位元。

(iii) 从$P\otimes_BQ$到$_sA_d$存在$(B,A)_k$-双模Q和满同态的$(A,A)_k$-双模。

此外，如果从 B 到 End$_A(P)$ 映射 $b\mapsto b_P$ 是双射，则断言等价于以下叙述：

(iv) 映射Λ是同构从$P\otimes_BP^*$到$_sA_d$。

(i) $\Leftrightarrow$ (ii): Λ 的像是理想迹$\tau (P)$ (VIII, p. 80)。因此，(i)和(ii)的等价由VIII、p. 80的定理 1得出。

(ii)$\Rightarrow$ (iii)：取$Q = P^*$即可。

(iii) $\Rightarrow$ (ii)：令 Q 为从 $P\otimes_BQ$ 到 $_sA_d$ 的$(A,A)_k$-双模的 $(B,A)_k$ 双模和 $\psi$ 同态。从 Q 到 $P^*$ 存在 $(B,A)_k$ 双模 Ψ 的同态，使得 $\psi (x\otimes y) =\langle x,\Psi (y)\rangle$ 对应于 $x\in P$ 和 $y\in Q$，并且我们有等式 $\psi = \Lambda \circ (1_P\otimes \Psi )$。如果 $\psi$ 是满射，那么 Λ 也是满射。

显然，(iv) 暗示着(ii)。相反，假设性质 (ii) 成立，并且从 B 到 End$_A(P)$ 映射 $b\mapsto b_P$ 是双射的。令 $e$ 为 $P\otimes_BP^*$ 的元素，使得 $\Lambda (e) = 1$。到VIII、p. 96的关系(7)，$P\otimes_BP^*$中每$u$就有$u= \Lambda (u)e$； Λ 的单射性如下。

a) 如果 A-模 P 是生成的，则右B-模 P 是射影且有限生成的。

b) 如果 A-模 P 是射影且有限生成的，则右B-模 P 是生成的。

假设A-模 P 是生成的。那么它是忠实且平衡的（VIII，p. 82，定理2），因此从A到End$_B(P)$的映射$a\mapsto a_P$是双射的（VIII，p. 97，注1）。此外，映射$\Lambda : P\otimes_BP^*\rightarrow_sA_d$是双射（VIII，p. 98，命题3）。我们将 P 视为 $(B^o,A^o)_k$ 双模。 映射 Λ 诱导双射映射 $P^*\otimes_{B^o}P\rightarrow A^o$；由 VIII、p. 98、(iv) $\Rightarrow$ (i)、右B-模的命题 2 P 是射影且有限生成的。

现在，假设 A-模 P 是射影且有限生成的。那么映射 $\Theta : P^*\otimes_AP\rightarrow_sB_d$ 是双射 (loc. cit., (i) $\Rightarrow$ (ii))。将上述命题 3 的 (iii) $\Rightarrow$ (i) 应用于$(B^o,A^o)_k$-双模 P，右B-模 P 为生成的。

设 A 为 $k$ 代数，M 为 A-模。我们用 B 表示代数 End$_A(M)$ 的相反 $k$ 代数。推论来自应用于 $(A,B)_k$ 双模 M 的命题 4。

(i) A-模 P 是生成的，并且从 B 到 End$_A(P)$ 的映射 $b\mapsto b_P$ 是双射的。

(ii) 右B-模 P 是射影、有限生成、忠实且平衡的，并且从 A 到 End$_B(P)$ 的映射 $a\mapsto a_P$ 是双射的。

蕴涵 (i) $\Rightarrow$ (ii) 由命题 4, a) 和注 1 (VIII, p. 97) 得出。假设 (ii) 成立；那么 A-模 P 是生成的 (命题 4, b) 应用于$(B^o,A^o)_k$-双模 P)。由于B-模 P 是忠实且平衡的，因而 (i) 的第二个断言也满足 (VIII, p. 97, 注 1)。

令 Q 为 P 的双模逆，且为 $(B, B)_k$ 双模的 $\theta : Q \otimes_A P \to {}_s B_d$ 同构的。 引理源自图表的交换律

(ii) A-模 P 是射影、有限生成的，并且从 B 到 $\operatorname{End}_A(P)^{\circ}$ 的生成的和映射 $b \mapsto b_P$ 是 K-代数同构。

(iii) 右B-模 P 是射影、有限生成的，并且从 A 到 $\operatorname{End}_B(P)$ 的生成的和映射 $a \mapsto a_P$ 是 K-代数同构。

如果这些性质成立，那么同态

是同构，因而$(B, A)_k$双模$P^*$是P的逆。

如果性质 (ii) 成立，则 P 是可逆 $(A, B)_k$ 双模，具有逆 $P^*$ (VIII, p. 98, 命题 2 和 p. 98, 命题 3)。这证明了 (ii) 蕴涵 (i) 和最后一个断言。

假设 $(A, B)_k$-双模 P 是可逆的。那么A-模 P 就是生成的 (VIII, p. 98, 命题 3, (iii) $\Rightarrow$ (i))。因而，它是忠实且平衡的（VIII、p. 82、定理 2），因而，从 A 到 $\operatorname{End}_B(P)$ 的映射 $a \mapsto a_p$ 是双射的。

现在让我们证明从B到$\operatorname{End}_A(P)$的映射$b \mapsto b_P$是双射的。设 Q 为 $(B, A)_k$ 双模，与 P 相反。设 $u \in \operatorname{End}_A(P)$；那么$1_Q \otimes u$是左B-模$Q \otimes_A P$中的自同态。由于$(B, B)_k$双模$Q \otimes_A P$与$_s B_d$同构的，因此存在B的唯一元素$b$，使得$1_Q\otimes u$是位似，比率$b$为右B-模$Q\otimes_AP$。因而，我们有 $1_Q\otimes (u-b_P) = 0$。因而，$u=b_P$乘以引理1；这证明从 B 到 End$_A(P)$ 映射 $b\mapsto b_P$ 是双射的。

通过 VIII、p. 98、A-模的命题 2，然后 P 是射影且有限生成的。因此我们证明了 (i) 和 (ii) 的等价。

通过交换A和B的角色，我们得到(i)和(iii)的等价，其中命题的结论证明。

给定定理 1，这是从 VIII、p. 97 的注 2 得出的。

映射$\tau$的存在性和唯一性是明确的。它是$(B,A)_k$双模的同态，我们有$\lambda = \Lambda \circ (1_P\otimes \tau )$。由于$\lambda$和Λ是$(A,A)_k$双模（VIII、p. 101、定理 1）的同构，$1_P\otimes \tau$也是如此。到引理 1 时，映射 $\tau$ 是双射的。

b) 每个左A-模 M 都同构于形式 $P\otimes_BV$ 的模，其中V 是左B-模。

令 V 和 W 为左B-模。通过VIII、p. 101、映射$\varphi :g\mapsto 1_P\otimes g$的引理 1，从Hom$_B(V,W)$到Hom$_A(P\otimes_BV,P\otimes_BW)$是单射的。通过交换 P 和 Q（以及 A 和 B）的角色，我们看到从 Hom$_A(P\otimes_BV,P\otimes_BW)$ 到 Hom$_A(Q\otimes_AP\otimes_BV,Q\otimes_AP\otimes_BW)$ 的映射 $\psi :h\mapsto 1_Q\otimes h$ 也是单射的。现在，合成$\psi \circ \varphi$是映射$g\mapsto \theta^{-1}_W\circ g\circ \theta_V$。它是双射的，因而 $\psi$ 也是双射的。因而，$\varphi$是双射，它的逆矩阵是映射$h\mapsto \theta_W\circ (1_Q\otimes h)\circ \theta^{-1}_V$。

断言 b) 从$\lambda_M$是同构这一事实得出，从$P\otimes_B$$\otimes_A\otimes M$到M。

设 V 为左B-模，W 子模为 V。由于 B-模 P 是射影（VIII、p. 101、定理 1），因此从 $P\otimes_BW$ 到 $P\otimes_BV$ 的典范映射是单射的。我们认同$P\otimes_BW$及其像在$P\otimes_BV$通过这个映射。当 P 和 B 被 Q 和 A 替代时，我们采用类似的约定。

用V B-子模$D_B(V)$集合表示，按包含排序，定义集合$D_A(P\otimes_BV)$和$D_B(Q\otimes_AP\otimes_BV)$同理。 设$\varphi : D_B(V)\rightarrow$$D_A(P\otimes_BV)$为映射$W\mapsto P\otimes_BW$和$\psi$映射，从$D_A(P\otimes_BV)$到$D_B(Q\otimes_AP\otimes_BV)$由$N\mapsto Q\otimes_AN$给出。 它们是单调递增映射，合成 $\psi \circ \varphi$ 是映射 $W\mapsto \theta^{-1}_V$(W)，它是双射的。 因而，$\varphi$是单射的，$\psi$是满射的。 通过替换 B 与 A 以及 V 与 $P\otimes_BV$，我们看到 $\psi$ 也是单射的。 因而，$\varphi$和$\psi$是双射的，$\varphi$的逆映射确实是命题中描述的。

a) There exists an isomorphism of ordered sets $f$ from $\mathscr{B}_A$ to $\mathscr{B}_B$ determined by the following property: if $\mathfrak{a}$ is a two-sided ideal of A and $\mathfrak{b}$ a two-sided ideal of B, then the relation $f(\mathfrak{a}) =\mathfrak{b}$ is equivalent to $\mathfrak{a}P = P\mathfrak{b}$.

b) 假设环 A 是可交换的，因此 A 可以与 B 的中心等价（VIII，p. 102，推论 1）。 同构 $f:\mathscr{B}_A\rightarrow$ $\mathscr{B}_B$ 将 A 的理想 $\mathfrak{a}$ 发送到 B 的双边理想 $B\mathfrak{a}$，得到 $\mathfrak{a}= A\cap B\mathfrak{a}$。

断言 a) 由例 2 推出。

现在，假设 A 是可交换的，认同 A 与 B 的中心。令 $\mathfrak{a}$ 为 A 的理想。则 $B\mathfrak{a}$ 为 B 的两侧理想；我们有 PB$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}P$，因此有$f(\mathfrak{a}) = B\mathfrak{a}$。设$\mathfrak{a}'$为A的理想$A\cap B\mathfrak{a}$；它包含在$B\mathfrak{a}$和包含$\mathfrak{a}$中，所以$B\mathfrak{a}'$等于$B\mathfrak{a}$。由于$f$是双射的，因此$\mathfrak{a}'=\mathfrak{a}$。

b) 设$(V_i)_{i\in I}$是V的子模的家庭。我们有

子模 M 已订购集合 D(M)

D(M) 零子模最小的元素

子模 M 最大元素 D(M)

$\bigcap_{i\in I}M_i$下确界inf$_{i\in I}M_i$

$\sum_{i\in I}M_i$ 至少上界支持$_{i\in I}M_i$

补子模 inf(M$',M''$) $= 0$，sup(M$',M''$) $= M$

M 的简单子模最小 D(M) 的元素 $-\{0\}$

M 极大子模 D(M) 极大元素 $-\{M\}$

M 的底层 $\mathscr{S}(M)$ 集合的 D(M) 中最少上界

D(M)$-\{0\}$ 的最小元素

集合的 D(M) 中 M 下确界的$*$部首$\mathfrak{R}(M)$

D(M)$-\{M\}$极大元素(VIII、p. 151)

表I。

模 M 的性质 D(M) 的性质

M 为诺特。有序集合 D(M) 为诺特 (集合

理论，III, §6, No. 5，p. 190）。

M 为阿廷的。 集合 D(M)，按$\supset$排序，为

诺特。

M 不可分解。我们有 M $\not= 0$，但没有

两个非零元素 $M'$ 和 $M''$

D(中) 满足 inf(中$',M''$) $= 0$,

超级（M$',M''$）$= M$。

M 是有限生成的。对于 D(M) 中的每个家庭 $(M_i)_{i\in I}$

上界 M，存在有限个

子集 J 的 I 使得 M =sup$_{j\in I}M_j$。 M很简单。卡(D(M)) = 2。

M 为半单。 M 是最小上界，在 D(M) 中，

集合至少元素

D(M)$-\{0\}$。

表II。

c) B-模 V 是$(V_i)_{i\in I}$ 家族中子模的直和当且仅当M 是$(\varphi (V_i))_{i\in I}$ 家族中的直和。

设$V'$和$V''$为V的子模，使得$V'$包含在$V''$中； 集合$M'=\varphi (V')$和$M''=\varphi (V'')$，因此$M''$包含于$M'$。用 $[V',V'']$ 表示 V 的子模 W 的 D(V) 由……组成区间，这样我们就有 $V'\subset W\subset V''$，同样，定义也有 D(M) 中的区间 $[M',M'']$。 映射$W\mapsto W/V'$是从$[V',V'']$到$D(V''/V')$的有序集中的同构；我们同样从 $[M',M'']$ 有序集定义同构到 $D(M''/M')$。由于$\varphi$发送间隔$[V',V'']$到$[M',M'']$，所以从$D(V''/V')$到$D(M''/M')$，有序集的定义同构$\varphi$。由此我们推导出以下命题以及表I和II。