Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

2. 态射和导出结构

1. 态射

在这个截面和下一个截面中，为了简单起见，我们将假设所考虑的结构种只有一个基集合（因此它是一个主体基集合）。读者可以毫无困难地将定义和结果扩展到一般情况。

令Σ\Sigma为比T\mathscr{T}强于集合论的理论中的结构种，并令xx、yy、ss、tt为与T\mathscr{T}常数不同的四个不同字母。我们记得记号F(x,y)\mathfrak{F}(x,y)表示xx的映射到yy的集合（章II, § 5, no. 2）。假设我们在 T\mathscr{T} 中得到项 σ{x,y,s,t}\sigma\{x,y,s,t\} ，它满足以下条件 ：

(MOI)(\mathrm{MO}_{\mathrm{I}}) 关系“ss是xx上类Σ\Sigma的结构，tt是yy上类Σ\Sigma的结构”在 E 中意味着关系 σ{x,y,s,t}⊂F(x,y)\sigma\{x,y,s,t\}\subset\mathfrak{F}(x,y)。

(MOII)(\mathrm{MO}_{\mathrm{II}}) 如果理论上T′\mathscr{T}'强于T\mathscr{T}，我们有三个集合 E，E′，E″，分别赋予结构，S\mathscr{S}，S′\mathscr{S}'，S′′\mathscr{S}''，类Σ\Sigma，那么关系f∈σ{E,E′,S,S′}f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}和g∈σ{E′,E′′,S′,S′′}g\in\sigma\{E',E'',\mathscr{S}',\mathscr{S}''\}意味着关系

g∘f∈σ{E,E′′,S,S′′}. g\circ f\in\sigma\{E,E'',\mathscr{S},\mathscr{S}''\}.

(MOIII)(\mathrm{MO}_{\mathrm{III}}) 如果理论上T′\mathscr{T}'强于T\mathscr{T}，我们有两个集合E，E′分别赋予结构S\mathscr{S}，S′\mathscr{S}'或类Σ\Sigma，则双射 E 到 E′ 的 ff 为同构当且仅当 f∈σ{E,E′,S,S′}f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\} 和 f−1∈σ{E′,E,S′,S}f^{-1}\in\sigma\{E',E,\mathscr{S}',\mathscr{S}\}。

如果给定Σ\Sigma和σ\sigma，关系f∈σ{x,y,s,t}f\in\sigma\{x,y,s,t\}可以用说表示，ff是xx的*态射*（或σ\sigma-*态射*），赋予ss，转化为yy，赋予tt。如果（理论上T′\mathscr{T}'强于T\mathscr{T}）E和E′是两个集合，并赋予类Σ\Sigma的结构S,S′\mathscr{S},\mathscr{S}'，则项σ{E,E′,S,S′}\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}是集合的*集合 σ\sigma-E 到 E′ 的态射。*

例

例 1 03VL

取Σ\Sigma为序结构中的类，并让σ{x,y,s,t}\sigma\{x,y,s,t\}表示xx的所有映射ff到yy的集合，这样关系(u,v)∈s(u,v)\in s意味着(f(u),f(v))∈t(f(u),f(v))\in t。当记号为章III, § 1时，这意味着u⩽vu \leqslant v蕴含f(u)⩽f(v)f(u) \leqslant f(v)，即ff是*递增*。公理(MOI)(\mathrm{MO_I})、(MOII)(\mathrm{MO_{II}})、(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})的验证是显而易见的。

引用了 1

引用了 III § 1. 序关系。 有序集

例 2 03VM

将 Σ\Sigma 视为代数结构的类，它具有合成的单个（内部）律，在任何地方都有定义（§1, no. 4，例 2）。设A、A′'为赋予类Σ\Sigma的结构的两个集合，并令pp、p′p'为这两个结构的合成律。考虑将 A 的映射 ff 转换为 A′'，使得 p′(f(x),f(y))=f(p(x, y))p'(f(x), f(y)) = f(p(x,\ y)) 对于所有 x∈Ax \in \mathrm{A} 和所有 y∈Ay \in \mathrm{A}。这些映射满足(MOI)(\mathrm{MO_I})、(MOII)(\mathrm{MO_{II}})和(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})，被称为A到A′'的*同态*。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 例 2, IV § 1

被以下引用 例 2

例 3 03VN

取Σ\Sigma为拓扑结构的类（§1, no. 4，例3）。设A、A′'为两个集合，分别赋予拓扑V、V′'。考虑将 A 的映射 ff 转换为 A′'，使得关系 X′∈V′\mathrm{X}' \in \mathrm{V}' 蕴含 f−1(X′)∈V\overset{-1}{f}(\mathrm{X}') \in \mathrm{V}（在其他字中，使得拓扑中每个开路集合的逆像 V′'是拓扑V中的开放集合）。这些映射，其中满足(MOI)(\mathrm{MO_I})、(MOII)(\mathrm{MO_{II}})和(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})，是A到A′'的*连续*映射（相对于拓扑V和V′'） （cf. 一般拓扑、章I, § 2）。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 例 3, IV § 1, TG I § 2. 连续函数

被以下引用 注, 例 3

注 03VO

对于给定的结构种Σ\Sigma，我们可能有机会定义各种项σ}x, y, s, t{\sigma \} x,\ y,\ s,\ t \{，其中满足条件(MOI)(\mathrm{MO_I})、(MOII)(\mathrm{MO_{II}})和(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})。对于例，如果Σ\Sigma是拓扑结构的类，并且上面的例3的记号，则A到A′'的映射ff被称为“开”，如果关系X∈V\mathrm{X} \in \mathrm{V}暗示f(X)∈V′f(\mathrm{X}) \in \mathrm{V}'（在其他字中，如果每个开集合的ff下的像都是开集合）。很容易检查到，类Σ\Sigma的开放映射还有满足条件(MOI)(\mathrm{MO_I})、(MOII)(\mathrm{MO_{II}})和(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})。 \* 而且，可以证明连续的映射不一定是开的，开的映射也不一定是连续的。 \* 因此，给定的结构种 并不意味着 明确定义的概念为态射。

☡

当涉及序结构、代数结构和拓扑结构时，始终应理解态射是上面例中定义的那些，除非明确说明相反。

条件 (MOIII)(\mathrm{MO_{III}}) 和双射的刻画（章 II, § 3, no. 8，命题 8 的推论）意味着以下标准：

CST8。 设E，E′' 为两个集合，每个结构或类Σ\Sigma。设ff是 E 到 E′' 的σ\sigma态射，并让gg是 E′' 到 E的σ\sigma态射。 如果g∘fg \circ f是 E 自身的恒等映射，并且如果f∘gf \circ g是 E′' 的恒等映射到其自身，则ff是 E 到 E′'的同构，*并且gg是逆同构。

应该注意的是，E 到 E′' 的双射可能是 σ\sigma 态射，而逆双射不一定是 σ\sigma 态射。 \* 对于例，拓扑空间 A 到拓扑空间 A′' 的双射映射可以连续，而逆双射不连续（*一般拓扑*、章 I, § 2, no. 1， 注1)。 \

☡

引用了 3

引用了 例 3, 推论, II § 3, 注 1, TG I § 2

注 03VP

当结构种Σ\Sigma有多个主基集合x1,…,xnx_1, \ldots, x_n和辅助基集合A1,…,Am\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m时，σ\sigma态射为系统(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)，其中fif_i 是 xix_i 的映射变成 yiy_i (1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)，这些映射满足条件的系统类似于 (MOII)(\mathrm{MO_{II}}) 和 (MOIII)(\mathrm{MO_{III}})，读者可以很容易地指出他自己。

2. 更细结构

对于这个截面的其余部分，我们假设我们得到了相对于这个结构种的σ\sigma态射的结构种、Σ\Sigma和概念； 将引入的所有概念不仅取决于Σ\Sigma，还取决于所设想的σ\sigma态射的概念。通常我们会说“态射”来代替“σ\sigma-态射”。

¶ 设 E 为集合，并令 S1\mathscr{S}_1、S2\mathscr{S}_2 为 E 上类 Σ\Sigma 的两个结构。 结构 S1\mathscr{S}_1 据说是 更细 比 S2\mathscr{S}_2 （并且S2\mathscr{S}_2*比S1\mathscr{S}_1更粗糙*）如果赋予S1\mathscr{S}_1的E的恒等映射到赋予S2\mathscr{S}_2的E上，则为态射。

当有必要避免歧义时，我们会说S1\mathscr{S}_1比S2\mathscr{S}_2是更细*相对于所考虑的σ\sigma态射的概念*；对于在此截面中定义的所有其他概念也类似。

假设 S1\mathscr{S}_1 比 S2\mathscr{S}_2 更细。如果E′'是赋予类Σ\Sigma的结构S′\mathscr{S}'的集合，并且如果ff是赋予S2\mathscr{S}_2的E的态射，转化为赋予S′\mathscr{S}'的E′'，则ff也是E的态射，赋予S1\mathscr{S}_1，变成E′'，赋予S′\mathscr{S}'；这是从前面的定义和(MOII)(\mathrm{MO_{II}})得出的。同样，如果 gg 是 E′' 的态射，赋有 S′\mathscr{S}'，转入 E，赋有 S1\mathscr{S}_1，则 gg 也是 E′' 的态射，赋有 S′\mathscr{S}'，转入 E，赋有S2\mathscr{S}_2。

因此，E 上的 更细 结构（类 Σ\Sigma）、以 E 作为源的 更多 态射，以及以 E 作为目标的 更少 态射。

关系“S1\mathscr{S}_1比S2\mathscr{S}_2粗糙”是E上类Σ\Sigma的所有结构的集合上S1\mathscr{S}_1和S2\mathscr{S}_2之间的*序关系*；因为它通过(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})自反，通过(MOII)(\mathrm{MO_{II}})传递，并且如果类Σ\Sigma的结构既是更细又比另一个粗糙，那么两个结构由于(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})而相同。与一般的定义 (章 III, § 1, no. 14) 一致，E 上的类 Σ\Sigma 中的两个结构被称为“可比较”，如果一个比另一个更细 ；如果结构比另一个更细*（或*更粗糙*）并且与其不同，则称结构*严格更细*（或*严格更粗糙*）于另一个。

例

例 1 03VQ

An order structure with graph ss on a set A is finer than an order structure with graph s′s' if and only if s⊂s′s \subset s'. 在其他字中，关系x⩽yx \leqslant y相对于ss意味着x⩽yx \leqslant y相对于s′s'；这与章 III, § 1, no. 4、例 3 中给出的定义一致。

引用了 1

引用了 例 3, III § 1

例 2 03VR

考虑集合 A 上相同类 Σ\Sigma 的两个代数结构 F、F'，其中 F 和 F' 是这两个结构的合成的（到处定义的）律的图。在这种情况下，从态射的定义（no. 1，例2），F是更细比F'当且仅当F⊂F′F \subset F'。但由于 F 和 F' 都是具有相同域 A×AA \times A 的函数图，因此我们必须有 F=F′F = F'。在其他字中，类Σ\Sigma中的两个*可比较*结构必然*相同*。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 例 2

被以下引用 注

例 3 03VS

令 V、V' 为同一集合 A 上的两个拓扑。说 V 比 V' 更细意味着，在这种情况下 (no. 1, 例 3)，凭借态射的定义， V′⊂VV' \subset V；在其他字中，A的每个子集在拓扑V'中是开集合，也是拓扑V中的开集合（因此，更细拓扑，越开集合有）。

引用了 1

引用了 例 3

注 03VT

我们刚刚遇到了例 (例 2)，其中相同类 Σ\Sigma 的两个可比较的结构必然是相同的。还有许多其他这样的例：线性序结构，\*紧凑拓扑，Fréchet空间结构（态射是连续的线性映射），由除法环上的绝对值（或评估）定义的拓扑，等等。\

对于这样的结构种Σ\Sigma，E到E'的态射ff是*双射的*，是一个*同构*；因为如果我们通过 ff 将迁移转换为 E' 结构 S\mathscr{S}，我们就得到类 Σ\Sigma 的结构，即更细比 E' 上的结构 S′\mathscr{S}' ，因此重合与 S′\mathscr{S}'。

引用了 1

引用了 例 2

3. Initial structures

考虑一个(Aι)ι∈I(A_\iota)_{\iota \in I}集合的家庭，每个家庭都被赋予结构Sι\mathscr{S}_\iota类Σ\Sigma。令 E 为集合，对于每个 ι∈I\iota \in I，令 fιf_\iota 为映射 of E 进入 AιA_\iota。 E 上类 Σ\Sigma 的结构 S\mathscr{S} 被认为是*关于家庭的首字母结构* (Aι,Sι,fι)ι∈I(A_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in I}，如果它具有以下性质 ：

(IN) 给定任何集合 E'、E' 上类 S′\mathscr{S}' 的任何结构，以及任何映射 gg of E' 进入 E，关系

“gg 是 E' 的态射到 E”

等于 关系

“对于每个ι∈I,fι∘g\iota \in I, f_\iota \circ g，E'的态射进入AιA_\iota”。

CST9。 如果在 E 上存在一个相对于族 (Aι, Sι, fι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota,\ \mathscr{S}_\iota,\ f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}的初始结构，*它是类* Σ\Sigma 在 E 上的所有结构中最粗糙的，其中映射 fιf_\iota 中的每个态射，因此是独特的。

令I\mathscr{I}为E上的初始结构，并令S\mathscr{S}为E上类Σ\Sigma的结构，其中每个fιf_\iota为态射。如果ii表示E的恒等映射，赋有S\mathscr{S}，代入E，赋有I\mathscr{I}，那么对于所有ι∈I\iota \in \mathrm{I}，fι∘if_\iota \circ i是态射，条件（IN）表明ii是态射，这意味着（no. 2）S\mathscr{S}比I\mathscr{I}*更细*。另一方面，应用（IN）对于gg是E（赋予I\mathscr{I}）的恒等映射到其自身的情况，我们看到（通过(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})）每个fιf_\iota都是E的态射到Aι\mathrm{A}_\iota，这完成证明。

可能会发生 E 上存在类 Σ\Sigma 的结构，它是类 Σ\Sigma 的所有结构中最粗糙的，其中 fιf_\iota 是态射，但是这个结构不是初始的结构相对于 (Aι,Sι,fι)(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota) (习题 6)。

我们有以下*传递性标准*：

CST10。 设E*为集合，让*(Aι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*为集合的一个家庭，并且对于每个*ι∈I\iota \in \mathrm{I}*让*Sι\mathscr{S}_\iota*为类*Σ\Sigma*上的结构*Aι\mathrm{A}_\iota。 让(Jλ)λ∈L(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}*成为*I的划分，*并让*(Bλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}*成为由*L索引的集合族。 对于每个 λ∈L\lambda \in \mathrm{L} 让 hλh_\lambda 成为映射 of E 进入 Bλ\mathrm{B}_\lambda，*并且对于每个* λ∈L\lambda \in \mathrm{L} 和每个 ι∈Jλ\iota \in \mathrm{J}_\lambda 让 gλιg_{\lambda\iota} 成为映射 of Bλ\mathrm{B}_\lambda 进入Aι\mathrm{A}_\iota，*并让*fι=gλι∘hλf_\iota = g_{\lambda\iota} \circ h_\lambda。 假设，对于每个λ∈L\lambda \in \mathrm{L}，*存在一个初始结构*Sλ′\mathscr{S}'_\lambda*在*Bλ\mathrm{B}_\lambda*相对于家庭*(Aι,Sι,gλι)ι∈Jλ(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_{\lambda\iota})_{\iota \in \mathrm{J}_\lambda}。 那么以下叙述是等价的：

(a) 对于家庭 (Aι,Sι,fι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 在 E 上存在初始结构 I\mathscr{I}；

(b) 对于家庭 (Bλ,Sλ′,hλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}} 在 E 上存在初始结构 I′\mathscr{I}'。

此外，这些叙述意味着I=I′\mathscr{I} = \mathscr{I}'。

设F为集合赋予类Σ\Sigma的结构，并令uu为F的映射入E。由定义关系观察“hλ∘uh_\lambda \circ u为F的态射入E” Bλ\mathrm{B}_\lambda”等价于关系“对于所有ι∈Jλ\iota \in \mathrm{J}_\lambda，gλι∘hλ∘u=fι∘ug_{\lambda\iota} \circ h_\lambda \circ u = f_\iota \circ u是F到Aι\mathrm{A}_\iota的态射”。 关系

(1) “对于所有 λ∈L\lambda \in \mathrm{L}，hλ∘uh_\lambda \circ u 是 F 的态射到 Bλ\mathrm{B}_\lambda”

因此相当于关系

(2) “对于所有 ι∈I\iota \in \mathrm{I}，fι∘uf_\iota \circ u 是 F 的态射到 Aι\mathrm{A}_\iota”。

现在，说I′\mathscr{I}'是(Bλ,Sλ′,hλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}族的首字母结构，意味着关系(1)等价于关系“uu是F到E的态射赋予I′\mathscr{I}'”；说I\mathscr{I}是(Ai, Si, fi)i∈I(A_i,\,\mathscr{S}_i,\,f_i)_{i\in I}族的首字母结构，意味着关系(2)等价于关系“uu是F到E的态射赋予Γ\Gamma”。因此，鉴于初始结构的唯一性的性质。

4. 例 / 初始结构

I。 结构的逆像。当I是单个元素的集合由……组成时，相对于(A, S, f)(A,\,\mathscr{S},\,f)的初始结构称为ff下的*逆像结构 S\mathscr{S}*（如果存在）。

\* 拓扑在任何映射 ff 下总是有逆像；但对于序结构或代数结构则并非如此。 \*

II。 归纳结构。 设A为集合，赋予类Σ\Sigma的结构S\mathscr{S}，设B为A的子集，设jj为B的典范嵌入到A中。然后结构 B（如果存在）的jj下的逆像称为B上S\mathscr{S}诱导的*结构。*

序结构诱导结构相同的类在定义它的集合的每个子集上；但结构或有向集合的情况并非如此。 \* 拓扑诱导拓扑在定义它的集合的每个子集上，但紧凑的拓扑通常不会诱导紧凑的拓扑。 集合 A 上的代数结构通常不会在任意子集 B 上有相同的类的诱导结构；如果 A 上给定的结构由合成的律组成，并且这些合成到处都有定义，那么 B 必须相对于这些律中的每一个保持稳定，但是这个必要的条件并不总是足够的。 \*

通用准则 CST10 为我们提供了以下用于诱导结构的 传递性准则：

CST11。 设B为A的子集，令C为B的子集，并令S\mathscr{S}为A上的类Σ\Sigma结构，其中诱导结构S′\mathscr{S}'与 B 上的类相同。那么类 Σ\Sigma 的 S\mathscr{S} 诱导结构在 C 当且仅当 S′\mathscr{S}' 诱导结构 C上的类Σ\Sigma，以及S\mathscr{S}和S′\mathscr{S}'在C上诱发的结构是相同的。

CST12。 设A、A'为具有类Σ\Sigma的结构S\mathscr{S}、S′\mathscr{S}'的两个集合。设 B 为 A 的子集，B' 为 A' 的子集。假设 B（或 B'）上有类 Σ\Sigma 的 S\mathscr{S}（或 S′\mathscr{S}'）诱导结构。如果ff是A到A'的态射，使得f(B)⊂B′f(B)\subset B'，则B到B'的映射，其中重合和B上的ff是态射（相对于由S\mathscr{S}诱导的结构和S′\mathscr{S}').

令jj（或j′j'）为B（或B'）到A（或A'）的典范嵌入。到定义，我们就有了f∘j=j′∘gf\circ j=j'\circ g。由于ff和jj是态射，所以f∘jf\circ j乘以(MOII_{\mathrm{II}})；但是，j′∘gj'\circ g是态射，映射gg是态射乘以初始结构的定义。

III。 乘积结构。令(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}为集合的一个族，并且在每个集合AiA_i上令Si\mathscr{S}_i为类Σ\Sigma的结构。令E=∏i∈IAiE=\prod_{i\in I}A_i为(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}族的*乘积*（章II, § 5），并令pr⁡i\operatorname{pr}_i表示EE到AiA_i的投影。相对于族(Ai,Si,pr⁡i)i∈I(A_i,\mathscr{S}_i,\operatorname{pr}_i)_{i\in I}的初始结构（如果存在）称为结构Si\mathscr{S}_i的*乘积*。

\* 一个拥有序结构的家庭总是承认乘积结构，但对于一个总序结构的家庭来说并不总是如此。 群结构的家庭总是承认乘积结构，但对于分裂的环结构家庭则不一定如此。拓扑族总是承认乘积结构，但对于局部紧凑空间的结构族来说并不总是如此；在这种情况下，如果族是*有限*，则存在相同的类的乘积结构，但如果族是*无限*，则不需要有一个（cf.*一般拓扑*，章I, § 9, no. 7，提案14）。 \*

标准 CST10 为乘积结构产生以下 结合性标准：

CST13。 令(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}为集合的一个族，对于每个指标i∈Ii\in I，令Si\mathscr{S}_i为AiA_i上类Σ\Sigma的结构。令 (Jλ)λ∈L(J_\lambda)_{\lambda\in L} 为 II 的划分。假设在每个部分乘积Bλ=∏i∈JλAiB_\lambda=\prod_{i\in J_\lambda}A_i，家庭(Si)i∈Jλ(\mathscr{S}_i)_{i\in J_\lambda}承认乘积结构Sλ′\mathscr{S}'_\lambda。那么，当且仅当家庭(Sλ′)λ∈L(\mathscr{S}'_\lambda)_{\lambda\in L}承认乘积结构S′\mathscr{S}'，以及E=∏i∈IAiE=\prod_{i\in I}A_i的典范映射时，(Si)i∈I(\mathscr{S}_i)_{i\in I}承认乘积结构S\mathscr{S}，赋予S\mathscr{S}，到F=∏λ∈LBλF=\prod_{\lambda\in L}B_\lambda，赋予S′\mathscr{S}'（章II, § 5, no. 5），则同构。

另一个 CST10 的应用给出了以下关于由乘积结构引起的结构的标准：

CST14。 令(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}为集合的一个族，对于每个i∈Ii\in I，令Si\mathscr{S}_i为AiA_i上类Σ\Sigma的结构。对于每个 i∈Ii\in I，令 BiB_i 为子集 / AiA_i。假设BiB_i上的每个Si\mathscr{S}_i诱导结构Si′\mathscr{S}'_i，并且在乘积E=∏i∈IAiE=\prod_{i\in I}A_i上存在结构S0\mathscr{S}_0，即家庭的乘积 (Si)(\mathscr{S}_i)。那么下面的叙述是等价的：

(a) 在集合B=∏i∈IBi⊂EB=\prod_{i\in I}B_i\subset E上，存在S0\mathscr{S}_0诱发的结构S\mathscr{S}；

(b) 在集合BB上存在结构S′\mathscr{S}'，它是结构(Si′)(\mathscr{S}'_i)家族的乘积。

此外，这些叙述意味着S=S′\mathscr{S}=\mathscr{S}'。

Let jιj_\iota be the canonical injection of Bι\mathrm{B}_\iota into Aι\mathrm{A}_\iota, let jj be the canonical injection of B into E, let pιp_\iota be the projection of E onto Aι\mathrm{A}_\iota, and let pι′p'_\iota be the projection of B onto Bι\mathrm{B}_\iota. 那么对于所有ι∈I\iota \in \mathrm{I}我们就有pι∘j=jι∘pι′p_\iota \circ j = j_\iota \circ p'_\iota。 到 CST10，S\mathscr{S} 是相对于族 (Aι,Sι,pι∘j)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, p_\iota \circ j)_{\iota \in \mathrm{I}} 的初始结构，S′\mathscr{S}' 是相对于族 (Aι,Sι,jι∘pι′)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, j_\iota \circ p'_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 的初始结构。 于是就有了这样的结果。

¶ 逆像和乘积的概念通过以下标准相关：

CST15。 令(Aι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为集合的族，对于每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}令Sι\mathscr{S}_\iota为Aι\mathrm{A}_\iota上类Σ\Sigma的结构，并令fιf_\iota为集合E的映射入Aι\mathrm{A}_\iota。假设在乘积集合A=∏ι∈JAι\mathrm{A} = \prod_{\iota \in \mathrm{J}} \mathrm{A}_\iota存在乘积结构S\mathscr{S}家庭(Sι)ι∈I(\mathscr{S}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}。那么存在相对于族(Aι,Sι,fι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}的初始结构当且仅当结构S\mathscr{S}在E到A的映射x→f(x)=(fι(x))x \to f(x) = (f_\iota(x))下有逆像，并且这两个结构是相同的。

从fι=prι∘ff_\iota = \mathrm{pr}_\iota \circ f开始，该标准是CST10的特例。

注 03VU

设(Sλ)λ∈L(\mathscr{S}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}是类Σ\Sigma在*相同*集合A上的结构家族；令Aλ\mathrm{A}_\lambda表示集合A赋予结构Sλ\mathscr{S}_\lambda，令Iλ\mathrm{I}_\lambda表示将A的恒等映射赋予Aλ\mathrm{A}_\lambda。设 B 为乘积集合 AL=∏λ∈LAλ\mathrm{A}^{\mathrm{L}} = \prod_{\lambda \in \mathrm{L}} \mathrm{A}_\lambda，并令 Δ\Delta 为该乘积 (章 II, § 5, no. 3) 的对角线。令 hh 为 A 到 Δ\Delta 的对角线映射，使得 h(x)h(x) 为元素 (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}，这样对于所有 λ∈L\lambda \in \mathrm{L} 都有 xλ=xx_\lambda = x。假设B上存在族(Sλ)(\mathscr{S}_\lambda)的乘积结构S′\mathscr{S}'。由于hh是单射的，标准CST 15表明，当且仅当由S′\mathscr{S}'在Δ\Delta上存在结构S′′\mathscr{S}''时，存在关于族(Aλ,Sλ,Iλ)λ∈L(\mathrm{A}_\lambda, \mathscr{S}_\lambda, \mathrm{I}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}的初始结构S\mathscr{S}；那么S′′\mathscr{S}''就与通过hh将S\mathscr{S}传输到Δ\Delta得到的结构相同。特别是，当所有结构Sλ\mathscr{S}_\lambda相同时，hh是A的*同构*（赋予这个结构）到Δ\Delta。

我们还有以下标准：

CST16。 *令(Aι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}、(Bι)ι∈I(\mathrm{B}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}为集合的两个族，由相同的集合索引。对于每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}，令Sι\mathscr{S}_\iota为Aι\mathrm{A}_\iota上类Σ\Sigma的结构，并令Sι′\mathscr{S}'_\iota为Bι\mathrm{B}_\iota上类Σ\Sigma的结构。假设A=∏ι∈IAι(resp. on B=∏ι∈IBι)\mathrm{A} = \prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{A}_\iota \left( \text{resp. on } \mathrm{B} = \prod_{\iota \in \mathrm{I}} \mathrm{B}_\iota \right)乘积结构S\mathscr{S}（S′\mathscr{S}'）上存在族(Sι)(\mathscr{S}_\iota)（(Sι′)(\mathscr{S}'_\iota)）。对于每个ι∈I\iota \in \mathrm{I}，令fιf_\iota为Aι\mathrm{A}_\iota到Bι\mathrm{B}_\iota的态射。那么映射 f=(fι)ι∈If = (f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 就是 A 到 B 的态射。

令pιp_\iota（或qιq_\iota）为A 到Aι\mathrm{A}_\iota 的投影（或B 到Bι\mathrm{B}_\iota）。那么我们就有qι∘f=fι∘pιq_\iota \circ f = f_\iota \circ p_\iota。由于fιf_\iota和pιp_\iota是态射（标准

CST9), fi∘pif_i \circ p_i 乘以 (MOΠ_\Pi) 为态射；因此 ff 等于 (IN) 态射。

引用了 1

引用了 II § 5. 集族的积

注 03VV

对于大多数常见的结构，CST16中给出的条件不仅是足够的，而且对于ff成为态射（cf.习题7）来说也是必要的。特别是在以下情况下（对于例，如果Σ\Sigma是序结构的类，\*或群结构的类，或者拓扑结构*的类等； cf. 习题 8) :

☡

¶ 存在一个族 (ai)i∈I(a_i)_{i\in I}，使得 ai∈Aia_i\in A_i 对于所有 i∈Ii\in I 并且这样，如果我们放置 ri(x)=(yλ)r_i(x)=(y_\lambda)，其中 yi=xiy_i=x_i 和 yλ=aλy_\lambda=a_\lambda 每当 λ≠i\lambda\ne i 时，映射 rir_i 中的每一个都是态射 AiA_i 变为AA。因为如果f=(fi)f=(f_i)是AA的态射到BB，我们可以将所有i∈Ii\in I写成fi=qi∘f∘rif_i=q_i\circ f\circ r_i，并且足够了（MOΠ_\Pi）。

¶ 注如果满足以下条件，则rir_i 为态射：

(a) 对于每个集合EE赋予类Σ\Sigma的结构，常数映射z↦aiz\mapsto a_i是EE的态射到AiA_i；即，对于每个x∈Ix\in I，px∘rip_x\circ r_i是AiA_i到AxA_x的态射，因为当x=ix=i时它是恒等映射，当x≠ix\ne i时它是常数映射z↦axz\mapsto a_x；通过乘积结构的定义，rir_i因此是AiA_i的态射到AA。

¶ The examples listed above satisfy not only (a), but also the following condition :

(b) 每集合 Ai′=Ai×∏x≠i{ax}A'_i=A_i\times\prod_{x\ne i}\{a_x\}、结构 I\mathscr{I} 诱导结构类 Σ\Sigma。

¶ 让pi′p'_i表示pip_i到Ai′A'_i中的限制。如果条件(a)和(b)都满足，则pi′p'_i是Ai′A'_i的同构到AiA_i。因为从pi′=pi∘jip'_i=p_i\circ j_i开始，其中jij_i是Ai′A'_i到AA的典范嵌入，pi′p'_i是态射乘以(MOΠ_\Pi)。我们还有ri=ji∘pi′−1r_i=j_i\circ {p'_i}^{-1}；因此，由于结构的定义，pi′−1{p'_i}^{-1}是AiA_i的态射变为Ai′A'_i。

最后，我们有以下标准，它在许多情况下表征态射 ：

CST17. — 令AA和BB为两个集合，赋予相同的类Σ\Sigma的结构SA\mathscr{S}_A、SB\mathscr{S}_B。假设在SA\mathscr{S}_A和SB\mathscr{S}_B的A×BA\times B、结构、SA×B\mathscr{S}_{A\times B}、乘积上存在。令ff为AA的映射到BB，令FF为其图，并令π\pi为AA的双射x↦(x,f(x))x\mapsto (x,f(x))到FF。那么，要使ff成为AA的态射进入BB，由SA×B\mathscr{S}_{A\times B}诱发的类Σ\Sigma的FF结构上存在充分必要，且当FF为有了这个结构，π\pi应该是AA的同构到FF。

为了证明充分性，令jj是FF到A×BA\times B的典范嵌入。我们可以写成f=pr⁡2∘j∘πf=\operatorname{pr}_2\circ j\circ\pi，那么ff就是三个态射中的假设合成。

¶ 为了证明必要性，令SF\mathscr{S}_{\mathbf{F}}为通过双射π\pi(§ 1, no. 5)将结构SA\mathscr{S}_{\mathbf{A}}传输到F得到的类Σ\Sigma中的结构。然后我们必须证明SF\mathscr{S}_{\mathbf{F}}是由SA×B\mathscr{S}_{\mathbf{A} \times \mathbf{B}}在F上诱导的。我们首先将注证明jj是F的态射转化为A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B}；因为j∘πj \circ \pi是A到A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B}的映射x→(x,f(x))x \to (x, f(x))，因此凭借ff上的假设和乘积结构的定义为态射；因此，通过结构SF\mathscr{S}_{\mathbf{F}}的定义，jj为态射。仍有待证明，如果 E 是集合赋予类 Σ\Sigma 的结构，并且如果 gg 是 E 到 F 的映射，使得 j∘gj \circ g 是 E 到 A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B} 的态射，则gg为态射；或者，等价地，g1=π−1∘gg_1 = \overset{-1}{\pi} \circ g是E到A的态射。但是从g1=pr1∘(j∘g)g_1 = \mathrm{pr}_1 \circ (j \circ g)开始，这是从乘积结构的假设和定义得出的。

引用了 3

引用了 习题 7, § 2, 习题 8, § 2, IV § 1. 结构和同构

5. 最终结构

考虑一个由集合(Aι)ι∈I(\mathbf{A}_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}组成的家庭，每个家庭都拥有结构Sι\mathscr{S}_\iota或类Σ\Sigma。令 E 为集合，对于每个 ι∈I\iota \in \mathbf{I} 令 gιg_\iota 为映射 of Aι\mathbf{A}_\iota 进入 E。 E 上类 Σ\Sigma 的结构 T\mathscr{T} 被认为是关于 E 上的 最终结构家庭 (Aι,Sι,gι)ι∈I(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}} 如果它具有以下性质 ：

(FI) 给定任何集合 E′、E 上类 Σ\Sigma 的任何结构 S′\mathscr{S}'，以及* E 到 E′ 中的任何映射 ff，关系

“f is a morphism of E into E”’\text{``}f \text{ is a morphism of E into E'''}

等于 关系

“for all ι∈I,f∘gι is a morphism of Aι into E”’.\text{``for all } \iota \in \mathbf{I}, f \circ g_\iota \text{ is a morphism of } \mathbf{A}_\iota \text{ into E'''}.

CST18。 如果 E 上存在最终的结构，相对于家庭 (Aι,Sι,gι)ι∈I(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)_{\iota \in \mathbf{I}}，*那么它是* E 上的类 Σ\Sigma 中最好的结构，其中每个映射 gιg_\iota 都是态射，因此是唯一的。

令T\mathscr{T}为E上的最终结构，并令S\mathscr{S}为E上类Σ\Sigma的结构，其中每个gιg_\iota为态射。如果ii表示赋予T\mathscr{T}的E的恒等映射到赋予S\mathscr{S}的E上，则对于每个ι∈I\iota \in \mathbf{I}，i∘gιi \circ g_\iota是态射。 条件 (FI) 然后显示 ii 是态射，这意味着 (no. 2) S\mathscr{S} 比 T\mathscr{T} 粗糙。 应用 (FI) 再次对于ff是E（赋予T\mathscr{T}）的恒等映射到其自身的情况，我们看到（使用(MOIII)(\mathrm{MO_{III}})）每个gιg_\iota是Aι\mathbf{A}_\iota的态射进入E。这就完成了证明。

可能会发生 E 上存在类 Σ\Sigma 的结构，这是 E 上所有类 Σ\Sigma 的结构中最好的，而 gιg_\iota 是态射，但是这个结构不是最终的结构相对于家庭(Aι,Sι,gι)(\mathbf{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, g_\iota)（习题6）。

我们有以下*传递性标准*：

CST19。 设E*为集合，让*(Aι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}*为集合的一个家庭，并且对于每个*ι∈I\iota \in \mathrm{I}*让*Sι\mathscr{S}_\iota*为类*Σ\Sigma*上的结构*Aι\mathrm{A}_\iota。 让(Jλ)λ∈L(\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}*成为*I的划分，*并让*(Bλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}*成为由*L索引的集合族。 对于每个λ∈L\lambda \in \mathrm{L}，*让*hλh_\lambda*成为*Bλ\mathrm{B}_\lambda的映射*进入*E； 对于每个λ∈L\lambda \in \mathrm{L}*和每个*ι∈Jλ\iota \in \mathrm{J}_\lambda，*让*gιλg_{\iota\lambda}*成为*Aι\mathrm{A}_\iota的映射*放入*Bλ\mathrm{B}_\lambda，*并放入*fι=hλ∘gιλf_\iota = h_\lambda \circ g_{\iota\lambda}。 假设，对于每个λ∈L\lambda \in \mathrm{L}，*存在一个最终的结构*Sλ′\mathscr{S}'_\lambda*在*Bλ\mathrm{B}_\lambda*相对于家庭*(Aι, Sι, gιλ)ι∈Jλ(\mathrm{A}_\iota,\ \mathscr{S}_\iota,\ g_{\iota\lambda})_{\iota \in \mathrm{J}_\lambda}。 那么以下叙述是等价的：

(a) 对于家庭 (Aι,Sι,fι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}} 在 E 上存在最终的结构 S\mathscr{S}。

(b) 对于家庭 (Bλ,Sλ′,hλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}} 在 E 上存在最终的结构 S′\mathscr{S}'。

此外，这些叙述意味着S=S′\mathscr{S} = \mathscr{S}'。

设F为集合赋予类Σ\Sigma结构，设uu为E的映射入F。由定义，关系》u∘hλu \circ h_\lambda为Bλ\mathrm{B}_\lambda态射入F”相当于关系

“对于所有 ι∈Jλ\iota \in \mathrm{J}_\lambda，u∘hλ∘gιλ=u∘fιu \circ h_\lambda \circ g_{\iota\lambda} = u \circ f_\iota 是 Aι\mathrm{A}_\iota 的态射进入 F”。

关系

(3) “对于所有 λ∈L\lambda \in \mathrm{L}，u∘hλu \circ h_\lambda 是 Bλ\mathrm{B}_\lambda 中的态射进入 F”

因此相当于关系

(4) “对于所有 ι∈I\iota \in \mathrm{I}，u∘fiu \circ f_i 是 Aι\mathrm{A}_\iota 中的态射进入 F”。

说S′\mathscr{S}'对于(Bλ,Sλ′,hλ)λ∈L(\mathrm{B}_\lambda, \mathscr{S}'_\lambda, h_\lambda)_{\lambda \in \mathrm{L}}来说是最终的结构，意味着关系(3)相当于关系“uu是E（赋予S′\mathscr{S}'）到F的态射”；并说E是关于家庭(Aι,Sι,fι)ι∈I(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}的最终结构意味着关系（4）相当于关系“uu是E（赋予S\mathscr{S}）到F的态射”；因此，鉴于最终结构的唯一性中的性质。

6. 决赛例结构

I。 结构的直接像。当I是单个元素的集合由……组成时，相对于(A,S,f)(\mathrm{A}, \mathscr{S}, f)的最终结构称为*ff*下的*直接像结构* S\mathscr{S}（当存在时）。

II。 商结构。 设A为集合，赋予类Σ\Sigma的结构S\mathscr{S}，令R为A上的等价关系，并令φ\varphi为A在商集上的典范映射 E=A/R\mathrm{E} = \mathrm{A}/\mathrm{R}（章II, § 6, no. 2）。 映射 φ\varphi 下结构 S\mathscr{S} 的直接像被称为（当存在时）结构 S\mathscr{S} 除以关系 R 的*商*。

\* 一般来说，序结构或代数结构不承认任意等价关系的商结构（cf.章III, § 1，习题2）。另一方面，拓扑总是承认任意等价关系的商结构，但对于 Hausdorff 拓扑则不一定如此。 \*

设A、B为分别赋予类Σ\Sigma的结构、S\mathscr{S}、S′\mathscr{S}'的两个集合，设ff为A到B的态射。 令R为等价关系f(x)=f(y)f(x) = f(y)，令φ\varphi为A到A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的典范映射，令jj为f(A)f(\mathrm{A})到B的典范嵌入。 假设S\mathscr{S}承认关于R的商结构S0\mathscr{S}_0，并且S′\mathscr{S}'诱导结构S0′\mathscr{S}'_0关于f(A)f(\mathrm{A})。 那么，在ff（章II, § 6, no. 5）的*规范分解* f=j∘g∘φf = j \circ g \circ \varphi中，A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的双射gg到与ff相关联的f(A)f(\mathrm{A})是一个*态射*（但不是必然是同构），当A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}被赋予S0\mathscr{S}_0并且f(A)f(\mathrm{A})被赋予S0′\mathscr{S}'_0时。 因为j∘gj \circ g是A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的态射通过商结构的定义进入B，因此gg是A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的态射通过诱导的结构的定义进入f(A)f(\mathrm{A})。

CST20。 设 A、A′ 为两个集合，赋予类 Σ\Sigma*的结构* S\mathscr{S}、S′\mathscr{S}'，*并让* R (分别 R′) 在 A (分别 A′) 上为等价关系。 假设存在一个商结构 S0\mathscr{S}_0 (resp. S0′\mathscr{S}'_0) of S\mathscr{S} by R (resp. S′\mathscr{S}' by R′)。 如果 ff 是 A 到 A′ 的态射，与等价关系 R 和 R′相容的，*且如果* gg 是从 ff 通过经过商获得的映射，则 gg 是A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的态射*到*A′/R′\mathrm{A}'/\mathrm{R}'。

令φ\varphi（或φ′\varphi'）为A到A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}的典范映射（或A′到A′/R′\mathrm{A}'/\mathrm{R}'的典范映射）；那么我们就有g∘φ=φ′∘fg \circ \varphi = \varphi' \circ f。由于φ′\varphi'和ff是态射，所以φ′∘f\varphi' \circ f乘以(MOII\mathrm{MO_{II}})。但是，g∘φg \circ \varphi 是态射，gg 也是态射定义商结构。

¶ 传递性标准 CST19 特别产生以下标准：

CST21。 设 A 为集合，赋予结构 S\mathscr{S} of 类 Σ\Sigma，*并令* R 为等价关系在 A 上，使得存在于 A/R\mathrm{A}/\mathrm{R} 商结构 S′\mathscr{S}' 的 S\mathscr{S}*乘*R。*设*S*在*A*上等价关系，比*R更粗糙，*并且让*S/R\mathrm{S}/\mathrm{R}*表示等价关系在*A/R\mathrm{A}/\mathrm{R}*上，这是*S*除以*R的商（章II, § 6, no. 7）。 则存在于 (A/R)/(S/R)(\mathrm{A}/\mathrm{R})/(\mathrm{S}/\mathrm{R}) 商结构 S′′\mathscr{S}'' of S′\mathscr{S}' by S/R\mathrm{S}/\mathrm{R} 当且仅当存在于 A/S\mathrm{A}/\mathrm{S} 商结构 S0\mathscr{S}_0 of S\mathscr{S} by S， 和 A/S\mathrm{A}/\mathrm{S}的典范映射（*赋予* S0\mathscr{S}_0）*到* (A/R)/(S/R)(\mathrm{A}/\mathrm{R})/(\mathrm{S}/\mathrm{R})（*赋予* S′′\mathscr{S}''）*是同构。*

Let φ\varphi be the canonical mapping of A onto A/RA/R, and let ψ\psi be that of A/RA/R onto (A/R)/(S/R)(A/R)/(S/R). 根据 CST19，当且仅当 S′′\mathscr{S}'' 是关于 (A,S,ψ∘φ)(A,\mathscr{S},\psi\circ\varphi) 的最终结构时，S′′\mathscr{S}'' 是 S′\mathscr{S}' 除以 S/RS/R 的商。 该标准是根据关系 ψ(φ(x))=ψ(φ(y))\psi(\varphi(x))=\psi(\varphi(y)) 等价于 S 的事实得出的。

注 03VW

令A为集合赋予类Σ\Sigma的结构S\mathscr{S}，并令R为A上的等价关系，使得E=A/RE=A/R上存在R与S\mathscr{S}的商结构S′\mathscr{S}'。令φ\varphi是A到E的典范映射。一般来说，不存在φ\varphi(章II, § 3, no. 8)的*截面*ss，即E到A的*态射*。让我们假设这样的截面ss存在，并且而且s(E)s(E)上存在由S\mathscr{S}诱发的结构S′′\mathscr{S}''。然后，如果 jj 表示 s(E)s(E) 的典范嵌入到 A 中，并且如果 s=j∘fs=j\circ f，则双射 ff 是 E 到 s(E)s(E) 的 同构。因为ff是由结构的定义诱导的态射，并且由于(MOII_{\mathrm{II}})，g=φ∘jg=\varphi\circ j是s(E)s(E)的态射到E上。由于g∘fg\circ f和f∘gf\circ g分别是E和s(E)s(E)的恒等映射，因此断言是CST8的推论。

引用了 1

引用了 II § 3. Correspondences

习题

参见习题为 § 2。

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