Bài tập 6, § 19

Cho H là trường quaternion kiểu $(-1,0,-1)$ trên $\mathbf{Q}$. a) Một mở rộng K của $\mathbf{Q}$ làm phân rã H khi và chỉ khi $-1$ là tổng của hai bình phương trong K (áp dụng Mệnh đề 3 của VIII, p. 363 và Mệnh đề 4 của VIII, p. 364).

b) Cho K là một mở rộng cyclic của $\mathbf{Q}$ có bậc $2^n$ làm phân rã H. Chứng minh rằng không có trường con thực sự nào của K làm phân rã H (chú ý rằng trường con duy nhất của K có bậc $2^{n-1}$ là giao của K và một trường có thứ tự cực đại chứa $\mathbf{Q}$).

c) Cho $k$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và $p$ là một ước nguyên tố của $2^{2^k}+ 1$. Chứng minh rằng số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $2^n$ chia hết $p-1$ là $> k$ (lưu ý rằng ta có $2^{p-1}\equiv 1$ theo modulo $p$). Cho Ω là một nghiệm nguyên thủy bậc $p$ của 1 và $E =\mathbf{Q}(\Omega )$. Chứng minh rằng $-1$ là tổng

của hai bình phương trong E (cho F là mở rộng E( $-1$); hãy chứng minh rằng $-1$ thuộc $N_{F/E}(F^*)$ bằng cách chứng minh điều này đúng với $\omega$ và $1 +\omega^h$ và bằng cách dùng đẳng thức $\prod^{r-1}_{j=0}(1 + T^{2^j}) =\sum^{2^r-1}_{h=0}T^h$).

d) Chứng minh rằng một mở rộng cyclic của $\mathbf{Q}$ bậc $2^n$ được chứa trong E làm tách H (áp dụng VIII, p. 283, Hệ quả 2).