Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 4。 群和群与操作员

1. 群

回忆一下下面的定义（§ 2, no. 3，定义 6）。

定义 1 058H

集合与合成的结合律律，拥有单位元素，并且在其下每个元素都是可逆的，称为群。

引用了 1

引用了 定义 1, I § 2

在其他字，群是一个*幺半群*（§ 2, no. 1，定义1），其中每个元素都是可逆的。 集合上的合成的律，其上的确定群结构称为*群运算*。如果G和H是两个群，则G进入H的岩浆同态也称为*群同态*。这样同态ff映射单位元素到单位元素；对于，令ee（或e′e'）为G（或H）的单位元素；将G和H的群运算乘法，e⋅e=ee \cdot e = e，从而f(e)⋅f(e)=f(e)f(e) \cdot f(e) = f(e)，然后乘以f(e)−1,f(e)=e′f(e)^{-1}, f(e) = e'。因此 ff 是单位的。然后从§ 2的no. 3得出f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1}) = f(x)^{-1}对于所有x∈Gx \in G。

例 058I

在可逆元的任何幺半群 E 集合中，由 E 上的群诱导出结构。特别是，集合 F 的双射映射自身的集合（或 F 的 置换 的集合）是律 (f,g)↦f∘g(f, g) \mapsto f \circ g 下的群，称为 对称群集合 F，记为SF\mathfrak{S}_F。

在本段中，除非另有说明，群的合成的律将始终被写为“乘法”，并且ee将表示这样的群运算的单位元素。

如果 G 的底层集合是有限的，则群 G 被称为“有限”；否则它被称为*无限*； 群的基数称为群的*阶*。

如果合成的律在G上确定群结构在G上，则相反的律也是如此。 群 G 的映射与每个 x∈Gx \in G 关联，xx 的倒数是 G 的 同构 到相反的群 (§ 2, no. 3, 命题 4)。

根据我们的一般约定（*集合理论*，II, § 3, no. 1），我们将在映射x↦x−1x \mapsto x^{-1}下用G的子集A的A−1A^{-1}像表示。但对于注来说，重要的是，尽管有记号的类比，A−1A^{-1}绝对不是G的子集之间合成(X,Y)↦XY(X, Y) \mapsto XY的律下A的逆元素（回想一下，XY是xyxy的集合和x∈X,y∈Yx \in X, y \in Y）：这个律下的单位元素是{e}\{e\}，这个律下的P(G)\mathscr{P}(G)唯一的可逆元是集合单个元素的由……组成（而且，这样的A肯定有逆A−1A^{-1}）。身份

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} 适用于A⊂GA\subset G、B⊂GB\subset G。如果A=A−1A=A^{-1}，AA 称为GG 的对称子集。对于所有 A⊂GA\subset G、A∪A−1A\cup A^{-1}、A∩A−1A\cap A^{-1} 和 AA−1AA^{-1} 都是对称的。

引用了 2

引用了 命题 4, I § 2, E II § 3. Correspondences

2. 群与操作员

定义 2 058J

设Ω\Omega为集合。 群GG与GG上Ω\Omega的作用一起，相对于群运算可分配，称为群，运算符位于Ω\Omega。

下面xαx^\alpha将表示α∈Ω\alpha\in\Omega和x∈Gx\in G的合成。 分配律则由恒等式(xy)α=xαyα(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha表示。

在群和运算符GG中，每个运算符定义底层*群结构*的一个*自同态*；这些自同态将有时称为群与运算符 GG 的*同位关系*。

如果群运算是可交换的，则带有运算符 GG 的群称为*可交换*（或 阿贝尔的）。

接下来，群GG将被识别为群，其中∅\varnothing中的运算符是通过给GG赋予∅\varnothing在GG上唯一的作用而获得的。这使我们能够将群视为群与运算符的特殊情况，并将定义应用于它们以及我们将说明的与后者相关的结果。

例 058K

在可交换的群 GG 中，乘法书写，(xy)n=xnyn(xy)^n=x^ny^n 对于所有n∈Zn\in\mathbf{Z}（§ 2, no. 8，方程（1））； GG上的Z\mathbf{Z}的作用n↦(x↦xn)n\mapsto(x\mapsto x^n)因此定义，以及群运算、群的结构以及GG上的运算符。

引用了 1

引用了 I § 2. 。 单位元素；可取消元素； 可逆元

定义 3 058L

设GG和G′G'为群，运算符位于Ω\Omega中。 群的同态与GG的运算符进入G′G'是群*GG的*同态进入*群*G′G'，这样

f(xα)=(f(x))α f(x^\alpha)=(f(x))^\alpha

对于所有 α∈Ω\alpha\in\Omega 和所有 x∈Gx\in G。

群的 自同态 与运算符 GG 是群 GG 的自同态，它与 GG 的所有 *同位性 * 可*置换*。

由于群与运算符 GG 的两个同位性不一定是可置换的，因此 * GG 的位似一般不是群与运算符 GG 的自同态。*

带有运算符的群的恒等映射是带有运算符的群的同态； 群与运算符的两个同态的合成也是一个。对于具有运算符的映射是群的同构，它是具有运算符的群的双射同态是充分必要的，并且其逆映射是具有运算符的群的同构。

更一般地，令 G（或 G'）为群，运算符为 Ω\Omega（或 Ω′\Omega'）。设ϕ\phi为Ω\Omega到Ω′\Omega'的映射。 G 到 G' 的 ϕ\phi 同态是群 G 到群 G' 的同态，使得

f(xα)=(f(x))(ϕ(α)) f(x^\alpha) = (f(x))^{(\phi(\alpha))}

对于所有 α∈Ω\alpha \in \Omega 和所有 x∈Gx \in G。

在本段的其余部分中，我们将给出集合 Ω\Omega。 除非另外提到的群考虑了运算符将承认Ω\Omega作为运算符的集合。

3. 子群

定义 4 058M

设 G 为群且带有运算符。 G 的稳定子群是 G 的子集 H，具有以下属性*：

引用了 1

引用了 E IV § 1. 结构和同构

(i) e∈He \in H； (ii) x,y∈H  ⟹  xy∈Hx, y \in H \implies xy \in H； （三）x∈H  ⟹  x−1∈Hx \in H \implies x^{-1} \in H； (iv) x∈Hx \in H和α∈Ω\alpha \in \Omega意味着xα∈Hx^\alpha \in H。

如果 H 是 G 的稳定子群，则由群的结构在 G 上使用算子在 H 上诱导的结构是群的结构，并且 H 到 G 的典范嵌入是同态群与操作员。

令 G 为群。 G 的稳定子群且作用为 ∅\varnothing (no. 2)，即子集的 G 满足条件 (i), (ii), (iii) of 定义 4，称为G 的 子群。当我们谈到运算符的群的子群时，我们总是指 G 的底层群的子群。运算符 G 的群的子群不一定是 G 的稳定子群。

例 (1)。令 Σ\Sigma 为结构的类（*集合理论*，IV, § 1, no. 4），并且在集合 E 上的类 Σ\Sigma 为 S 结构（*loc.cit.*）。 S的*自同构*集合是GE\mathscr{G}_E的子群。

命题 1 058N

设 G 为带有算子的群，G 的 H 子集在 G 的同位下是稳定的。以下条件是等价的*：

被以下引用 4

被以下引用 命题 15, 命题 2, 命题 6, 定理 1

(a) H 是 G 的稳定子群。 (b) H 非空且关系 x∈H,y∈H  ⟹  xy∈Hx \in H, y \in H \implies xy \in H 和 x−1∈Hx^{-1} \in H。 (c) H 非空且关系 x∈H,y∈H  ⟹  xy−1∈Hx \in H, y \in H \implies xy^{-1} \in H。 (d) H 在 G 上的律下稳定，并且由 G 上的合成的律在 H 上诱导的合成律是群运算。

显然（a）意味着（b）。我们证明（b）蕴涵（a）。只要证明 G 的 H 包含单位元素就足够了。由于子集 H 非空，所以设 x∈Hx \in H。然后是x−1∈Hx^{-1} \in H和e=xx−1∈He = xx^{-1} \in H。显然（b）暗示着（c）。我们证明（c）蕴涵（b）。首先，由于 H 非空，所以包含元素 x。因此 xx^{-1} = e 是 H 的元素。对于 H 的每个元素 x，x−1=ex−1x^{-1} = ex^{-1} 属于到 H；因此关系x∈H,y∈Hx \in H, y \in H意味着x(y−1)−1=xy∈Hx(y^{-1})^{-1} = xy \in H。显然（a）意味着（d）。我们证明(d)蕴涵(a)：H到G的典范嵌入是群同态；因此e∈He \in H和关系x∈Hx \in H意味着x−1∈Hx^{-1} \in H（no. 1）。

注 058O

(1) 类似地可以证明条件 (b) 等价于条件 (c') H≠∅H \neq \varnothing 和关系 x∈Hx \in H 和y∈Hy \in H 意味着y−1x∈Hy^{-1}x \in H。 (2) 对于 G 的每个子群 H，有以下关系

(1)(1)
H.H=HandH−1=H.H.H = H \quad \text{and} \quad H^{-1} = H.
对于 H.H⊂HH.H \subset H 和 H−1⊂HH^{-1} \subset H 由 (b) 得出。作为 e∈H,H.H⊃e.H=He \in H, H.H \supset e.H = H 并取逆变换，将 H−1⊂HH^{-1} \subset H 包含到 H⊂H−1H \subset H^{-1}、从而公式 (1)。

如果H是G的稳定子群并且K是H的稳定子群，则显然K是G的稳定子群。

G的集合{e}\{e\}是最小的稳定子群。G的稳定子群族的交是稳定子群。因此，G 的最小的稳定子群 H 包含给定的 G 子集 X；它被称为* X生成的*稳定子群，而X被称为H的*生成的系统*（或*生成的集合*）。

命题 2 058P

设X是群的非空子集，具有运算符G和X^\hat{X}，X生成的G上Ω\Omega的作用下的稳定子集。 X生成的稳定子群是集合Y=X^∪X^−1Y = \hat{X} \cup \hat{X}^{-1}生成的G上律下的稳定子集。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 推出 1, I § 2, 命题 1, I § 3, 命题 1

被以下引用 定义 15

后者子集Z是有限序列的合成的集合，其所有的项都是X^\hat{X}的元素或X^\hat{X}的元素的逆：这样的合成的逆是合成相同的形式（§ 2, no. 3，推论1到命题5），并且Z在Ω\Omega的作用下是稳定的，正如通过应用§ 3, no. 4，命题1与G的同位性所见，因此（命题1）Z是G 的*稳定子群*。相反，每个稳定子群包含X显然包含Y，因此Z。

推论 1 058Q

设 G 为带有运算符的群，G 的X子集在Ω\Omega 的作用下稳定。由X生成的子群和由X重合生成的稳定版子群。

推论 2 058R

设 G 为成对可置换元素的 G 由……组成的群和 X 子集。由X生成的G的子群是可交换的。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 推论 2, I § 1, 命题 5, I § 2

被以下引用 定义 15, 推论 4, I § 6

集合 Y=X∪X−1Y = X \cup X^{-1} 由成对可置换元素 (§ 2, no. 3, 命题 5) 和律组成，在由 Y 生成的稳定子集上诱导是可交换的（§ 1, no. 5，推论 2）。

如果 G 是具有运算符的群，则成对可置换元素的 G 由……组成的子集生成的稳定子群不一定是可交换的。

推论 3 058S

令f:G→G′f : G \to G'为带有运算符的群的同态和G的X子集。X生成的G的稳定子群的f下的像是f(X)f(X)生成的G'的稳定子群。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 命题 1, I § 1, E III § 2. Well-ordered sets

被以下引用 定义 15, 命题 6, I § 6

让X′=f(X)X' = f(X)。然后是X^′=f(X^)\hat{X}' = f(\hat{X})和X′−1=f(X−1){X'}^{-1} = f(X^{-1})。因此

f(X^∪X^−1)=X^′∪X′^−1. f(\hat{X} \cup \hat{X}^{-1}) = \hat{X}' \cup \hat{{X}'}^{-1}.
然后从 § 1, no. 4、命题 1 得出推论。

例 (2)。令 G 为 G 的群，x 元素。由 {x}\{x\} 生成的子群（更简单地称为由 x 生成的子群）是 xn,n∈Zx^n, n \in \mathbf{Z} 的集合。由{x}\{x\}生成的稳定子集（在G上的律下）是xnx^n的集合，其中n∈N∗n \in \mathbf{N}^*。这两个集合总体上是不同的。

因此，在加法群Z\mathbf{Z}中，元素x生成的子群是xn,n∈Zxn, n \in \mathbf{Z}的集合x.Zx.\mathbf{Z}，而x生成的稳定的子集是xn,n∈N∗xn, n \in \mathbf{N}^*的集合。如果x≠0x \neq 0，这两个集合总是不同的。

G 的稳定子群的右向族的并显然是稳定的子群。由此可见，如果 P 是 G 和 H 的子集，则 G 的稳定子群不满足 P，G 包含 H 的稳定子群的集合且不满足 P，按包含排序，是归纳的（集合理论，III, § 2, no. 4）。 应用 Zorn 的引理（集合理论，III, § 2, no. 4），我们得到以下结果：

命题 3 058T

设G为群，且有算子，G和H的P子集是不满足P的稳定子群G。G包含H的稳定子群的集合且不满足P有极大元素。

被以下引用 1

被以下引用 定理 1（克鲁尔）, I § 8

4. Quotient groups

定理 1 058U

令 R 为群上的等价关系，且具有运算符 G；如果 R 与 G 上的群运算左（或右）相容的（§ 3, no. 3）并与 Ω\Omega 的作用兼容，则 e 的等价类是 G 的稳定子群 H，并且关系 R 相当于 x−1y∈Hx^{-1}y \in H（或 yx−1∈Hyx^{-1} \in H）。相反，如果 H 是 G 的稳定子群，则关系 x−1y∈Hx^{-1}y \in H（分别为 yx−1∈Hyx^{-1} \in H）为等价关系，其左（或右）与 G 上的群运算兼容，并且与 Ω\Omega 的作用兼容，并且在其下 H 为e 的等价类。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了 I § 3. 。 作用, 命题 1, E II § 6. 等价关系, 命题 9, E III § 5

被以下引用 推论

我们将注意力限制在关系 R 与 G 上的律左兼容的情况（右兼容关系的情况紧随 G 上的替换律的相反的律）。 关系 y≡x(modR)y \equiv x \pmod{R} 等价于 x−1y≡e(modR)x^{-1}y \equiv e \pmod{R}，因为 y≡xy \equiv x 意味着 x−1y≡x−1x=ex^{-1}y \equiv x^{-1}x = e，反之，x−1y≡ex^{-1}y \equiv e 意味着 y=x(x−1y)≡xy = x(x^{-1}y) \equiv x。如果 H 表示 e 的等价类，则关系 R 相当于 x−1y∈Hx^{-1}y \in H。我们证明H是G的稳定子群。对于每个算子α\alpha，关系x≡ex \equiv e意味着xα≡eα=ex^\alpha \equiv e^\alpha = e，因此Hα⊂HH^\alpha \subset H并且H在Ω\Omega的作用下是稳定的。只要建立(命题 1)，x∈Hx \in H和y∈Hy \in H隐含x−1y∈Hx^{-1}y \in H，即x≡ex \equiv e和y≡ey \equiv e隐含x≡yx \equiv y，即R的传递性的推论。

反之，令 H 为 G 的稳定子群； 关系 x−1y∈Hx^{-1}y \in H 自 x−1x=e∈Hx^{-1}x = e \in H 起自反；它是对称的，因为 x−1y∈Hx^{-1}y \in H 蕴含 y−1x=(x−1y)−1∈Hy^{-1}x = (x^{-1}y)^{-1} \in H；它是及物性的，因为x−1y∈Hx^{-1}y \in H和y−1z∈Hy^{-1}z \in H意味着x−1z=(x−1y)(y−1z)∈Hx^{-1}z = (x^{-1}y)(y^{-1}z) \in H；它与G上的合成的律兼容，对于所有z∈Gz \in G，x−1y=(zx)−1(zy)x^{-1}y = (zx)^{-1}(zy)；最后，对于每个运算符α\alpha，关系y∈xHy \in xH意味着yα∈xαHα⊂xαHy^\alpha \in x^\alpha H^\alpha \subset x^\alpha H，因此等价关系x−1y∈Hx^{-1}y \in H与G上的Ω\Omega的作用兼容。

设G为G的群且H子群； 关系 x−1y∈Hx^{-1}y \in H（分别为 yx−1∈Hyx^{-1} \in H）也可写成等效的形式 y∈xHy \in xH（分别为 y∈Hxy \in Hx）。 G 的每个子群 H 因此定义 G 上有两个等价的关系，即y∈xHy \in xH和y∈Hxy \in Hx：这些关系下的等价类分别是集合xHxH，称为H*的*左陪集（或*模 H*) 和集合 HxHx，它们被称为 H 的右陪集（或 模 H）。通过对这些关系（*集合理论*，II, § 6, no. 4）*饱和*子集A⊂GA \subset G，我们分别获得集合AH和HA。 映射 x↦x−1x \mapsto x^{-1} 变换左陪集模 H 变为右陪集模 H，反之亦然。

左陪集（mod.H）集合的基数称为子群H相对于G的*指标*，记为(G:H)(G:H)；它也等于右陪集集合的基数。

如果G的子群K包含H，则它是H的左（或右）陪集的并。由于K的左陪集是通过左平移从K获得的，因此K的左陪集中包含的H的左陪集的集合具有独立于后者的基数。因此（*集合理论*，III, § 5, no. 8，命题9）：

命题 4 058V

令 H 和 K 为群 G 中的两个子群，使得 H ⊂\subset K。那么*

(G:H)=(G:K)(K:H). (G:H) = (G:K)(K:H).

被以下引用 2

被以下引用 引理 2, 推论

推论 058W

如果G是阶g的有限群并且H是阶h的G的子群，那么*

h⋅(G:H)=g h \cdot (G:H) = g
（特别是，H的阶和指标是G的阶的*除子*）。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 I § 3. 。 作用, 定理 1

被以下引用 命题 19, 例, I § 5

定理 1 允许我们使用运算符 G 确定等价关系与群上的律兼容：如果 R 是这样的关系，则它与 G 上的群运算左右兼容，并与 G 上的作用兼容Ω\Omega。因此，如果 H 是 ee (mod. R) 的类，则 H 是稳定的子群，使得关系 y∈xHy \in xH 和 y∈Hxy \in Hx 等价（因为两者都等价于 R）；因此 xH=HxxH = Hx 对于所有x∈Gx \in G。相反，如果是这样，则等效的关系y∈xH,y∈Hxy \in xH, y \in Hx中的一个或另一个与群运算兼容，因为它与此律（§\S3，no. 4）左右兼容，并且与Ω\Omega的作用兼容。由于方程 xH=HxxH = Hx 等价于 xHx−1=HxHx^{-1} = H，因此我们得出以下定义：

定义 5 058X

设 G 为群且带有运算符。如果对于所有 x∈Gx \in G 都有 xHx−1=HxHx^{-1} = H，则 G 的稳定子群 H 称为 G 的正常（或不变）稳定子群。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 I § 3. 。 作用

被以下引用 定义 4, I § 5

如果 Ω=∅\Omega = \varnothing，G 的正规稳定子群称为 G 的*正规*（或*不变*）*子群*。在交换性群中，每个子群都是正规的。

为了验证稳定的子群 H 是正常的，只需证明 xHx−1⊂HxHx^{-1} \subset H 对于所有 x∈Gx \in G 即可；如果是这样，那么 x−1Hx⊂Hx^{-1}Hx \subset H 对于所有 x∈Gx \in G，即 H⊂xHx−1H \subset xHx^{-1}，因此H=xHx−1H = xHx^{-1}。

设 H 为 H 定义的 G 和 R 等价关系 y∈xHy \in xH 的正规稳定子群；在商集G/RG/R上，内部律，律与R除以群G的商，是结合律； e 的类是该商律的单位元素； G 中的两个倒数元素的类是 Ω\Omega 的商律和作用下的倒数，G 上的 Ω\Omega 作用与 R 的商，相对于内部律是可分配的G/RG/R（§\S3，no. 5）。因此，总结所获得的结果：

定理 2 058Y

设 G 为群且带有运算符。为了使G上的等价关系R与Ω\Omega的群运算和作用兼容，它是形式x−1y∈Hx^{-1}y \in H是必要且充分的，其中H是G的正常稳定子群（关系x−1y∈Hx^{-1}y \in H此外相当于yx−1∈Hyx^{-1} \in H对于这样的子群）。 合成在G/RG/R上的商律和Ω\Omega在G/RG/R上的作用与Ω\Omega在G上的商通过这样的关系R得到G/RG/R结构群带运算符，称为商结构，商通道的典范映射是群带运算符的同态。

被以下引用 1

被以下引用 定理 3

定义 6 058Z

由 G 的正常子群 H 定义的群与运算符 G 与等价关系的商，与商结构称为商群与 G 的运算符与 H 并用 G/HG/H 表示。 典范映射 G→G/HG \to G/H 称为典范同态

引用了 1

引用了 E IV § 2. 态射和导出结构

设 G 为群，H 为 G 的正规子群。商 G/HG/H 及其群结构被 H 称为 G 的 商群。对于从 G/HG/H 到群的映射，使用运算符为同态群对于运算符，其合成与 G 到 G/HG/H 的典范映射为一是充分必要的：这证明了名称“商群”的合理性（*集合理论*, IV, §\S 2, no. 6）。

由 G 的正常稳定子群定义的等价关系用x≡y(modH)x \equiv y \pmod{H}或x≡y(H)x \equiv y(H)表示。

命题 5 0590

令 f:G→G′f : G \to G' 为群的同态，且具有运算符，且 HH 和 H′H' 分别为 GG 和 G′G' 的正常稳定子群，使得 f(H)⊂H′f(H) \subset H'。 映射 ff 与HH 和H′H' 定义的等价关系兼容。令π:G→G/H\pi : G \to G/H和π′:G′→G′/H′\pi' : G' \to G'/H'为典范同态。由 ff 乘以经过得出的映射 fˉ:G/H→G′/H′\bar{f} : G/H \to G'/H' 所得商为同态。

被以下引用 3

被以下引用 定理 4, 推论 2, I § 6, 定理 2, I § 8

如果x≡y(modH)x \equiv y \pmod{H}，则x−1y∈Hx^{-1}y \in H，从而

f(x)−1f(y)=f(x−1)f(y)=f(x−1y)∈f(H)⊂H′ f(x)^{-1}f(y) = f(x^{-1})f(y) = f(x^{-1}y) \in f(H) \subset H'
因此f(x)≡f(y)(modH′)f(x) \equiv f(y) \pmod{H'}。第二个断言由商律（§1§ 1，no. 6）的泛性质得出。

注 0591

(1) 如果AA是群GG中的任意子集且HH是GG的正常子群，则AH=HAAH = HA；这个集合是通过使AA相对于关系x≡y(modH)x \equiv y \pmod{H}饱和而获得的。

(2) 如果HH是有限指标的GG的正常子群，则商群G/HG/H是阶(G:H)(G:H)的有限群。

注如果 HH 是群 GG 的正常子群并且 KK 是 HH 的正常子群，则 KK 不一定是子群的正常子群 GG（I、§5§ 5、习题10）。

使用运算符将​​ GG 设为群。 GG的正常马厩子群每个家庭的交是一个正常马厩子群。因此，对于GG的每一个子集XX，都存在最小的正常稳定子群包含XX，称为正常稳定子群*由*XX生成。

在群和运算符GG中，稳定的子群、GG和{e}\{e\}是正常的。

引用了 1

引用了 习题 10, § 4

定义 7 0592

群与运算符* GG 被称为简单如果 G≠{e}G \neq \{e\} 并且不存在 GG 除了 GG 和 {e}\{e\}之外的正常稳定子群。

被以下引用 4

被以下引用 习题 3, § 9, II § 1. 。 模, 定理 3, II § 7, 定义 1, VIII § 4

5. 分解 / 同态

命题 6 0593

设* GG 为群，带有运算符，并且 G′G' 岩浆带有作用，由 Ω\Omega，*以指数形式写入*。 让 f:G→G′f : G \to G' 成为玛格纳 GG 进入岩浆 G′G' 的同态，这样，对于所有 α∈Ω\alpha \in \Omega 和所有 x∈Gx \in G，f(xα)=f(x)αf(x^\alpha) = f(x)^\alpha。 那么 f(G)f(G) 是 G′G' 在 G′G' 上的律和 Ω\Omega的作用的稳定子集； 集合 f(G)f(G) 诱导的律是群（带有运算符），以及映射 x↦f(x)x \mapsto f(x) of GG 进入 f(G)f(G) 是同态 of 群（带有运算符）。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 1

被以下引用 定理 3

凭借§1§ 1、no. 4、命题 1，f(G)f(G) 是G′G' 上内部律下G′G' 的稳定子集。对于每个元素 x∈Gx \in G 和每个运算符 α\alpha， f(x)α=f(xα)∈f(G)f(x)^\alpha = f(x^\alpha) \in f(G)，因此f(G)f(G)在G′G'上的Ω\Omega的作用下是稳定的。乘法写出G′G'的内部律，

(f(x)f(y))f(z)=f(xy)f(z)=f((xy)z)=f(x(yz))=f(x)f(yz)=f(x)(f(y)f(z)) (f(x)f(y))f(z) = f(xy)f(z) = f((xy)z) = f(x(yz)) = f(x)f(yz) = f(x)(f(y)f(z))
对于 GG 中的所有元素 x,y,zx, y, z；因此，在 f(G)f(G) 上导出的律是结合律。

令ee为GG中的单位元素。它的像f(e)f(e)是f(G)f(G)（§2§ 2，no. 1）中的单位元素。 f(G)f(G)的每个元素在f(G)f(G)（§2§ 2，no. 3）中都是可逆的。因此，G′G'上的内部律在f(G)f(G)上感应出律为群运算。对于GG中的所有元素xx和yy以及每个运算符α\alpha，

(f(x)f(y))α=(f(xy))α=f((xy)α)=f(xαyα)=f(xα)f(yα)=(f(x))α(f(y))α (f(x)f(y))^\alpha = (f(xy))^\alpha = f((xy)^\alpha) = f(x^\alpha y^\alpha) = f(x^\alpha)f(y^\alpha) = (f(x))^\alpha(f(y))^\alpha

这表明Ω\Omega的作用相对于f(G)f(G)上的群运算是可分配的。因此，f(G)f(G) 与诱导的律是群运算符，并且显然映射 x↦f(x)x \mapsto f(x) 是同态或群运算符。

定义 8 0594

使用运算符将​​ f:G→G′f : G \to G' 设为群中的同态。 G′G'单位元素逆像称为ff核。

ff的核通常用Ker(f)\mathrm{Ker}(f)表示，ff的像f(G)f(G)通常用Im(f)\mathrm{Im}(f)表示有时。

定理 3 0595

使用运算符将 f:G→G′f : G \to G' 设为群中的同态。* (a) Ker(f)\mathrm{Ker}(f) 是 GG 的正常稳定子群； (b) Im(f)\mathrm{Im}(f) 是 G′G' 的稳定子群； (c) 映射ff与Ker(f)\mathrm{Ker}(f)在GG上定义的等价关系兼容； (d) 映射f~:G/Ker(f)→Im(f)\tilde{f} : G/\mathrm{Ker}(f) \to \mathrm{Im}(f)由ff乘以经过通过运算符得到同构与群的商； (e) *f=i∘f~∘πf = i \circ \tilde{f} \circ \pi，其中ii是Im(f)\mathrm{Im}(f)到G′G'的典范嵌入，π\pi是GG到G/Ker(f)G/\mathrm{Ker}(f)的典范同态。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 命题 6, 定理 2, E II § 6. 等价关系

被以下引用 命题 18, 推论, I § 5

断言 (b) 源自命题 6。GG 上的等价关系 f(x)=f(y)f(x) = f(y) 与群以及GG 上的运算符结构兼容。到定理 2 (no. 4)，因此它是形式y∈xHy \in xH，其中HH是GG的正常稳定子群，HH是单位元素的类， 从而H=Ker(f)H = \mathrm{Ker}(f)。 断言 (a)、(c) 和 (d) 然后是。 断言 (e) 是显而易见的（*集合理论*，II, § 6, no. 5）。

6. 子群 / 商群

命题 7 0596

设GG和HH为两个带有运算符的群，将GG的ff同态转换为HH和ff的NN核。* (a) 令 H′H' 为 HH 的稳定子群。 逆像 G′=f−1(H′)G' = f^{-1}(H') 是 GG 的稳定子群，如果 H′H' 在 HH 中正常，则 G′G' 在 GG 中正常。此外，NN是G′G'的正常子群。如果 ff 是满射，则 H′=f(G′)H' = f(G') 和 ff 定义同构的 G′/NG'/N 到 H′H' 上的经过的商。 (b) *令 G′G' 为 GG 的稳定子群。 像 H′=f(G′)H' = f(G') 是 HH 和 f−1(H′)=G′N=NG′f^{-1}(H') = G'N = NG' 的稳定子群。特别是，f−1(H′)=G′f^{-1}(H') = G'当且仅当N⊂G′N \subset G'。如果 ff 是满射且 G′G' 在 GG 中是正规的，则 H′H' 在 HH 中是正规的。

被以下引用 3

被以下引用 注, 推论 2, 例, II § 1

(a) 设xx和yy在G′G'和α∈Ω\alpha \in \Omega中；那么f(x)∈H′f(x) \in H'和f(y)∈H′f(y) \in H'，从而f(xy−1)=f(x)f(y)−1∈H′f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} \in H'，即xy−1∈G′xy^{-1} \in G'；因此G′G'是GG的子群。现在 f(xα)=f(x)α∈H′f(x^\alpha) = f(x)^\alpha \in H'、从而 xα∈G′x^\alpha \in G'，因此 G′G' 是稳定的。假设H′H'在HH中是正规的，令x∈G′,y∈Gx \in G', y \in G；然后 f(x)∈H′f(x) \in H' 和

f(yxy−1)=f(y)f(x)f(y)−1∈H′ f(yxy^{-1}) = f(y)f(x)f(y)^{-1} \in H'
从而yxy−1∈G′yxy^{-1} \in G'；因此G′G'在GG中是正常的。对于所有 n∈N,f(n)=e∈H′n \in N, f(n) = e \in H'、从而 N⊂G′N \subset G'；正如NN在GG中是正常的，在G′G'中也是正常的。最后，如果 ff 是满射，
f(f−1(A))=A for every subset A of H, f(f^{-1}(A)) = A \text{ for every subset } A \text{ of } H,
从而H′=f(G′)H' = f(G')； ff到G′G'的限制是G′G'的同态f′f'到核NN的H′H'，因此经过上有f′f'定义 G′/NG'/N 的商同构到 H′H'。

(b) 设aa和bb在H′H'中，α\alpha在Ω\Omega中； G′G'中存在x,yx, y、a=f(x)a = f(x)和b=f(y)b = f(y)、从而ab−1=f(xy−1)∈H′ab^{-1} = f(xy^{-1}) \in H'，因此H′H'是HH的子群，对于aα=f(xα)∈H′a^\alpha = f(x^\alpha) \in H'来说是稳定的。让x∈Gx \in G；那么x∈f−1(H′)x \in f^{-1}(H')当且仅当f(x)∈H′=f(G′)f(x) \in H' = f(G')，即当且仅当G′G'中存在yy和f(x)=f(y)f(x) = f(y)； 关系f(x)=f(y)f(x) = f(y)相当于n∈Nn \in N与x=ynx = yn存在；最后，x∈f−1(H′)x \in f^{-1}(H')等价于x∈G′N=NG′x \in G'N = NG'。显然关系 G′=G′NG' = G'N 相当于 G′⊃NG' \supset N。最后假设ff是满射，G′G'在GG中是正规的；让 a∈H′a \in H' 和 b∈Hb \in H；存在x∈G′x \in G'和y∈Gy \in G以及a=f(x)a = f(x)和b=f(y)b = f(y)，从而bab−1=f(yxy−1)∈f(G′)=H′bab^{-1} = f(yxy^{-1}) \in f(G') = H'。因此 H′H' 在 HH 中是正常的。

推论 1 0597

假设 ff 是满射。设 G\mathscr{G}（分别为 G′\mathscr{G}'）为稳定的集合（分别为正常稳定）子群为 GG 包含 NN 和H\mathfrak{H}（分别为H′\mathfrak{H}'）稳定的集合 （分别为正常稳定）子群或 HH，这些集合按包含顺序排列。 映射 G′↦f(G′)G' \mapsto f(G') 是有序的集合同构 Φ:G→H\Phi : \mathscr{G} \to \mathfrak{H}； 逆同构Ψ:H→G\Psi : \mathfrak{H} \to \mathscr{G}是映射H′↦f−1(H′)H' \mapsto f^{-1}(H')。进一步Φ\Phi和Ψ\Psi诱导同构Φ′:G′→H′\Phi' : \mathscr{G}' \to \mathfrak{H}'和Ψ′:H′→G′\Psi' : \mathfrak{H}' \to \mathscr{G}'。

被以下引用 2

被以下引用 定理 4, 命题 1, I § 6

推论 2 0598

设f:G→Hf : G \to H为带有运算符的群的同态，ff的NN核，G′G'为GG的稳定子群，LL为子群的正常稳定子群 G′G'。那么LN,L.(G′∩N)LN, L.(G' \cap N)和f(L)f(L)分别是G′N,G′G'N, G'和f(G′)f(G')的正常稳定子群，并且与算子G′N/LN,G′/L.(G′∩N)G'N/LN, G'/L.(G' \cap N)和f(G′)/f(L)f(G')/f(L)的三个商群是同构的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 7

被以下引用 引理 1（扎森豪斯）

让H′=f(G′)H' = f(G')和f′f'表示G′G'到H′H'的同态，其中重合和ff在G′G'； f′f'中的核是G∩NG \cap N和f′(L)=f(L)f'(L) = f(L)；到命题 7，f′(L)f'(L) 是 H′H' 的正常稳定子群，并且

f′−1(f′(L))=L.(G′∩N) {f'}^{-1}(f'(L)) = L.(G' \cap N)
是正常稳定的子群 G′G'。设λ\lambda是H′H'到H′/f′(L)=f(G′)/f(L)H'/f'(L) = f(G')/f(L)的典范同态：因为λ∘f′\lambda \circ f'与核是满射
f′−1(f′(L))=L.(G′∩N), {f'}^{-1}(f'(L)) = L.(G' \cap N),

将G′/L⋅(G′∩N)G'/L\cdot(G'\cap N)的定义同构转移到f(G′)/f(L)f(G')/f(L)。 命题 7，(b)，f−1(H′)=G′Nf^{-1}(H')=G'N；如果f′′f''是G′NG'N的同态到H′H'，其中重合与G′NG'N上的ff，G′NG'N的同态λ∘f′′\lambda\circ f''到f(G′)/f(L)f(G')/f(L)是满射核f−1(f(L))=LNf^{-1}(f(L))=LN；这证明了 LNLN 是 G′NG'N 的正常稳定子群，并且λ∘f′′\lambda\circ f'' 定义同构 G′N/LNG'N/LN 到f(G′)/f(L)f(G')/f(L)。

推论 3 0599

令 f:G→Hf:G\to H 为群的同态（带运算符），NN 为核，XX 子集为 GG，使得 f(X)f(X) 生成 HH 且YY子集共NN其中生成NN。然后X∪YX\cup Y生成NN。

令G′G'为X∪YX\cup Y生成的GG的稳定子群。如Y⊂G′Y\subset G'、N⊂G′N\subset G'。

如 f(X)⊂f(G′)f(X)\subset f(G')、f(G′)=Hf(G')=H、从而 G′=f−1(H)=GG'=f^{-1}(H)=G。

注 059A

在命题7的记号中，HH的子群逆像是GG的子群的事实从以下更一般的事实得出。

如果 AA 和 BB 是 HH 的子集并且 ff 是满射，那么

f−1(A⋅B)=f−1(A)⋅f−1(B),f−1(A−1)=f−1(A)−1. f^{-1}(A\cdot B)=f^{-1}(A)\cdot f^{-1}(B),\qquad f^{-1}(A^{-1})=f^{-1}(A)^{-1}.

显然f−1(A)⋅f−1(B)⊂f−1(A⋅B)f^{-1}(A)\cdot f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cdot B)；另一方面，如果z∈f−1(A⋅B)z\in f^{-1}(A\cdot B)，则存在a∈Aa\in A和b∈Bb\in B使得f(z)=abf(z)=ab；由于ff是满射，因此存在x∈Gx\in G使得f(x)=af(x)=a；写y=x−1zy=x^{-1}z、f(y)=a−1f(z)=bf(y)=a^{-1}f(z)=b和z=xyz=xy、从而z∈f−1(A)⋅f−1(B)z\in f^{-1}(A)\cdot f^{-1}(B)。 关系 x∈f−1(A−1)x\in f^{-1}(A^{-1}) 相当于f(x)∈A−1f(x)\in A^{-1}，因此相当于f(x−1)∈Af(x^{-1})\in A，即x−1∈f−1(A)x^{-1}\in f^{-1}(A)，最后相当于x∈f−1(A)−1x\in f^{-1}(A)^{-1}。

引用了 1

引用了 命题 7

命题 8 059B

设GG为带有运算符的群，以及AA和BB两个稳定的子群GG。假设关系a∈Aa\in A和b∈Bb\in B隐含aba−1∈B∗aba^{-1}\in B^{*}（在其他字中，AA归一化BB）∗^{*}。那么AB=BAAB=BA是GG的稳定子群，A∩BA\cap B是AA的正常稳定子群，BB是ABAB的正常稳定子群。将AA的典范嵌入代入ABAB，将经过上的定义除以A/(A∩B)A/(A\cap B)的同构到AB/BAB/B的商。

被以下引用 1

被以下引用 定理 4

公式

(ab)(a′b′)=aa′(a′−1ba′⋅b′) (ab)(a'b')=aa'({a'}^{-1}ba'\cdot b')
(ab)−1=a−1(ab−1a−1) (ab)^{-1}=a^{-1}(ab^{-1}a^{-1})
(ab)α=aαbα (ab)^\alpha=a^\alpha b^\alpha

对于a,a′∈Aa,a'\in A、b,b′∈Bb,b'\in B以及GG上的每个运算符α\alpha，证明ABAB是GG的稳定子群。设a∈Aa\in A和x∈A∩Bx\in A\cap B；那么axa−1∈Baxa^{-1}\in B由对AA和BB所做的假设得出，并且显然axa−1axa^{-1}属于到AA，因此A∩BA\cap B在AA中是正常的。设a∈Aa\in A和b,b′b,b'在BB中； 公式(ab)b′(ab)−1=a(bb′b−1)a−1(ab)b'(ab)^{-1}=a(bb'b^{-1})a^{-1}表明BB在ABAB中是正常的。令ϕ\phi为AB到AB/B的典范同态的限制到AA；那么ϕ(a)=aB\phi(a) = aB，因此ϕ\phi的核等于A∩BA \cap B。显然 ϕ\phi 是满射，因此 A/(A∩B)A/(A \cap B) 的定义同构到 AB/BAB/B。

定理 4 059C

设 G 为群且有运算符，N 为 G 的正常稳定子群。

引用了 3 · 被以下引用 15

引用了 命题 5, 推论 1, 命题 8

被以下引用 引理 1（扎森豪斯）, 命题 19, 命题 9, 定理 5（施赖尔）, 推论 3, I § 6, 定理 1, I § 6, 推论, II § 1, 命题 5, II § 7, 命题 7, II § 7, 定义 3, VII § 4, 定理 1, VII § 4, 推论, VIII § 1, 命题 3, VIII § 1, 定义 2, VIII § 3, 命题 1, VIII § 3

(a) 映射 G′↦G′/NG' \mapsto G'/N 是 G 包含 N 稳定子群集合双射到 G/N 稳定子群集合。

(b) 令 G′G' 为 G 包含 N 的稳定子群。要使 G′/NG'/N 在 G/NG/N 中正规，G′G' 在 G 中正规，且群 G/G′G/G' 和 (G/N)/(G′/N)(G/N)/(G'/N) 是充分必要的同构。

(c) 令G′G'为G的稳定子群。则G′NG'N为G的稳定子群，且N在G′NG'N中是正规的。此外，G′∩NG' \cap N在G′G'和群中是正规的，G′/(G′∩N)G'/(G' \cap N)和G′N/NG'N/N是同构的。

让ff表示G到G/NG/N的典范同态。对于所有x∈Gx \in G，f(x)∈xNf(x) \in xN；因此，对于 G 包含 N 的每个子群 G′G'，f(G′)=G′/Nf(G') = G'/N。由于 ff 是满射，断言 (a) 从推论 1 到命题 7；类似地，等价“G'正常”⇔\Leftrightarrow“G'/N正常”。假设G′G'是G包含N的正常稳定子群。通过no. 4，命题5应用于IdG\mathrm{Id}_G，存在G/NG/N的同态uu到G/G′G/G'定义为u(xN)=xG′u(xN) = xG' 对于所有x∈Gx \in G。 uu 与核 G′/NG'/N 从而 (G/N)/(G′/N)(G/N)/(G'/N) 所需的同构到 G/G′G/G' 是直接的。最后，(c) 紧随命题 8。

7. 乔丹-霍尔德定理

定义 9 059D

具有运算符 G 的群的合成列是 G 的稳定子群的有限序列 (Gi)0≤i≤n(G_i)_{0 \leq i \leq n}，其中G0=GG_0 = G 和 Gn={e}G_n = \{e\}，并且Gi+1G_{i+1} 是0≤i≤n−10 \leq i \leq n-1 的GiG_i 的正常子群。商Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}称为级数的商。如果Σ\Sigma是取自Σ′\Sigma'的级数，则合成列Σ′\Sigma'据说是更细比合成列Σ\Sigma。

被以下引用 1

被以下引用 I, §4, No. 7, p. 41, Definition 9

如果(Gi)0≤i≤n(G_i)_{0 \leq i \leq n}和(Hj)0≤j≤m(H_j)_{0 \leq j \leq m}分别是带有运算符G和H的两个群的合成列，则如果m=nm = n并且存在N\mathbf{N}的区间{0,n−1}\{0, n-1\}的置换ϕ\phi，则称它们是等价的，使得带有运算符的群 Gi/Gi+1G_i/G_{i+1} 和 Hϕ(i)/Hϕ(i)+1H_{\phi(i)}/H_{\phi(i)+1} 对于所有 ii 是同构的。

注，一般来说，取自合成列(Gi)(G_i)的级数不是合成列，因为对于j>i+1j > i + 1，GjG_j通常不是GiG_i的正常子群。

定理 5（施赖尔） 059E

给定群的两个合成列Σ1,Σ2\Sigma_1, \Sigma_2和运算符G，存在两个分别与Σ1\Sigma_1和Σ2\Sigma_2等价的合成列、Σ1′,Σ2′\Sigma'_1, \Sigma'_2、更细。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定理 4

被以下引用 推论, 定理 6（乔丹-霍尔德）

令Σ1=(Hi)0≤i≤n\Sigma_1 = (H_i)_{0 \leq i \leq n}和Σ2=(Kj)0≤j≤p\Sigma_2 = (K_j)_{0 \leq j \leq p}为给定的两个合成列，分别为n+1n + 1和p+1p + 1项；我们将看到，通过在 H_i 和 H_{i+1} 之间插入 p−1p - 1 子群 Hi,j′H'_{i,j} (1 \leq j \leq p - 1) 可以形成合成列 Σ1′\Sigma'_1，对于 0 \leq i \leq n - 1 和级数 \Sigma_2' 通过插入 n - 1 子群 K_{j,i}' (1 \leq i \leq n - 1) 在 K_j 和 K_{j+1} 之间，对于 0 \leq j \leq p - 1；从而得到pn的两个级数+G的1个稳定的子群；通过适当选择插入的稳定子群，我们将证明这些级数是等价的合成列。

为此注 H_i \cap K_j 是 H_i 和 K_j 的稳定子群，因此 (定理 4) H_{i+1}.(H_i \cap K_j) 是 H_i 包含 H_{i+1} 和 K_{j+1}.(H_i \cap) 的稳定子群 K_j) 是 K_j 包含 K_{j+1} 的稳定子群。如果我们写 H_{i,j}' = H_{i+1}.(H_i \cap K_j) 和 K_{j,i}' = K_{j+1}.(H_i \cap K_j)，H_{i,j+1}' 是 H_{i,j}' (0 \leq j \leq p - 1) 的稳定子群并且 K_{j,i+1}' 是稳定的K_{j,i}' 的子群 (0 \leq i \leq n - 1)。此外，H_{i,0}' = H_i、H_{i,p}' = H_{i+1}、K_{j,0}' = K_j 且 K_{j,p}' = K_{j+1}。为了显示定理，只需证明 H_{i,j+1}' (分别为 K_{j,i+1}') 是 H_{i,j}' (分别为 K_{j,i}') 的正常稳定子群并且商群 H_{i,j}'/H_{i,j+1}' 和K_{j,i}'/K_{j,i+1}' 是同构的 (0 \leq i \leq n - 1, 0 \leq j \leq p - 1)。这是从以下引理得出的，取H=H_i，H'=H_{i+1}，K=K_j，K'=K_{j+1}。

引理 1（扎森豪斯） 059F

设H和K是群的两个稳定子群，分别是H和K的算子G和H'和K'正常稳定子群；则 H'.(H \cap K') 是 H'.(H \cap K) 的正规稳定子群，K'.(K \cap H') 是 K'.(K \cap H) 和商群的正规稳定子群，带有运算符 (H'.(H \cap K))/(H'.(H \cap K')) 和 (K'.(K \cap H))/(K'.(K \cap H')) 是同构的。

引用了 2

引用了 推论 2, 定理 4

由定理 4 可知，H' \cap K = H' \cap (H \cap K) 是 H \cap K 的正规稳定子群；类似地，K' \cap H 是 K \cap H 的正常稳定子群；因此 (no. 6, 推论 2) (H' \cap K)(K' \cap H) 是 H \cap K 的正常稳定子群。通过定理 4 应用于群 H，

H′.(H′∩K).(K′∩H)=H′.(H∩K′) H'.(H' \cap K).(K' \cap H) = H'.(H \cap K')

是 H' 的正常稳定子群。(H \cap K) 和商群

(H′.(H∩K))/(H′.(H∩K)) (H'.(H \cap K))/(H'.(H \cap K))

同构于

(H∩K)/((H′∩K).(K′∩H)). (H \cap K)/((H' \cap K).(K' \cap H)).

在最后一个商中，一方面是 H 和 H'，另一方面是 K 和 K' 对称出现；将它们排列即可获得所述结果。

定义 10 059G

具有运算符 G 的群的 Jordan-Hölder 级数是严格递减分解级数 \Sigma，这样不存在与 \Sigma 不同的严格递减分解级数和与 \Sigma 不同的更细。

命题 9 059H

为了使 G 的分解级数成为 Jordan-Hölder 级数，级数的所有商都是简单的是充分必要的。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定理 4

被以下引用 定义 11, 推论

分解级数是严格递减当且仅当其连续商都没有减少到单位元素。如果严格递减合成列 Σ\Sigma 不是 Jordan-Hölder 级数，则存在严格递减合成列 Σ′\Sigma'，其更细比 Σ\Sigma 且与 Σ\Sigma 不同。因此Σ\Sigma中有两个连续的项Gi,Gi+1G_i, G_{i+1}在Σ′\Sigma'中不连续；设HH为Σ′\Sigma'中GiG_i之后的第一个项； HH是GiG_i、包含Gi+1G_{i+1}的正常稳定版子群，与后者不同；因此H/Gi+1H/G_{i+1}是Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}的正常稳定子群，与后者和单位元素不同；因此Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}并不简单。相反，如果 Σ\Sigma 是严格递减合成列，其中一个商 Gi/Gi+1G_i/G_{i+1} 不简单，则该商包含是除自身和 {e}\{e\} 之外的正规稳定子群，其 GiG_i 中的逆像是正规稳定GiG_i 的子群 HH，不同于 GiG_i 和 Gi+1G_{i+1} (定理 4)；只需在GiG_i和Gi+1G_{i+1}之间插入HH即可获得与Σ\Sigma和更细区别于Σ\Sigma的严格递减合成列。

定理 6（乔丹-霍尔德） 059I

两个 Jordan-Hölder 级数或群与运算符是等效的。

引用了 1 · 被以下引用 6

引用了 定理 5（施赖尔）

被以下引用 I, §4, No. 7, p. 43, Theorem 6, 推论, 定理 7（分解进入素数因子）, 定理 3, II § 7, VIII § 11. 。 格罗滕迪克群, 命题 5, VIII § 3

令Σ1,Σ2\Sigma_1, \Sigma_2为群的两个Jordan-Hölder级数，运算符为GG；通过应用定理 5 得到两个*等价* 合成列 Σ1′,Σ2′\Sigma'_1, \Sigma'_2，分别比更细比Σ1\Sigma_1和Σ2\Sigma_2；由于后者是 Jordan-Hölder 级数，Σ1′\Sigma'_1 与 Σ1\Sigma_1 相同，或者是通过重复某些项衍生而来； Σ1′\Sigma'_1的商级数是从Σ1\Sigma_1的商中通过插入与群{e}\{e\}同构的项的数而导出；由于Σ1\Sigma_1是严格递减，Σ1\Sigma_1的商的级数是通过抑制后者*所有*项同构于{e}\{e\}而从Σ1′\Sigma'_1的商导出的。对于 Σ2\Sigma_2 和 Σ2′\Sigma'_2 也是如此。由于Σ1′\Sigma'_1和Σ2′\Sigma'_2的商级数仅在项的阶不同（最多同构），Σ1\Sigma_1和Σ2\Sigma_2也是如此； 定理得证。

推论 059J

设 GG 为群，其中存在 Jordan-Hölder 级数的算子。如果 Σ\Sigma 是 GG 中的任意严格递减合成列，则存在比 Σ\Sigma 的 Jordan-Hölder 级数更细。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 命题 9, 定理 5（施赖尔）, 定理 6（乔丹-霍尔德）

被以下引用 定义 11, 注

Let Σ0\Sigma_0 be a Jordan-Hölder series of GG; by Theorem 5, there exist two equivalent composition series, Σ′\Sigma' and Σ0′\Sigma'_0 respectively finer than Σ\Sigma and Σ0\Sigma_0; the argument of Theorem 6 shows that, by suppressing from Σ′\Sigma' the repetitions, a sequence Σ′′\Sigma'' is obtained which is equivalent to Σ0\Sigma_0 and hence a Jordan-Hölder series, since all its quotients are simple (Proposition 9). 由于Σ\Sigma是严格递减，Σ′′\Sigma''比Σ\Sigma是更细，从而是推论。

注 059K

群与运营商并不总是拥有 Jordan-Hölder 级数； 例由有理整数的加法群Z\mathbf{Z}给出：序列(2n⋅Z)n≥0(2^n \cdot \mathbf{Z})_{n \geq 0}是Z\mathbf{Z}的（正常）子群的严格递减无限序列；对于所有pp，这个序列形式的第一个pp项与群{0}\{0\}严格递减合成列；如果Z\mathbf{Z}存在乔丹-霍尔德级数，则根据定理6的推论，它至少有p+1p+1项；荒谬，因为 pp 是任意的。

另一方面，在每个*有限*群中都存在一个Jordan-Hölder级数，且算子G：如果G≠{e}G \ne \{e\}，在与G不同的G的正常稳定子群中，令H1H_1为最大子群；类似地，定义Hn+1H_{n+1}由归纳作为HnH_n正常子群的集合中的极大元素，与HnH_n不同，当Hn≠{e}H_n \ne \{e\}时； HnH_n的阶的序列是严格递减，因此存在nn使得G的Hn={e}H_n = \{e\}和序列由……组成和HiH_i（1≤i≤n1 \leq i \leq n）通过其形成乔丹-霍尔德级数。

引用了 1

引用了 推论

定义 11 059L

设 G 为带有运算符的群； G 的长度是整数 nn 的上界，因此存在G (Gi)0≤i≤n(G_i)_{0\leq i\leq n} 的严格递减合成列。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 推论, 命题 9

被以下引用 II § 1. 。 模

如果 G 承认 Jordan-Hölder 级数，则 G 的长度是该级数的连续商的数，如下从定理 6 的推论。如果 G 不承认 Jordan-Hölder 级数，则其长度是无限的；到命题 9，对于 G 的每严格递减级数，都存在严格的更细严格递减级数。 单位元素中的群由……组成是唯一具有长度零运算符的群。当且仅当它是长度 1 时，带有运算符的群才是简单的。

设 G 为带有运算符的群，H 为 G 的正常稳定子群，K 为商 G/H 和 π:G→K\pi:G\to K 典范同态。让

Σ′=(Hi)0≤i≤n \Sigma'=(H_i)_{0\leq i\leq n}

是 H 的分解级数且

Σ′′=(Kj)0≤j≤p \Sigma''=(K_j)_{0\leq j\leq p}

是 K 的合成列。为 0≤i≤p0\leq i\leq p 写 Gi=π−1(Ki)G_i=\pi^{-1}(K_i)，为 p≤i≤n+pp\leq i\leq n+p、合成列写Gi=Hi−pG_i=H_{i-p}

Σ=(Gi)0≤i≤n+p \Sigma=(G_i)_{0\leq i\leq n+p}

得到G。 Σ\Sigma的商序列是通过将Σ′′\Sigma''的商序列与Σ′\Sigma'的商序列并列而获得。如果Σ′\Sigma'和Σ′′\Sigma''是Jordan-Hölder级数，Σ\Sigma是G的Jordan-Hölder级数，通过命题9。如果H或K承认任意长度的合成列，G也如此。我们已经证明：

命题 10 059M

令 G 为带有算子的群，H 为 G 的正常稳定子群。G 的长度是 H 和 G/H 的长度的和。

被以下引用 1

被以下引用 命题 16, II § 1

推论 059N

令G为带有运算符的群和G的(Gi)0≤i≤n(G_i)_{0\leq i\leq n}合成列。G的长度是Gi/Gi+1G_i/G_{i+1}、0≤i≤n−10\leq i\leq n-1的长度的和。

如果 G 和 G′G' 与算子同构群并且 G 承认 Jordan-Hölder 级数，那么 G′G' 以及 G 和 G′G' 的 Jordan-Hölder 级数是等价的。然而，非同构群可以有等价的Jordan-Hölder级数；对于 Z/4Z\mathbf{Z}/4\mathbf{Z} 和 (Z/2Z)×(Z/2Z)(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\times(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})、cf. no. 10 也是如此。

8. 乘积和纤维乘积

设(Gi)i∈I(G_i)_{i \in I}是带有运算符的群族。令GG为GiG_i的乘积幺半群。考虑GG上的Ω\Omega的作用定义为

((xi)i∈I)α=(xiα)i∈I(α∈Ω,xi∈Gi). ((x_i)_{i \in I})^\alpha = (x_i^\alpha)_{i \in I} \quad (\alpha \in \Omega, x_i \in G_i).

这样结构 GG 就是群与运算符。对于所有 i∈Ii \in I，投影映射 pri:G→Gi\mathrm{pr}_i : G \to G_i 是带有运算符的群的同态。

定义 12 059O

群与运算符* G=∏i∈IGiG = \prod_{i \in I} G_i 上面定义的是乘积群以及 GiG_i 的运算符。 映射 pri:G→Gi\mathrm{pr}_i : G \to G_i 被称为 投影同态。

引用了 1

引用了 E IV § 2. 态射和导出结构

带有运算符的群的乘积的特殊情况是集合 EE 的映射群 GEG^E 由……组成转换为群，其中运算符 GG、律定义如下：

(fg)(x)=f(x)g(x)(f,g∈GE,x∈E) (fg)(x) = f(x)g(x) \quad (f, g \in G^E, x \in E)
fα(x)=f(x)α(f∈GE,α∈Ω,x∈E). f^\alpha(x) = f(x)^\alpha \quad (f \in G^E, \alpha \in \Omega, x \in E).

设(ϕi:H→Gi)i∈I(\phi_i : H \to G_i)_{i \in I}是同态和群的运算符族。 HH 的映射 h↦(ϕi(h))i∈Ih \mapsto (\phi_i(h))_{i \in I} 到 ∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i 是群的同态与运算符。这是所有ii中唯一的同态Φ:H→∏i∈IGi\Phi : H \to \prod_{i \in I} G_i满足pri∘Φ=ϕi\mathrm{pr}_i \circ \Phi = \phi_i。这证明了“乘积群与运算符”的名称是合理的（*集合理论*，IV, § 2, no. 4）。

令 (ϕi:Hi→Gi)i∈I(\phi_i : H_i \to G_i)_{i \in I} 成为群的同态与运算符的族。 ∏i∈IHi\prod_{i \in I} H_i的映射∏i∈Iϕi:(hi)i∈I↦(ϕi(hi))i∈I\prod_{i \in I} \phi_i : (h_i)_{i \in I} \mapsto (\phi_i(h_i))_{i \in I}到∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i是群的同态与运算符。

命题 11 059P

设* (ϕi:Hi→Gi)i∈I(\phi_i : H_i \to G_i)_{i \in I} 是同态的群与运算符的族，并设 Φ=∏i∈Iϕi\Phi = \prod_{i \in I} \phi_i。 *然后：

(a) Ker(Φ)=∏i∈IKer(ϕi)\mathrm{Ker}(\Phi) = \prod_{i \in I} \mathrm{Ker}(\phi_i)； 特别是，如果所有 ϕi\phi_i *都是单射的，则Φ\Phi 是单射的。

(b) Im(Φ)=∏i∈IIm(ϕi)\mathrm{Im}(\Phi) = \prod_{i \in I} \mathrm{Im}(\phi_i)； 特别是，如果所有 ϕi\phi_i *都是满射，则Φ\Phi 也是满射。

这是直接的。

特别地，令 (Gi)i∈I(G_i)_{i \in I} 为带有运算符的群族，并且对于所有ii，令HiH_i为GiG_i的稳定（或正常稳定）子群。 乘积 ∏i∈IHi\prod_{i \in I} H_i 是∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i 的子群和∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i 的典范映射到∏i∈I(Gi/Hi)\prod_{i \in I} (G_i / H_i) 定义，当经过与同构的商

(∏i∈IGi)/(∏i∈IHi) \left( \prod_{i \in I} G_i \right) / \left( \prod_{i \in I} H_i \right)
到∏i∈I(Gi/Hi)\prod_{i \in I} (G_i / H_i)。对于例，令JJ为II的子集。 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I}的∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i由……组成的子群GJG_J，使得i∉Ji \notin J的xi=eix_i = e_i是正常稳定的子群。 映射 ιJ\iota_J 与 x=(xj)j∈Jx = (x_j)_{j \in J} 元素 y=(yi)i∈Iy = (y_i)_{i \in I} 关联，使得 i∉Ji \notin J 的 yi=eiy_i = e_i 和 i∈Ji \in J 的 yi=xiy_i = x_i，是 ∏j∈JGj\prod_{j \in J} G_j 的同构到GJG_J。 映射 prI−J\mathrm{pr}_{I-J} 定义当经过到商群 G/GJG / G_J 的商同构 θJ\theta_J 到 ∏i∈I−JGi\prod_{i \in I-J} G_i 时。 合成prJ∘ιJ\mathrm{pr}_J \circ \iota_J是∏j∈JGj\prod_{j \in J} G_j中的恒等映射。由于 θJ\theta_J，G/GJG / G_J 通常与 ∏i∈I−JGi\prod_{i \in I-J} G_i 等同，并且由于 ιJ\iota_J，∏i∈JGi\prod_{i \in J} G_i 与 GJG_J 等同。

如果J1J_1和J2J_2是II的不相交的子集，则从定义可以得出，GJ1G_{J_1}的每个元素与GJ2G_{J_2}的每个元素进行通勤。

定义 13 059Q

令 GG 为群，有操作员，(Hi)i∈I(H_i)_{i \in I} 为 GG 的正常稳定族子群。令pi:G→G/Hip_i : G \to G / H_i为典范同态。如果同态 g↦(pi(g))i∈Ig \mapsto (p_i(g))_{i \in I} 是 GG 的同构到 ∏i∈IG/Hi\prod_{i \in I} G / H_i，GG 被称为商群 (G/Hi)(G / H_i) 族的内部乘积（或乘积）。

令GG和HH为带有运算符的群，并令ϕ\phi和ψ\psi为GG到HH的两个同态。 GG中元素xx的集合使得ϕ(x)=ψ(x)\phi(x) = \psi(x)是GG的稳定子群，称为ϕ\phi和ψ\psi的*重合群*。特别地，使用运算符令ϕ1:G1→H\phi_1 : G_1 \to H和ϕ2:G2→H\phi_2 : G_2 \to H为群的同态； 同态 ϕ1∘pr1\phi_1 \circ \mathrm{pr}_1 的群和 G1×G2G_1 \times G_2 的 ϕ2∘pr2\phi_2 \circ \mathrm{pr}_2 到 HH 的重合被称为 G1G_1 和 G2G_2 相对于 HH 的 纤维乘积 ϕ1\phi_1 和 ϕ2\phi_2。当ϕ1\phi_1和ϕ2\phi_2没有歧义时，用G1×HG2G_1 \times_H G_2表示，pr1\mathrm{pr}_1和pr2\mathrm{pr}_2至G1×HG2G_1 \times_H G_2的限制、p1p_1和p2p_2也称为投影同态。然后ϕ1∘p1=ϕ2∘p2\phi_1 \circ p_1 = \phi_2 \circ p_2。 G1×HG2G_1 \times_H G_2中的元素是有序对(g1,g2)∈G1×G2(g_1, g_2) \in G_1 \times G_2，使得ϕ1(g1)=ϕ2(g2)\phi_1(g_1) = \phi_2(g_2)。如果fif_i是群的同态，且带有运算符KK到GiG_i（i=1,2i = 1, 2）和ϕ1∘f1=ϕ2∘f2\phi_1 \circ f_1 = \phi_2 \circ f_2，则存在且仅有一个KK到G1×HG2G_1 \times_H G_2的同态和ff，这样fi=pi∘ff_i = p_i \circ f 对应 i=1,2i = 1, 2。

9. 受限制和

令(Gi)i∈I(G_i)_{i \in I}为群的运算符族，对于i∈Ii \in I，令HiH_i为GiG_i的稳定子群。 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I}的∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i由……组成的子集使得i∈Ii \in I的集合和xi∉Hix_i \notin H_i是有限的，如果II是有限的，则∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i的稳定子群等于∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i。相对于HiH_i*，它被称为GiG_i的*受限和。当对于除有限数之外的所有ii，HiH_i 是GiG_i 的正常稳定子群时，受限制的和是乘积的正常稳定子群。当，对于所有ii，子群HiH_i减少到GiG_i的单位元素时，GiG_i相对于HiH_i的直和被简单地称为GiG_i的*受限和*并且有时表示为 ∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i。对于由 ιi0(x)=(xi)i∈I\iota_{i_0}(x) = (x_i)_{i \in I} 定义的所有 i0∈Ii_0 \in I、映射 ιi0:Gi0→∏i∈IGi\iota_{i_0}: G_{i_0} \to \prod_{i \in I} G_i，其中 xi0=xx_{i_0} = x 和 xi=eix_i = e_i（如果 i≠i0i \neq i_0）是群的单同态，运算符称为 典范嵌入。 GiG_i 与稳定的子群 Im⁡(ιi)\operatorname{Im}(\iota_i) 相同。 子群GiG_i都是正常的。对于i≠ji \neq j、元素、GiG_i、GjG_j通勤和Gi∩Gj={e}G_i \cap G_j = \{e\}。 群∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i由集合⋃i∈IGi\bigcup_{i \in I} G_i生成。

命题 12 059R

令(ϕi:Gi→K)i∈I(\phi_i: G_i \to K)_{i \in I}是群的同态族，其运算符使得对于所有i∈Ii \in I和j∈Ij \in I以及i≠ji \neq j、x∈Gix \in G_i、y∈Gjy \in G_j、元素ϕi(x)\phi_i(x)和KK通勤ϕj(y)\phi_j(y)；存在且仅有一个群的同态，将∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i的Φ\Phi算子放入KK，使得所有i∈Ii \in I都有ϕi=Φ∘ιi\phi_i = \Phi \circ \iota_i。对于 ∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i 中的每元素 x=(xi)i∈Ix = (x_i)_{i \in I}，Φ(x)=∏i∈Iϕi(xi)\Phi(x) = \prod_{i \in I} \phi_i(x_i)。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了 I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律

被以下引用 例, I § 5, 命题 2, I § 6, 注, II § 1

如果Φ\Phi和Φ\Phi是解到问题，则它们在⋃i∈IGi\bigcup_{i \in I} G_i上是重合，因此在∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i、Φ\Phi的从而唯一性上。现在我们证明Φ\Phi的存在性：对于∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i的每个元素x=(xi)i∈Ix = (x_i)_{i \in I}，令Φ(x)=∏i∈Iϕi(xi)\Phi(x) = \prod_{i \in I} \phi_i(x_i)（§ 1, no. 5）。显然 Φ∘ιi=ϕi\Phi \circ \iota_i = \phi_i 对于所有 ii 和 Φ\Phi 都具有同位交换； 公式 Φ(xy)=Φ(x)Φ(y)\Phi(xy) = \Phi(x)\Phi(y) 由§ 1, no. 5、公式 (9) 推出。

定义 14 059S

令 GG 为群，包括运算符和 (Hi)i∈I(H_i)_{i \in I} 子群 GG 的稳定族。如果HiH_i的每一个元素对于j≠ij \neq i来说可以与HjH_j的每一个元素进行置换，GG被称为子群(Hi)(H_i)族的内部受限和（或受限和）将∏i∈IHi\prod_{i \in I} H_i的唯一同态转化为GG，其限制到每个HiH_i的典范嵌入为同构。

当II有限时，我们还滥用语言说*内部直接乘积*（或*直接乘积*，或*乘积*）而不是内部受限和。 G 的每个稳定子群 H，如果存在 G 的稳定子群 H'，使得 G 是 H 和 H' 的直乘积，则称为 G 的 直因子。

命题 13 059T

令 G 为具有运算符的群和(Hi)i∈I(H_i)_{i \in I} G 的稳定子群族，使得HiH_i的每个元素对于HjH_j的每个元素都可以置换为j≠ij \neq i。为了使 G 成为子群 (Hi)i∈I(H_i)_{i \in I} 族的受限和，G 的每个元素 x 可以在形式 ∏i∈Iyi\prod_{i \in I} y_i 中唯一表达是充分必要的，其中 (yi)i∈I(y_i)_{i \in I} 是元素的有限支撑的族G 的 yi∈Hiy_i \in H_i 对于所有 i.

显而易见。

命题 14 059U

设 G 为带有运算符的群和 (Hi)i∈I(H_i)_{i \in I} G 的稳定子群的有限族。为了使 G 成为子群 (Hi)(H_i) 族的受限制和，每个 HiH_i 是正规的并且 G 是乘积是充分必要的的商群 (G/Hi)(G/H^i)，其中 HiH^i 是由 HjH_j 为 j≠ij \neq i 生成的子群。

条件显然是必要的。相反，假设G是Ki=G/HiK_i = G/H^i的乘积，并让G等同于KiK_i的乘积。然后将HiH_i与KiK_i的子群进行识别，因此，对于i≠ji \neq j，HiH_i的每个元素可以与HjH_j的每个元素进行置换；另一方面，HiH^i与j≠ij \neq i的KjK_j的乘积相同，因此Hi=KiH_i = K_i对于所有ii，G是HiH_i的直接乘积。

命题 15 059V

令 G 为带有运算符的群以及 G 的正常稳定子群的 (Hi)1≤i≤n(H_i)_{1 \leq i \leq n} 序列，使得*

(H1H2…Hi)∩Hi+1={e}for 1≤i≤n−1, (H_1 H_2 \ldots H_i) \cap H_{i+1} = \{e\} \quad \text{for } 1 \leq i \leq n-1,
*集合H1H2…HnH_1 H_2 \ldots H_n是G的正常稳定子群，HiH_i的限制和。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了 命题 1

被以下引用 习题 15, § 4, 习题 4, § 5, 定义 8, II § 1, 命题 21, II § 1, 推论 6, V § 10

到 nn 的归纳时，n=2n = 2 立即减少为证明命题。我们首先证明，如果 x∈H1x \in H_1 和 y∈H2y \in H_2，则 x 和 y 是*可置换的*；对于xyx−1y−1=(xyx−1)y−1=x(yx−1y−1)xyx^{-1}y^{-1} = (xyx^{-1})y^{-1} = x(yx^{-1}y^{-1})，因此（因为H1H_1和H2H_2是正常的）xyx−1y−1∈H1∩H2xyx^{-1}y^{-1} \in H_1 \cap H_2，即xyx−1y−1=exyx^{-1}y^{-1} = e，乘以假设。此外，H1H2H_1 H_2是G的子集，在G的同位性下是稳定的。由此可知（通过no. 3，命题1）H1H2H_1 H_2是G的稳定子群，并且立即验证该子群是正规的。最后假设xy=x′y′xy = x'y'，还有x∈H1,x′∈H1,y∈H2,y′∈H2x \in H_1, x' \in H_1, y \in H_2, y' \in H_2；然后x′−1x=y′y−1{x'}^{-1}x = y'y^{-1}，因此x′−1∈H1∩H2={e}{x'}^{-1} \in H_1 \cap H_2 = \{e\}，x′=xx' = x，类似地y′=yy' = y；因此，H1H2H_1 H_2是H1H_1和H2H_2的直接乘积。

当群考虑可交换时，使用项*直和*而不是直接乘积。

10. 单源群

设 a∈Za \in \mathbf{Z}；因为aZa\mathbf{Z}是Z\mathbf{Z}的子群，关系在Z\mathbf{Z}的元素x,yx, y之间，其中指出“存在z∈Zz \in \mathbf{Z}使得x−y=azx - y = az”是等价关系，我们一劳永逸地同意写如x≡y(moda)x \equiv y \pmod{a}或x≡y(a)x \equiv y(a)，称为*同余模*aa。 替换aa乘以−a-a，得到等价的关系，因此可以假设a⩾0a \geqslant 0；对于a=0a = 0，x≡y(0)x \equiv y(0)意味着x=yx = y，因此只有在a≠0a \neq 0时才能获得与等式不同的关系：因此，我们将在下文中假设a>0a > 0除非另有说明。

对于a>0a > 0，Z\mathbf{Z}与同余x≡y(a)x \equiv y(a)的商，即群Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}，称为有理整数模*aa的*群。

命题 16 059W

令aa为整数>0> 0。 整数 rr 0⩽r<a0 \leqslant r < a 形式系统等价关系 x≡y(moda)x \equiv y \pmod{a} 代表元Z\mathbf{Z}。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 E III § 5. 整数的特性

被以下引用 命题 17

如果xx是整数⩾0\geqslant 0，则存在(集合理论，III, § 5, no. 6)整数qq和rr，使得x=aq+rx = aq + r和0⩽r<a0 \leqslant r < a和x≡r(moda)x \equiv r \pmod{a}。 If xx is 整数 ⩽0\leqslant 0, 整数 −x-x is ⩾0\geqslant 0 and by the above there exists 整数 rr such that 0⩽r<a0 \leqslant r < a and −x≡r(moda)-x \equiv r \pmod{a}. Writing r′=0r' = 0 if r=0r = 0 and r′=a−rr' = a - r if r>0r > 0, then

x≡−r≡r′(moda) x \equiv -r \equiv r' \pmod{a}

and 0⩽r′<a0 \leqslant r' < a.我们现在证明，如果 0⩽r<r′<a0 \leqslant r < r' < a，则r≢r′(moda)r \not\equiv r' \pmod{a}。 Now r′−r<nar' - r < na for n⩾1n \geqslant 1 and r′−r>nar' - r > na for n⩽0n \leqslant 0, 从而 r′−r∉aZr' - r \notin a\mathbf{Z}.

Corollary 059X

令aa为整数>0> 0。 群 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z} of rational 整数 modulo aa is 群 of 阶 aa.

被以下引用 1

被以下引用 命题 19

命题 17 059Y

令H\mathrm{H}为Z\mathbf{Z}中的子群。 There exists one and only one 整数 a⩾0a \geqslant 0 such that H=aZ\mathrm{H} = a\mathbf{Z}.

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 16

被以下引用 命题 18, 命题 19

如果H={0}\mathrm{H} = \{0\}，则H=0Z\mathrm{H} = 0\mathbf{Z}。假设H≠{0}\mathrm{H} \neq \{0\}。 子群H\mathrm{H}有元素x≠0x \neq 0。然后x>0x > 0或−x>0-x > 0，因此H\mathrm{H}有元素>0> 0。令H\mathrm{H}中的aa为最小的元素>0> 0。 aa生成的子群aZa\mathbf{Z}包含在H\mathrm{H}中；我们证明H⊂aZ\mathrm{H} \subset a\mathbf{Z}。让y∈Hy \in \mathrm{H}。到命题 16，存在整数rr，使得y≡r(moda)y \equiv r \pmod{a}和0⩽r<a0 \leqslant r < a。 更不必说 y≡r(modH)y \equiv r \pmod{\mathrm{H}}，从而r∈Hr \in \mathrm{H}。但这只有在 r=0r = 0 且因此 y∈aZy \in a\mathbf{Z} 时才有可能。 整数aa是唯一的：如果H={0}\mathrm{H} = \{0\}，则必然a=0a = 0，如果H≠{0}\mathrm{H} \neq \{0\}，整数aa是Z/H\mathbf{Z}/\mathrm{H}的阶。

定义 15 059Z

如果群承认单个元素的生成元由……组成中的系统，则称为单生的。有限单生群称为循环。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 命题 2, 推论 2, 推论 3

被以下引用 注, I § 7

每个单生群都是可交换的（no. 3，推论 2 到命题 2）。单源群的每个商群都是单源的（no. 3，推论3到命题2）。

加法群 Z\mathbf{Z} 是单生的：它是由 {1}\{1\} 生成的。对于每个正整数 aa，群 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z} 都是单生的，因为它是 Z\mathbf{Z} 的商。

命题 18 05A0

阶 a 的有限单生群与 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z} 同构的。无限单生群同构于 Z\mathbf{Z}。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 I § 1. 。 律合成； 结合性； 交换律, 命题 17, 定理 3

被以下引用 命题 19, 例, II § 1

设G是单生群（乘法写）和G的x生成元。恒等式xmxn=xm+nx^m x^n = x^{m+n}（§ 1, no. 3，公式（1））表明映射n↦xnn \mapsto x^n是Z\mathbf{Z}的同态进入G。 像是 G 包含于 x 的子群，因此它是 G。通过 no. 5，定理 3，群 G 同构于 Z\mathbf{Z} 除以子群的商，这必然是形式aZa\mathbf{Z}（命题17）。如果 a>0a > 0，群 G 是阶 a 的有限，并且如果 a=0a = 0，群 G 与 Z\mathbf{Z} 同构的。

命题 19 05A1

设a为整数 > 0。设H为Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}中的子群，b为H中的阶，c为Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}中的指标。那么a=bca = bc，H=cZ/aZH = c\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}和H同构于Z/bZ\mathbf{Z}/b\mathbf{Z}。

引用了 5 · 被以下引用 3

引用了 Corollary, 推论, 命题 17, 命题 18, 定理 4

被以下引用 引理 2, 命题 20, 命题 7, V § 11

相反，令 b 和 c 为两个整数 > 0，使得 a=bca = bc。那么aZ⊂cZa\mathbf{Z} \subset c\mathbf{Z}和cZ/aZc\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}就是Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}、阶b和指标c的子群。

a=bca = bc乘no. 4，推论命题4。到no. 7、定理4，H为形式H′/aZH'/a\mathbf{Z}，其中H′H'为Z\mathbf{Z}的子群，Z/H′\mathbf{Z}/H'为与 (Z/aZ)/H(\mathbf{Z}/a\mathbf{Z})/H 同构的，因此与阶同构 c.根据命题 17 和命题 16 的推论，H′=cZH' = c\mathbf{Z} 因此 H 是单生的。最后，H 同构于 Z/bZ\mathbf{Z}/b\mathbf{Z} 命题 18。相反，如果 a=bca = bc，则 aZ⊂cZa\mathbf{Z} \subset c\mathbf{Z} 对于 a∈cZa \in c\mathbf{Z}： 商群 (Z/aZ)/(cZ/aZ)(\mathbf{Z}/a\mathbf{Z})/(c\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}) 同构于 Z/cZ\mathbf{Z}/c\mathbf{Z} (no. 7, 定理) 4) 以及阶 c (no. 4，命题 4 的推论) 和指标 b (no. 4，命题 4 的推论)。

推论 05A2

单源群的每个子群都是单源的。

设a和b为两个整数≠0\neq 0。 关系 b∈aZb \in a\mathbf{Z} 也可写作：*b 是 a* 的倍数，也可写成 除 b 或 是 b 的除子。

定义 16 05A3

整数 p>0p > 0 称为素数，如果 p≠1p \neq 1 并且除了 p 之外不承认除子 > 1。

被以下引用 2

被以下引用 例, I § 8, 定义 5, VI § 1

命题 20 05A4

整数p>0p > 0是质数当且仅当群Z/pZ\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}是一个简单的群。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 19

被以下引用 引理 2

这是从命题 19 开始的。

推论 05A5

每个可交换简单群都是素数阶的循环。

被以下引用 1

被以下引用 命题 12, I § 6

令G为群。然后G≠{e}G \neq \{e\}；设 a≠ea \neq e 为 G 的元素。 由 a 生成的子群是正规的，因为 G 是可交换的，它不会减少到 {e}\{e\}，因此等于 G。因此 G 是单生的，因此与形式 Z/pZ\mathbf{Z}/p\mathbf{Z} 的群同构p>0p > 0，因为Z\mathbf{Z}不简单，pp必然是素数。

注 05A6

素数阶的有限群G必然是循环的。 G 除了 G 和 {e}\{e\} 之外不承认任何子群，因此它是由每个元素 ≠e\neq e 生成的。

引理 2 05A7

设aa为整数>0> 0。通过与群Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}序列(si)1≤i≤n(s_i)_{1 \leq i \leq n}的每个合成列(Hi)0≤i≤n(\mathbf{H}_i)_{0 \leq i \leq n}关联，其中sis_i是Hi−1/Hi\mathbf{H}_{i-1}/\mathbf{H}_i的阶，在以下之间获得一对一的对应 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}的合成列和整数>0> 0的有限序列(si)(s_i)使得a=s1…sna = s_1 \ldots s_n。当且仅当 sis_i 是质数时，合成列 (Hi)0≤i≤n(\mathbf{H}_i)_{0 \leq i \leq n} 是 Jordan-Hölder 级数。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了 命题 4, 命题 19, 命题 20

被以下引用 定理 7（分解进入素数因子）

如果(Hi)0≤i≤n(\mathbf{H}_i)_{0 \leq i \leq n}是Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}中的合成列，则从no. 4、命题4到nn上的归纳，得出a=∏i=1n(Hi−1:Hi)a = \prod_{i=1}^n (\mathbf{H}_{i-1} : \mathbf{H}_i)。

相反，令(si)1≤i≤n(s_i)_{1 \leq i \leq n}为整数>0> 0的序列，使得a=s1…sna = s_1 \ldots s_n。如果(Hi)0≤i≤n(\mathbf{H}_i)_{0 \leq i \leq n}是Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}的合成列，使得(Hi−1:Hi)=si(\mathbf{H}_{i-1} : \mathbf{H}_i) = s_i对应于1≤i≤n1 \leq i \leq n，那么必然是((Z/aZ):Hi)=∏1≤j≤isj((\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}) : \mathbf{H}_i) = \prod_{1 \leq j \leq i} s_j，正如归纳在ii、从而Hi=(∏j=1isj)Z/aZ\mathbf{H}_i = \left( \prod_{j=1}^i s_j \right) \mathbf{Z}/a\mathbf{Z}上看到的那样(命题 19)，它显示了所讨论的映射的单射性。我们现在展示它的满射性。将0≤i≤n0 \leq i \leq n写入Hi=(∏j=1isj)Z/aZ\mathbf{H}_i = \left( \prod_{j=1}^i s_j \right) \mathbf{Z}/a\mathbf{Z}，可得到Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}的合成列，使得(Hi−1:Hi)=si(\mathbf{H}_{i-1} : \mathbf{H}_i) = s_i（命题19）。第二个断言源自命题20和no. 7、命题9。

让P\mathfrak{P}表示素数数的集合。

定理 7（分解进入素数因子） 05A8

令aa严格为正整数。 整数 >0> 0 存在且仅有一个族 (vp(a))p∈P(v_p(a))_{p \in \mathfrak{P}}，使得 p∈Pp \in \mathfrak{P} 与 vp(a)≠0v_p(a) \neq 0 的集合是有限的并且

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 引理 2, 定理 6（乔丹-霍尔德）

被以下引用 注, I § 7, 习题 1, § 9

a=∏p∈Ppvp(a). a = \prod_{p \in \mathfrak{P}} p^{v_p(a)}.

由于群 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z} 是有限的，因此它承认 Jordan-Hölder 级数。 引理 2 那么意味着aa 是素数整数的乘积，从而族(vp(a))(v_p(a)) 的存在；此外，对于定理 7 的每个家庭(vp(a))p∈P(v_p(a))_{p \in \mathfrak{P}} 满足条件，对于所有p∈Pp \in \mathfrak{P}，整数 vp(a)v_p(a) 等于 Jordan-Hölder 级数的因子数 Z/aZ\mathbf{Z}/a\mathbf{Z} 同构于 Z/pZ\mathbf{Z}/p\mathbf{Z} (引理 2)。因此，家族(vp(a))(v_p(a))的唯一性源自Jordan-Hölder定理（no. 7，定理6）。

推论 05A9

令aa和bb为两个整数>0> 0。然后vp(ab)=vp(a)+vp(b)v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b)。对于 aa 到除 bb，对于每个素数数 pp，vp(a)≤vp(b)v_p(a) \leq v_p(b) 是充分必要的。

引用了 1

引用了 命题 4

在任意群GG中，如果元素x∈Gx \in G生成的（单生）子群是有限的阶dd，则xx称为*阶*的元素 dd；因此，数dd是最小的整数>0> 0使得xd=ex^d = e；如果xx生成的子群是无限的，则xx被称为*无限阶*。这些定义与命题 4 (no. 4)一起，特别意味着在有限群G中，G的每个元素中的阶是G的阶中的除子。

命题 21 05AA

在阶 n 的有限群 G 中，xn=ex^n = e 对于所有 x∈Gx \in G。

如果pp是xx的阶，则n=pqn = pq，qq整数，因此xn=(xp)q=ex^n = (x^p)^q = e。

习题

参见习题为 § 4。

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