a) 映射$(u_i)\mapsto \prod u_i$从$\prod$结束$_{\mathbf{Z}}(M_i)$到结束$_{\mathbf{Z}}(M)$（II, §1, No. 5，p. 200）限制到环同构从$\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$，以及$\prod(A_i)''_{M_i}$到分别是$A_M,A'_M$和$A''_M$。

b) 映射$(u_i)\mapsto \bigoplus u_i$从$\prod$结束$_{\mathbf{Z}}(M_i)$到结束$_{\mathbf{Z}}(N)$（II, §1, No. 6，p. 203）限制到环同构从$\prod(A_i)_{M_i},\prod(A_i)'_{M_i}$，以及$\prod(A_i)''_{M_i}$到分别是$A_N,A'_N$和$A''_N$。

命题 1 中定义的环同构称为规范。 乘积$\prod(A_i)_{M_i}$常常通过这些同构与$A_M$识别，$\prod(A_i)'_{M_i}$与$A'_M$等识别。

从$\prod$End$_{\mathbf{Z}}(M_i)$到End$_{\mathbf{Z}}(M)$的映射$\varphi : (u_i)\mapsto \prod u_i$是单射环同态。到 M 上的 A-模结构的定义时，我们有 $\varphi (\prod(A_i)_{M_i}) = A_M$。让$u\in A'_M$。对于每个 $i\in I$，用 A 的 $h_i$ 元素表示，除了指标 $i$ 等于 0 之外，所有分量都等于 1 。如果 $x$ 是 M 的元素，且指标 $i$ 的分量等于 0，则我们有 $x=h_ix$，因而 pr$_i(u(x)) =$ pr$_i(u(h_ix)) =$ pr$_i(h_iu(x)) = 0$。因而，存在唯一群同态 $u_i: M_i\mapsto M_i$，使得每个 $y\in M$ 都有 pr$_i(u(y)) =u_i$(pr$_i(y)$)。我们有$u=\prod u_i$。由于映射 $u$ 是 A 线性的，因此对于每个 $i\in I$，映射 $u_i$ 都是 $A_i$ 线性。这就证明了$\prod(A_i)'_{M_i}$在$\varphi$包含$A'_M$下的像；反向包含是显而易见的。通过M的应用到对模，我们推导出$\varphi$诱导同构从$A''_M$到$\prod_i(A_i)''_{M_i}$。这就证明了断言a)。

b)的证明与a)的证明相同。

对于$i\in I$，我们用$\pi_i: (x_j)_{j\in I}\mapsto x_i$表示从$M^{(I)}$到M的投影同态，用$\iota_i: M\rightarrow M^{(I)}$表示相应的典范嵌入（I, §4, No. 9，p. 47）。

令 $u$ 为 End$_A(M^{(I)})$ 的元素。对于所有$i, j\in I$，合成$u_{i,j}=\pi_j\circ u\circ \iota_i$属于到M的交换子$A'_M$。对于$A''_M$的每个元素$b$和每个$(x_i)\in M^{(I)}$，我们有关系

位似 $b_{M^{(I)}}$ 因此属于为 A-模 $M^{(I)}$ 的双交换。

相反，令$b$为$M^{(I)}$的双交换数的元素。对于 $i, j\in I$、集合 $b_{i,j}=\pi_j\circ b\circ \iota_i$。将 $i, j\in I$ 与 $i\not=j$ 一起取。从$\iota_j\circ \pi_j$属于到A-模$M^{(I)}$的交换律，我们有

同样，我们有

此外，$b_{i,i}$属于至$A''_M$。由此得出 $b$ 重合和 $A''_M$ 模块 $M^{(I)}$ 的位似。

(i) A-模 M 为生成的。

(ii) 对于每个 A-模 N，从 $M^{(I)}$ 到 N 存在集合 I 和满射A-线性映射。

(iii)从$M^n$到$A_s$存在整数$n\geqslant 0$和满射A-线性映射。

(iv) 存在整数$n\geqslant 0$，使得$A_s$同构于$M^n$的直因子子模。

(v) 理想迹 $\tau (M)$ 等于 A。

(vi) M存在整数$n\geqslant 0$、元素$x_1, . . . , x_n$，以及$M^*$满足$\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$中的元素$x^*_1, . . . , x^*_n$。

(i) $\Rightarrow$ (ii)：假设M为生成的，令N为左A-模。存在从 M 到 N 的A-线性映射族$(u_i)_{i\in I}$，因此我们有$N =\sum_{i\in I}u_i(M)$。从 $M^{(I)}$ 到 N 的映射 $(x_i)\mapsto \sum_{i\in I}u_i(x_i)$ 是 A 线性且满射的。

(ii)$\Rightarrow$(iii)：假设性质(ii)成立，取$N = A_s$。然后我们有集合 I 和一个满射线性映射 $u: M^{(I)}\rightarrow A_s$。由于$A_s$是由元素1生成的，因此存在I的有限子集J，使得$u(M^{(J)}) = A_s$，从而 (iii)。

(iii) $\Rightarrow$ (iv)：这是从II, §1, No. 12、p. 218 的命题 21 得出的。

(iv) $\Rightarrow$ (v)：设$n\geqslant 1$为整数，使得$A_s$同构于M的直因子子模。我们有$A =\tau (A_s)\subset \tau (M^n) =\tau (M)$，因此有$\tau (M) = A$。

(v) $\Rightarrow$ (vi)：这很清楚。

(vi)$\Rightarrow$(i)：设$n$为M的整数$\geqslant 0,x_1, . . . , x_n$元素，以及$M^*$满足$\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$的$x^*_1, . . . , x^*_n$元素。令N为N的左A-模和$y$元素。从M到N的映射$u_i:x\mapsto \langle x, x^*_i\rangle y$是A线性的，我们有$y=\sum^n_{i=1}u_i(x_i)$。这就证明M是生成A-模。

让$a\in A$满足$aM = 0$。使用定理 1 的蕴涵 (i) $\Rightarrow$ (iv)，我们得到 $aA_s= 0$，从而得到 $a= 0$。推论如下 (II, §1, No. 12, p. 219)。

（一）$\mathfrak{a}M = M$。

(ii) 安 (M) $+\mathfrak{a}= A$。

(iii) 存在$\mathfrak{a}$的元素$a$，使得每个$m\in M$都有$am=m$。

(i) $\Rightarrow$ (ii)：令$(x_1, . . . , x_n)$为A-模 M的生成的族。如果$\mathfrak{a}M = M$，则每个$x_i$可写为$\sum^n_{j=1}c_{ij}x_j$，其中$c_{ij}$属于至$\mathfrak{a}$。用 C 表示矩阵 $(c_{ij})$，并用 $x_1, . . . , x_n$ X 表示列矩阵。我们有 ($I_n-C$)X = 0。令 $d$ 为矩阵 $I_n-C$ 的行列式，V 为辅因子矩阵。通过III, §8, No. 6、p. 532的公式(26)，我们有$dX=^tV$($I_n-C$)X = 0，因而$d\in$Ann(M)。另一方面，从 $c_{ij}$ 属于到 $\mathfrak{a}$，我们有 $d\equiv$ 1(mod $\mathfrak{a}$) (III, §8, No. 5, p. 529, (18))，因此有 $1\in$ Ann(M) $+\mathfrak{a}$。

(ii)$\Rightarrow$(iii)：假设(ii)成立，存在$a\in \mathfrak{a}$和$b\in$Ann(M)使得$a+b= 1$。然后，每 $m\in M$ 就有 $am=m$。

(iii)$\Rightarrow$(i)：这很清楚。

令 P 为有限生成的射影 A-模。我们有$\tau (P)P = P$（VIII，p. 80）。

如果A-模 P 是忠实的，那么理想的 $\tau (P)$ 等于 A (引理 1)，A-模 P 为生成的 (定理 1)；这导致了第一个断言。第二个接着是下面的引理2。

令$(x_i)_{i\in I}$为A-模M的生成的族。在A-模M上存在线性形式的族$(x^*_i)_{i\in I}$，使得对于每个$x\in M$，族$(\langle x, x^*_i\rangle )_{i\in I}$有有限支撑和$x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle x_i$ （II, §2, No. 6、p. 238、命题12）。对于每个$i\in I$，映射$x\mapsto \langle x, x^*_i\rangle_M$在$A_M$-模块M上是线性形式，并且对于每个$x\in M$我们有$x=\sum_{i\in I}\langle x, x^*_i\rangle_Mx_i$。按地点。如上所述，M 是射影 $A_M$ 模。

设A为环，设M为生成A-模；由定义，存在M的整数$n\geqslant 0$、元素$x_1, . . . , x_n$，以及M满足$\sum^n_{i=1}\langle x_i, x^*_i\rangle = 1$的对偶$M^*$的元素$x^*_1, . . . , x^*_n$。回想一下（II, §4, No. 2，p. 271），我们定义群同态$\theta : M^*\otimes_AM\rightarrow$结束$_A(M)$由公式$\theta (x^*\otimes y)(x) =\langle x, x^*\rangle y$。如果$u$是M的双交换量的元素，则它与End$_A(M)$可交换；因而，对于每个 $y\in M$，我们有

因而，$u$属于到$A_M$，并且M是平衡的。

如果模是零，并且非零的自由模是生成的（VIII，p. 81，例2），这一点是清楚的。

令 M 为右A-模 $A^n_d$。它由推论 1 平衡。因而，$A_M, A'_M$ 的中心，以及 $A''_M$ 重合。推论 2 由以下事实得出：$A_M$ 与 A 相同，$A'_M$ 与 $\mathbf{M}_n(A)$ 相同。

事实上，有限生成射影模 M 是 VIII、p. 82 的命题 3 的生成的 $A_M$ 模。因而，推论由上面注得出。

事实上，有限生成模 M 超过主理想整环 A 是生成的 $A_M$-模（VIII，p. 81，例 4）。

(i) K[X] 中存在多项式 P 使得 $v= P(u)$。

(ii) The endomorphism $v$ commutes with every endomorphism of V that commutes with $u$.

取A为环 K[X]，M为从V和$u$（VII, §5, No. 1，p. 28）推导出来的K[X]模。 断言 (i) 意味着$v\in K[X]_M$ 和 (ii) $v\in K[X]''_M$。因而，推论 5 是推论 4 的特例。

这是从VIII、p. 81 和注的例 3 得出的。

考虑A-模$M =\prod_{i\in I}S_i$。由于I是有限的，所以我们也有$M =\bigoplus_{i\in I}S_i$，并且M中$S_i$的像是型$S_i$的M的同型分量。因而，A-模 M 的自同态为映射 $(s_i)\mapsto (s_id_i)$，其中$(d_i)_{i\in I}$ 穿过$\prod_{i\in I}D_i$（VIII、p. 66、命题 5）。由于I是有限的，并且对于每个$i\in I$，右$D_i$向量空间$S_i$是有限维的，M的对模是有限生成的。到命题 4，A-模 M 达到平衡。现在，A-模 M 的双交由形式 $\prod_{i\in I}u_i$ 的 End$_{\mathbf{Z}}(M)$ 的元素组成，其中 $(u_i)\in \prod_{i\in I}$ End$_{D_i}(S_i)$ (VIII, p. 78, 命题 1) 因为End$_{D_i}(S_i)$ 是$S_i$ 的二交换数。由此得出推论。

这个推论尤其适用，当 A 是代数超过交换域 K 并且每个 $S_i$ 是单A-模时，它是有限维的 K-向量空间：事实上，$D_i$ 然后包含同位$\alpha_{S_i}$，其中 $\alpha$ 穿过 K，并且$S_i$ 在 $D_i$ 上是有限维的，因为它在 K 上也是有限维的。

事实上，A-模 S 的自同态的域由同位$\alpha_S$ 与 $\alpha \in K$ (VIII、p. 47、定理 1) 组成。然后我们将推论 1 应用于单A-模 S。

b) 对于每个 $\lambda \in \mathscr{S}_M$，B-模 $V_{\lambda}$ 都是简单的，其交换子等于 $(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$。

c) 映射 $\lambda \mapsto$ cl(V$_{\lambda}$) 是双射从A-模 M 的支持到其对模的支持。

d) 对于每个$\lambda \in \mathscr{S}_M$，B-子模$M_{\lambda}$是B-模M的型$V_{\lambda}$的同型分量，并且M中$V_{\lambda}$的重数等于dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$。

e) 对于$s\in S$，用$\widetilde{s}$表示从$V_{\lambda}=$Hom$_A(S_{\lambda},M)$到M的映射$\varphi \mapsto \varphi (s)$。它是 B 线性的。从$S_{\lambda}$到Hom$_B(V_{\lambda},M)$的所得的映射$s\mapsto \widetilde{s}$是$(A,D_{\lambda})$双模的同构。

让$\lambda \in \mathscr{S}_M$。用$E_{\lambda}$表示环结束$_{D_{\lambda}}(V_{\lambda})$；由于$V_{\lambda}$是非零的$D_{\lambda}$向量空间，它是一个简单的$E_{\lambda}$模，(VIII，p. 45，例3)，其交换子等于$(D_{\lambda})_{V_{\lambda}}$(VIII， p. 82，定理 2 的推论 1）。由于$E_{\lambda}$是B-模$V_{\lambda}$同位的环（VIII，p. 71，命题9的推论），这就证明了b)。

M 定义同构 $\alpha_{\lambda}$ 从 $V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$ 到 $M_{\lambda}$ 的规范描述 $\alpha_M$。由于$V_{\lambda}$是单B-模，B-模$V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$是型$V_{\lambda}$的同型（VIII，p. 61，命题1）；因此，同样适用于B-模$M_{\lambda}$，这证明了a)。

由上面的注 1，存在B的元素$e_{\lambda}$，对于$\lambda$穿过$\mathscr{S}_M$，使得对于$\mu\in \mathscr{S}_M$和$\mu\not=\lambda$来说$(e_{\lambda})_{V_{\lambda}}= 1_{V_{\lambda}}$和$(e_{\lambda})_{V_\mu}$ = 0。因此单B-模$V_{\lambda}$是成对非同构的，这证明了c)和d)的第一个断言。 B-模$M_{\lambda}$与$V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$同构，因此dim$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$是M中$V_{\lambda}$的重数（II, §3, No. 7，p. 255，推论1）。

映射$\sum_{\lambda\in\mathscr{S}_M}\alpha_{\lambda}$从$\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}V_{\lambda}\otimes_{D^o_{\lambda}}S_{\lambda}$到M提供半单B-模M的描述（VIII，p. 69，定义5）。到VIII，p. 70，命题 8，b)，对于e)中描述的从$S_{\lambda}$到Hom$_B(V_{\lambda},M)$的每个$\lambda \in \mathscr{S}_M$，映射是双射且$D_{\lambda}$线性的。由于它显然是 A 线性的，因此证明了 e)。

b) 对于每个 $\lambda \in \mathscr{S}_M,M_{\lambda}$ 都是 M 的简单 $(A,B^o)$ 子双模。

c) 对于 M 的每个 $(A,B^o)$-子双模 N，都存在 $\mathscr{S}_M$ 的唯一子集 Λ，使得 N 等于 $\oplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$。

设$\lambda$在$\mathscr{S}_M$中。 左A-模$S_{\lambda}$和右B-模$V_{\lambda}$简单，$D_{\lambda}$是$S_{\lambda}$自同态域逆环。根据VIII、p. 63的推论2，$(A,B^o$)双模$S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$很简单，$M_{\lambda}$也是简单的，与其同构。这证明了b)，并且a)如下。

如果 $\lambda$ 和 $\mu$ 在 $\mathscr{S}_M$ 中不同，则 $M_{\lambda}$ 和 $M_\mu$ 不与 A-模同构，更不必说也不与 $(A,B^o$) 双模同构。 断言 c) 由VIII、p. 68 的推论 2 得出。

b) 赋予$S_{\lambda}$（对于贯穿$\mathscr{S}_M$的$\lambda$），具有由a)定义的C模块结构。那么从$\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}_M}S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}V_{\lambda}$到M的典范映射$\alpha_M$是$(C,B^o)$双模的同构。

c) 从C到$\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$结束$_{D_{\lambda}}(S_{\lambda})$，映射$c\mapsto (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$是同构。

断言 a) 和 c) 从 VIII、p. 71、命题 9 得出，因为从 $\bigoplus_{\lambda\in\mathscr{S}}(S_{\lambda}\otimes_{D_{\lambda}}W_{\lambda})$ 到 M 的典范映射 $\alpha_M$ 提供了 B-模 M (注 2) 的描述。此外，$\alpha_M$是$(C,B^o$)-线性，这证明了b)。

b) A-模 M 是同型的且非零的当且仅当 Z 是域。

c) 令 Λ 为子集或 $\mathscr{S}_M$。用Z的$e_{\Lambda}$唯一元素表示，使得$(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 1_{S_{\lambda}}$代表$\lambda \in \Lambda$，$(e_{\Lambda})_{S_{\lambda}}= 0$代表$\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$。我们有 $(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 1_{M_{\lambda}}$ 对应 $\lambda \in \Lambda$，$(e_{\Lambda})_{M_{\lambda}}= 0$ 对应 $\lambda \in \mathscr{S}_M-\Lambda$。

d) 如果M的支持度$\mathscr{S}_M$是有限的，则映射$\Lambda \mapsto e_{\Lambda}Z$从$\mathscr{S}_M$的子集的集合到Z理想的集合为双射，并且映射从Z理想的集合到M的$(A,B^o)$子双模的集合，$\mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}M$是双射。这些双射是有序集的同构。反向双射将M的$(A,B^o)$子双模N发送到Z的元素$z$的理想由……组成，将N发送到M中。

对于$\lambda \in \mathscr{S}_M, Z_{\lambda}$来说，是交换子$D_{\lambda}$的公共中心，以及A-模$S_{\lambda}$的双交换子$C_{\lambda}$。根据上述命题 7, c)，从 C 到 $\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}C_{\lambda}$，映射 $c\mapsto (c_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ 为同构。通过限制到中心，我们从Z到$\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$，从而得到同构$z\mapsto (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$，从而a)。

环$\prod_{\lambda\in\mathscr{S}_M}Z_{\lambda}$是域当且仅当集合$\mathscr{S}_M$有一个元素，从而b)。

断言 c) 由命题 7, a) 得出。假设 $\mathscr{S}_M$ 是有限的。由a)和I, §8, No. 10、p. 109的命题 8得出，映射$\Lambda \mapsto e_{\Lambda}Z$是从Z理想的$\mathfrak{P}(\mathscr{S}_M)$到集合的有序集的同构。令Λ为子集 $\mathscr{S}_M$。到c)，我们有关系 $e_{\Lambda}$ZM $=e_{\Lambda}M =$ $\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$；因为命题 6, c) of VIII, p. 86，所以剩下来描述逆双射。但是$z\in Z$将M发送到$\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}M_{\lambda}$当且仅当$z=e_{\Lambda}z$，即$z\in e_{\Lambda}Z$。

由于 M 在 K 上是有限维向量空间，即非零的子模 $(M_{\lambda})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ 族的直和，因此集合 $\mathscr{S}_M$ 是有限的，并且对于 $\lambda \in \mathscr{S}_M$，空间 $S_{\lambda}$ 中的每一个都是 K 上的有限维。 域 K 是代数闭集，我们有 $D_{\lambda}= Z_{\lambda}= K$ (VIII, p. 47, 定理 1)，并且映射 $z\mapsto (z_{S_{\lambda}})_{\lambda\in\mathscr{S}_M}$ 是从 Z 到 $K^{\mathscr{S}_M}$ (命题 8, a)) 的同构。然后从命题 8 的部分 c) 得出推论。

(D) 对于 M 的每个有限子集 F，存在 A 的元素 $a$，使得 $c$ 重合且 F 上有 $a_M$。

首先，假设$c$满足条件(D)。令$u$为$A'_M$的元素。令$x$为M的元素，并将条件(D)应用于子集$F =\{x, u(x)\}$。 A 存在元素$a$，使得$c(x) =ax$和$c(u(x)) =au(x)$，因此$u(c(x)) =u(ax) =au(x) =c(u(x))$。由于$x$是任意的，所以我们有$cu=uc$；因为这对于所有$u$都成立，所以我们有$c\in A''_M$。

对于逆命题，我们使用以下引理。

令N为M的A-子模。由VIII、p. 56的推论2，存在A-模M与像N的投影算子$p$；它从属于到$A'_M$。由于对于每个 $b\in B$，我们都有关系 $pb=bp$，因此我们得出 N 是 M 的 B-子模。

让我们定理的结论证明 3. 假设 $c$ 属于到 $A''_M$，并令 F = $\{x_1, . . . , x_n\}$ 为 M 的有限子集。 表示 $M^n$ 的元素 $(x_1, . . . , x_n)$ $x$。 A-模$M^n$是半单，并且通过VIII的命题2，p. 79，其双交换体重合与$A''_M$模$M^n$的同调。到引理 3，$M^n$的A-子模$Ax$是$M^n$的$A''_M$子模块。令 $a\in A$ 使得 $(cx_1, . . . , cx_n)$ 等于 $ax$。然后$c$重合和$a_M$在$\{x_1, . . . , x_n\}$上，这意味着条件（D）。