Exercice 6, § 19

Soit H le corps de quaternions de type $(-1,0,-1)$ sur $\mathbf{Q}$.

a) Pour qu’une extension K de $\mathbf{Q}$déploie H, il faut et il suffit que $-1$ soit somme de deux carrés dans K (appliquer les prop. 3 de VIII, p. 355 et 4 de VIII, p. 356).

b) Soit K une extension cyclique de $\mathbf{Q}$, de degré $2^n$, qui déploie H. Prouver qu’aucun sous-corps de K distinct de K ne déploie H (remarquer que l’unique sous-corps de K de degré $2^{n-1}$ est l’intersection de K et d’un corps ordonné maximal contenant $\mathbf{Q}$).

c) Soient $k$ un entier $\geqslant 1$ et $p$ un diviseur premier de $2^{2^k}+ 1$. Démontrer que le plus grand entier $n$ tel que $2^n$ divise $p-1$ est $> k$ (remarquer qu’on a $2^{p-1}\equiv 1$ (mod. $p$)). Soient $\omega$ une racine primitive $p$-ème de 1, et $E =\surd \mathbf{Q}(\omega )$. Prouver que $-1$ est somme de deux carrés dans E (soit F l’extension E( $-1$); démontrer que $-1$ appartient à $N_{F/E}(F^*)$, en prouvant qu’il en est ainsi de $\omega$ et de $1 +\omega^h$ et en utilisant l’identité $\prod^{r-1}_{j=0}(1 + T^{2^j}) =$ $\sum^{2^r-1}_{h=0}T^h$).

d) Prouver que l’extension cyclique de degré $2^n$ de $\mathbf{Q}$contenue dans E déploie H (appliquer VIII, p. 278, cor. 2).