习题 6, § 19

令 H 为型 $(-1,0,-1)$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的四元数域。 a) $\mathbf{Q}$ 分裂的 H 的扩张 K 当且仅当$-1$ 是 K 中两个平方的和（VIII、p. 363 的 3 个应用命题和VIII 的 4 个， p. 364）。

b) 令 K 为次数 $2^n$ $\mathbf{Q}$ 分裂的 H 的循环扩张。证明 K 分裂的 H 不存在真子域（观察次数 $2^{n-1}$ K 的唯一子域）是 K 的交和极大有序域包含 $\mathbf{Q}$）。

c) 设$k$为整数$\geqslant 1$且$p$为$2^{2^k}+ 1$的素数除子。证明最大的整数$n$使得$2^n$除$p-1$是$> k$（观察我们有$2^{p-1}\equiv 1$模$p$）。令 Ω 为原语 $p$ - 1 和 $E =\mathbf{Q}(\Omega )$ 的根。证明$-1$是和

E 中的两个平方 （令 F 为扩张 E( $-1$)；通过证明证明 $-1$ 属于到 $N_{F/E}(F^*)$，这对于 $\omega$ 和 $1 +\omega^h$ 是正确的，并且通过使用恒等式$\prod^{r-1}_{j=0}(1 + T^{2^j}) =\sum^{2^r-1}_{h=0}T^h$）。

d) 证明次数 $2^n$ 的扩张 $\mathbf{Q}$ 包含在 E 分裂的 H 中（应用 VIII、p. 283，推论 2）。