习题 7, § 14

令 A 为交换环，M 和 N A-模，以及 $u: M\rightarrow N$ A-线性映射。对于 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$，用 $u$ 诱导的 $u(\mathfrak{m})$ 同态 $M/\mathfrak{m}M\rightarrow N/\mathfrak{m}N$ 表示。

a) 假设 N 是有限生成的，并且对于 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$，$u(\mathfrak{m})$ 是满射。证明 $u$ 是满射（应用 VIII 的引理 1，p. 81 到 $u$ 的余核）。

b) 假设 M 和 N 是有限生成的，N 是射影的，并且对于 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$，$u(\mathfrak{m})$ 是双射的。证明 $u$ 是双射的（使用相同的方法）。

c) 假设 M 和 N 是射影且有限生成的，并且 $u(\mathfrak{m})$ 对于 A 的每个最大理想 $\mathfrak{m}$ 是内射的。证明从 M 到 N 的直因子子模（应用 a）到同态 $^tu)$，$u$ 诱导同构。

d) 设 B 为 A-代数；假设 A-模 B 是忠实的、射影的、有限生成的。证明 A 是 A-模 B 的直因子。证明如果 B-模同态 $u_{(B)}: M_{(B)}\rightarrow N_{(B)}$ 是双射，则 $u$ 也是双射。证明如果 B-模 $M_{(B)}$ 是射影，那么 A-模 M 也是射影。