令$V'$为$X'$中$f(x)$的邻域。由于$f$在$x$连续，因此$\overline{f}^{-1}(V')$是$X$中$x$的邻域。因此$\overline{f}^{-1}(V')$满足$A$，由此得出$V'$满足$f(A)$，因此$f(x)$属于$f(A)$的闭包。

令$V''$为$X''$中$h(x) = g(f(x))$的邻域。由于$g$在$f(x)$连续，因此$\overline{g}^{-1}(V'')$是$X'$中$f(x)$的邻域。但$f$在$x$连续，因此$\overline{f}^{-1}(\overline{g}^{-1}(V'')) = \overline{h}^{-1}(V'')$是$X$中$x$的邻域，因此$h$在$x$连续。

a) $f$ 在$X$ 中连续。

b) 对于$X$中的每子集$A$，$f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$。

c) $X'$的每个闭子集的$f$下的逆像是$X$的闭子集。

d) $X'$的每个开子集的$f$下的逆像是$X$的开子集。

我们已经看到 a) 蕴涵 b) (命题 1)。为了证明 b) 蕴含 c)，令 $F'$ 为 $X'$ 的闭子集，并令 $F = \overline{f^{-1}(F')}$；然后假设$f(\overline{F}) \subset \overline{f(F)} \subset \overline{F'} = F'$，因此$\overline{F} \subset \overline{f^{-1}(F')} = F \subset \overline{F}$，从而$F = \overline{F}$和$F$是闭合的。凭借关系$\overline{f^{-1}(A')} = \overline{f^{-1}(CA')}$对于$X'$的每一个子集$A'$，c）意味着d）。最后，假设d)得到满足。令$x$为$X$中的任意点，并令$V'$为$X'$中$f(x)$的任意邻域；那么$X'$中有一个开集合$A'$，其中

因此$x \in \overline{f^{-1}(A')} \subset \overline{f^{-1}(V')}$。到假设，$\overline{f^{-1}(A')}$在$X$开放，因此$\overline{f^{-1}(V')}$是$X$中$x$的邻域。因此 d) 意味着 a)。

2) 为了使拓扑空间$X$到拓扑空间$X'$的双射$f$成为同胚，$f$和$f$的逆是连续的（或者，也可以说，$f$是双连续）。

第一个断言是命题2的直接的推论；第二个来自同胚 (§ 1, no. 1) 的定理 1, d) 和定义。

令$\mathscr{D}$为集合属于到$\mathfrak{B}$的所有并中的集合；显然$\mathscr{D}$满足公理$(O_1)$，因为并的形成是结合的；并且$\mathscr{D}$由于$\mathfrak{B}$的定义以及有限交在任意并上可分配的事实而满足公理$(O_{II})$[集合理论，R § 4，公式(37)]。因此，对于拓扑$\mathfrak{T}$，集合$\mathscr{D}$是$X$的开子集的集合，其中$\mathfrak{B}$是基。我们将证明命题的最后一个断言，这通过初始结构的一般性质隐含了其他的（集合理论，章IV, § 2, no. 3，标准CST 9）。首先，$\mathscr{S}$的定义表明$f_i$在$X$上连续（no. 1，定理1）；因此，如果 $g$ 在 $z$ 连续，则映射 $f_i \circ g$ (no. 1, 命题 2) 也连续。反之，假设所有映射$f_i \circ g$在$z$处连续，并令$V$为$X$中$g(z)$的邻域；到定义，$I$有有限子集$J$，并且对于每个$i \in J$，$Y_i$有一个开放的子集$U_i$，使得$V$包含集合 $\bigcap_{i \in J} \overline{f}_i^{-1}(U_i)$和$g(z)$属于到这个集合。由此可见

设$\mathfrak{B}_i$为$Y_i (i \in I)$拓扑基；令$\mathscr{S}'$对于$i \in I$表示形式$\overline{f}_i^{-1}(U_i)$$X$子集集合，对于每个$i \in I$表示$U_i \in \mathfrak{B}_i$；如果$\mathfrak{B}'$是$\mathscr{S}'$的集合有限的交集合，显然$\mathfrak{B}'$是拓扑$\mathfrak{T}$的基。

初始结构（集合理论，章IV, § 2, no. 3，标准 CST 10）的一般属性特别意味着以下传递性性质（其直接证明非常简单）：

立即验证$\mathscr{D}$满足公理$(O_I)$和$(O_{II})$。 [集合理论，R，§ 4，公式（34）和（46）]。我们将证明命题的最后一个断言，由于最终结构的一般性质，这意味着另一个断言（集合理论，章IV, § 2, no. 5，标准CST 18）。显然，$f_i$在拓扑$\mathfrak{T}$中连续，通过$\mathscr{D}$的定义（no. 1，定理1）；因此，如果 $g$ 是连续的，则每个映射 $g \circ f_i$ (no. 1, 定理 2) 也是连续的。反之，假设每个$g \circ f_i$是连续的，令$V$为$Z$中的开集合； 假设之前，$\overline{f}_i^{-1}(\overline{g}^{-1}(V))$在$Y_i$开放，每$i \in I$开放；因此 $\overline{g}^{-1}(V) \in \mathscr{D}$ 和证明是完整的。

This follows from the definition of the open sets in the topology $\mathfrak{T}$ by taking complements.

最终结构（集合理论，章IV, § 2, no. 5，标准CST 19）的一般属性意味着以下*传递性*性质（其直接证明也很简单）：

Examples

1) 商拓扑。 令$X$为$X$的$X$、$Y = X/R$商集关于关系$R$、$\varphi : X \to Y$典范映射的拓扑空间、$R$等价关系。 The finest topology on $Y$ for which $\varphi$ is continuous is called the quotient of the topology of $X$ by the relation $R$; we shall study it in more detail in § 3.

2) 拓扑结构的集合中的下确界。 集合 $X$ 上的每个拓扑族 $(\mathfrak{T}_i)_{i \in I}$ 在 $X$ 上的所有拓扑的集合中都有下确界 $\mathfrak{T}$，即 $\mathfrak{T}$ 是 $X$ 上所有拓扑中最精细的，它比每个拓扑都更粗糙$\mathfrak{T}_i$。为了看到这一点，我们可以将应用命题 6，将$Y_i$视为集合$X$，其中拓扑$\mathfrak{T}_i$，并将$f_i$视为恒等映射$Y_i \to X$。如果$\mathscr{D}_i$是拓扑$\mathfrak{T}_i$开放的$X$子集的集合，那么集合$\bigcap_{i \in I} \mathscr{D}_i$就是$X$开放的子集的集合 $\mathfrak{T}$。 $\mathfrak{T}$也称为拓扑$\mathfrak{T}_i$的交。

3) 拓扑空间的和。令$(X_i)_{i \in I}$为空间、$X$集合的拓扑族，即$X_i$的和（集合理论、章II, § 4, no. 8、定义8）；对于每个$i \in I$，令$j_i$为$X_i$到$X$的规范（内射）映射。 $X$上最精细的拓扑$\mathfrak{T}$（其中映射$j_i$是连续的）被称为$X_i$拓扑的和，并且$X$与此拓扑被称为拓扑的和空间$X_i$。让我们通过$j_i$来计算$X$中的$X_i$和子集中的每一个认同；那么集合$A \subset X$在拓扑$\mathfrak{T}$中打开（或关闭）当且仅当集合$A \cap X_i$中的每一个在$X_i$中打开（或关闭）。特别地，每个$X_i$既是开放的又是封闭的。

下面的命题概括了例3的情况：

鉴于命题 6 及其推论，足以证明对于 $\lambda$ 和 $X_\lambda$ 的每个子集 $A_\lambda$，以下叙述是等价的： (i) $A_\lambda$ 在拓扑 $\mathfrak{T}_\lambda$ 开放（或关闭）。 (ii) 对于每个 $\mu \in L$，$A_\lambda \cap X_\mu$ 在拓扑 $\mathfrak{T}_\mu$ 中打开（或关闭）。

很明显，(ii) 通过取 $\mu = \lambda$ 暗示 (i)。相反，如果满足 (i)，则 $A_\lambda \cap X_\mu$ 在 $X_\lambda \cap X_\mu$ 中开（或闭），对于拓扑 $\mathfrak{T}_{\lambda \mu}$，由 $\mathfrak{T}_{\lambda}$ 在 $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ 上诱发；但$\mathfrak{T}_{\lambda \mu}$也是$\mathfrak{T}_{\mu}$在$X_{\lambda} \cap X_{\mu}$上诱发拓扑；因此，$A_{\lambda} \cap X_{\mu}$也是$X_{\lambda} \cap X_{\mu}$的交，其中$X_{\mu}$的子集$B_{\mu}$在拓扑$\mathfrak{T}_{\mu}$中打开（或关闭）；由于 $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ 在 $\mathfrak{T}_{\mu}$ 中打开（或关闭），$A_{\lambda} \cap X_{\mu}$ 也是如此。这样就完成了证明。

我们注，如果$X_{\lambda}$的并与$X$不同，则$\mathfrak{T}$在$X - \left( \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda} \right)$上诱导的拓扑是*离散的*。因为如果 $x \in X$ 属于不存在 $X_{\lambda}$，则 $\{ x \} \cap X_{\lambda} = \varnothing$ 在每个拓扑 $\mathfrak{T}_{\lambda}$ 中开路，因此 $\{ x \}$ 在拓扑 $\mathfrak{T}$ 中开路。