(1) cl(A $\otimes_KB$) $=$ cl(A) cl(B)。

设A、B、C为有限次数的K-代数，分别为类、$\alpha$、$\beta$、$\gamma$。 K-代数 A 和 $\alpha$ 是同构的，B 和 $\beta$ 也是同构的。 因而，K-代数$A\otimes_KB$和$\alpha \otimes_K\beta$是同构的，我们有cl(A$\otimes_KB$)$=$cl($\alpha \otimes_K\beta$)，它给出公式(1)。 It follows that $(\alpha \beta )\gamma$ is the class of the K-algebra $(A\otimes_KB)\otimes_KC$ and $\alpha (\beta \gamma )$ that of the K-algebra $A\otimes_K(B\otimes_KC)$. 现在，这些K-代数是同构的（III, §4, No. 1，p. 461），所以我们有等式$(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )$。 类似地，关系$\alpha \varepsilon =\varepsilon \alpha =\alpha$由K-代数$A\otimes_KK, K\otimes_KA$和A同构得出，关系$\alpha \beta =\beta \alpha$由代数$A\otimes_KB$和$B\otimes_KA$同构得出。

在集合$\mathscr{C}_K$、关系“$\alpha$和$\beta$是莫里塔等价代数”是等价关系（VIII、p. 100）。 $\mathscr{C}_K$、VIII、p. 111的命题13、d)与合成的律兼容。我们用$\mathscr{M}_K$表示$\mathscr{C}_K$的商幺半群，用这个等价关系和从$\mathscr{C}_K$到$\mathscr{M}_K$的$\varphi$典范同态。对于有限次数的每个 K-代数 A，我们用 $\varphi$ 表示 cl(A) 的 [A] 像。如果 A 和 B 是有限次数的 K-代数，那么我们有 [A] = [B] 当且仅当 K-代数 A 和 B 是 Morita 等价的；此外，我们还有关系

在幺半群$\mathscr{M}_K$中。

通过定义，我们有 [A] = [D] 当且仅当存在可逆 $(A$, D)-双模，即 (VIII, p. 101, 定理 1), 非零有限维的右向量空间 V 在 D 上赋予同构 K-代数$A\rightarrow$结束$_D(V)$。接下来是引理1。

设 A 是 K 上有限次数的中心单代数。代数 $A^o$ 是 K 上有限次数的中心简单（VIII，p. 251）。 代数 $A\otimes_KA^o$ 与矩阵代数 $\mathbf{M}_n$(K) 同构，其中 $n^2=$ dim(A) (VIII, p. 252, 定理 1)。因此我们有 $[A][A^o] = [A\otimes_KA^o] = [K]$ (引理 1)，它证明 [A] 是可逆的，且有逆 $[A^o]$。

相反，令 A 为 K-代数 / 有限次数。如果 [A] 在 $\mathscr{M}_K$ 中可逆，则存在有限次数的 K-代数 B，使得 [A][B] = [K]；由公式 (2) 和引理 1，这意味着 K-代数 $A\otimes_KB$ 与矩阵代数 $\mathbf{M}_n(K)$ 和 $n\geqslant 1$ 同构。由 VIII、p. 251、代数中的注 1 则 A 是中心简单。

这样 $\varphi ((a_{ii'})\otimes (b_{jj'}))$ 是矩阵，其中指标 $((i, j),(i', j'))$ 等于 $a_{ii'}\otimes b_{jj'}$。

$k$线性双射$\varphi$与引理中所述的性质的存在源自张量积与直和（II, §3, No. 7，p. 255，命题7）的兼容性。 $\varphi$ 是代数同态是从乘积矩阵的定义得出的。

(i) 布劳尔群 Br(K) 中有 [A] = [B]。

(ii) 存在整数$t\geqslant 1$使得K-代数$A\otimes_KB^o$与矩阵代数$\mathbf{M}_t(K)$同构。

(iii) 严格存在正整数$r$和$s$使得K-代数$A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$和$B\otimes_K\mathbf{M}_s(K)$同构。

(iv) 存在域 D 包含 K 和整数 $m\geqslant 1$ 和$n\geqslant 1$，使得A 与$\mathbf{M}_m(D)$ 同构，B 与$\mathbf{M}_n(D)$ 同构。

(v) K-代数 A 和 B 是森田等价的。

假设我们有 [A] = [B]。由于$[B^o]$是布劳尔群中[B]的逆，所以我们有$[K] = [B][B^o] = [A][B^o] = [A\otimes_KB^o]$。到引理 1，存在整数$t\geqslant 1$，使得代数$A\otimes_KB^o$和$\mathbf{M}_t(K)$同构。因此 (i) 意味着 (ii)。

假设 (ii) 成立。由于 $B^o\otimes_KB$ 与矩阵代数 $\mathbf{M}_s(K)$ 与 $s\geqslant 1$ (VIII, p. 252, 定理 1) 同构，代数 $A\otimes_KB^o\otimes_KB$ 同构于 $A\otimes_K\mathbf{M}_s$(K)，一方面，另一方面，到 $\mathbf{M}_t(K)\otimes_KB$。所以性质(ii)意味着性质(iii)。

假设 (iii) 成立。根据 Wedderburn 的定理 (VIII, p. 120, 定理 1)，K 上存在整数 $m\geqslant 1$ 和 $n\geqslant 1$ 和域 D 和 $D'$ 有限次数中心 K 使得 A 与 $\mathbf{M}_m(D)$ 同构，B 与 $\mathbf{M}_n(D')$ 同构。那么代数$A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$同构于$\mathbf{M}_{mr}$(D)，代数$B\otimes_K\mathbf{M}_{r'}(K)$同构于$\mathbf{M}_{nr'}(D')$(引理2)。由推论2 VIII、p. 121、K-代数 D 和$D'$ 同构。因此 (iii) 意味着 (iv)。

假设 (iv) 成立。 代数 A 和 D 是森田等效的，代数 B 和 D (VIII、p. 114、例 2) 也是如此。因此，A和B是森田等价的，因此(iv)蕴涵(v)。

最后，蕴涵(v)$\Rightarrow$(i)是集合Br(K)的定义。

当命题的等价性质成立时，我们说代数A和B相似。

这是从命题 3 的属性 (i) 和 (iv) 的等价以及 dim$_K(\mathbf{M}_n(D)) =$ dim$_K(D)\times n^2$ 的事实得出的。

这是从 VIII、p. 278 和 Wedderburn 的定理（VIII、p. 120、定理 1）中的引理 1 得出的。

(i) 对于 A，扩张 L 是分裂域。

(ii) 存在类似于包含的有限次数的中心单K-代数，并且最大交换子代数同构于L。

让我们证明 (ii) 蕴涵 (i)；只要考虑L是A的最大交换子代数的情况就足够了。令$\psi : A\otimes_KA^o\rightarrow$End$_K(A)$为典范同构，将$a\otimes a'$发送到K-线性映射$x\mapsto axa'$（VIII，p. 252， 定理1)。我们将 A 视为右向量空间超过 L；然后$\psi$将$A\otimes_KL$发送到End$_K(A)$和诱导的子空间End$_L(A)$，通过L-代数$\psi ': A\otimes_KL\rightarrow$End$_L(A)$的限制、单同态。 集合$n= [L : K]$。到VIII、p. 262、命题 3，我们有$[A : L] =n$，因此有$[A\otimes_KL : L] = [A : K] =n^2$和[End$_L(A) : L] =n^2$。因而，$\psi '$是同构，这证明了(i)。

逆命题由下面的引理 3 得出。

我们认同 A 与子环 $A_{(L)}$。我们将V视为K-向量空间。 环 C 是 End$_K(V)$ 中 $\varphi (A)$ 的交换子。 有限次数为中心单K-代数，从$A\otimes_KC$到End$_K(V)$的同态$a\otimes c\mapsto ac$为同构(VIII、p. 260、定理6、a))。因而，K-代数 A 和$C^o$ 相似（VIII、p. 279、命题 3）。

令$L_V$为L-向量空间V的同伦的环；它是 End$_L(V)$ 与 End$_K(V)$ 的交换子（VIII，p. 82，推论 1）。现在，K-代数End$_L(V)$是由$\varphi (A)$和$L_V$生成的；因而，在 End$_K$(V) 中，我们有

$L_V=$结束$_L(V)'=\varphi (A)'\cap L'_V= C\cap L'_V$,

其中，对于 End$_K$(V) 中的任意子集 B，End$_K(V)$ 中 B 的交换子用 $B'$ 表示。所以$L_V$是C（VIII，p. 261，引理3）的最大交换子代数，因此也是$C^o$。从L到$L_V$，映射$\lambda \mapsto \lambda_V$是K-代数同构。这就证明了引理。

假设从L到A存在态射$\varphi$，设M为最大半单交换子代数包含$\varphi (L)$。通过 VIII、p. 262 的命题 3，我们得到 $[A : K] = [M : K]^2$，因而 [M : K] = [L : K] 和 $M =\varphi (L)$。由命题 5，域 L 分裂的 A。反之，假设域 L 分裂的 A；那么它与类似于 A (命题 5) 的中心单K-代数 B 的最大交换子代数同构。我们有 $[B : K] = [L : K]^2$ (VIII, p. 262, 命题 3)，因而 [B : K] = [A : K]。因而，B 与 A 同构的（VIII，p. 280，推论）。推论 1 如下。

将 D (VIII, p. 253) 减少的次数表示为 $r$；到定义，我们就有了$[D : K] =r^2$。到命题 5，存在与D相似的中心单K-代数 B，其中L是最大的交换子代数。由于 B 同构于矩阵代数 $\mathbf{M}_n(D)$ (VIII, p. 278, 引理 1)，因此我们有 $[B : K] =n^2r^2$，因此有 $[L : K] =nr$ (VIII, p. 262, 命题 3)。