§ 1. 营业集合、邻域、休息集合

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

1. 营业集合、邻域、休息集合

1. 打开集合

定义 1 0AZ1

拓扑结构*（或更简单地说，*拓扑*）*在集合* $X$ *是结构由集合* $\mathscr{D}$ *的子集的* $X$ ，*具有以下属性*（称为*公理拓扑结构*)：

(O_I) ** $\mathscr{D}$ 的集合的每个并是 $\mathscr{D}$ 的集合。

(O_{II}) ** $\mathscr{D}$ * 的集合的每个有限交是 * $\mathscr{D}$ 的集合。

* $\mathscr{D}$ 的*集合 被称为由 $\mathscr{D}$ 在 $X$ 定义的拓扑结构的开集合。

定义 2 0AZ2

拓扑空间是集合赋予拓扑结构*。

拓扑空间的元素通常称为*点*。当在集合 $X$ 上定义拓扑时，集合被称为集合*底层*拓扑空间 $X$ 。

公理 (O_I) 特别意味着 $\mathscr{D}$ 的空子集的并，即空集属于到 $\mathscr{D}$ 。公理(O_{II})意味着 $\mathscr{D}$ 的空子集的交，即*集合* $X$ 、属于到 $\mathscr{D}$ 。

为了证明 $X$ 的子集的集合 $\mathscr{D}$ 满足(O_{II})，通常可以方便地分别证明它满足以下两个公理，其中合取等价于(O_{II})： (O_{II\a})* $\mathscr{D}$ *属于到* $\mathscr{D}$ 的两个集合*交。 (O_{II\ b}) $X$ *属于到* $\mathscr{D}$ 。

例拓扑。给定 $X$ 和 $\varnothing$ 的任何集合 $X$ ， $X$ 由……组成的子集集合满足公理 $(O_1)$ 和 $(O_{II})$ ，因此定义拓扑于 $X$ 。 $X$ 的所有子集中的集合 $\mathfrak{P}(X)$ 也是如此：拓扑它定义是 $X$ 上的离散拓扑，并且集合 $X$ 与此拓扑称为离散空间。

如果拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 的覆盖 $(U_i)_{i \in I}$ 被称为开路，则如果所有 $U_i$ 在 $X$ 中都开路。

定义 3 0AZ3

拓扑空间 $X$ 到拓扑空间 $X'$ 的同胚是 $X$ 的拓扑结构到 $X'$ 的拓扑同构；*也就是说，根据一般 $X$ 的定义*双射到 $X'$ ，其中 $X$ 的开子集的变换集合进入 $X'$ *的开子集的集合。

如果 $X$ 与 $X'$ 同态，则 $X$ 和 $X'$ 被称为“同胚”。

例 0AZ4

如果 $X$ 和 $X'$ 是两个离散的空间，则 $X$ 到 $X'$ 的任何双射都是同胚。

以下标准紧接着同胚的定义：*对于拓扑空间 $X$ 的双射 $f$ 到拓扑空间 $X'$ 的同态，有必要且充分的是每个 $f$ 下的像 $X$ 中的开集合是 $X'$ 中的开集合，并且 $X'$ 中的每个开集合的 $f$ 下的逆像是 $X$ 中的开集合*。

2. 邻域

定义 4 0AZ5

令 $X$ 为拓扑空间和 $A$ $X$ 的任意子集。 $A$ 的邻域是 $X$ 的任意子集，其中包含是开集合包含 $A$ 。单个点的子集 $\{ x \}$ 由……组成中的邻域也称为点 $x$ *中的邻域。

被以下引用 1

被以下引用命题 1

显然， $X$ 的子集 $A$ 的每一个邻域也是子集 $B \subset A$ 的每一个邻域；特别地，它是 $A$ 中每个点的邻域。相反，假设 $A$ 是集合 $B$ 中每个点的邻域，并且令 $U$ 是 $A$ 中包含的开集合的并；然后 $U \subset A$ ，并且由于 $B$ 属于的每个点到包含在 $A$ 中的开集合，我们有 $B \subset U$ ；但 $U$ 凭借 $(O_1)$ 而开放，因此 $A$ 是 $B$ 的邻域。特别是：

命题 1 0AZ6

当且仅当它打开时，集合是其每个点的邻域。

引用了 1 · 被以下引用 6

引用了定义 4

被以下引用注, 命题 2, 命题 4, 命题 11, I § 11, 命题 10, I § 5, 命题 5, I § 5

字“邻域”的日常意义是这样的，涉及邻域数学思想的许多属性都表现为直观属性的数学表达；项的选择因此具有使语言更具表现力的优点。为此目的，也允许在某些叙述中使用“足够接近”和“尽可能接近”的表达方式。对于例，命题 1 可以用以下形式来表示：集合 $A$ 开当且仅当对于每个 $x \in A$ ，所有点 足够接近 $x$ 属于到 $A$ 。更一般地说，如果 $x$ 的某些邻域中的点全部成立，那么性质对于所有点 足够接近 点 $x$ 都成立。

让我们用 $x$ 的所有邻域中的 $\mathfrak{B}(x)$ 集合来表示。集合 $\mathfrak{B}(x)$ 具有以下属性：

(V_I) $X$ 中的每个子集，其中包含集合属于到 $\mathfrak{B}(x)$ 本身属于到 $\mathfrak{B}(x)$ 。

(V_{II}) $\mathfrak{B}(x)$ 属于到 $\mathfrak{B}(x)$ 的集合的每个有限交。

(V_{III}) 元素 $x$ 位于 $\mathfrak{B}(x)$ 的每集合中。

事实上，这三个属性是定义 4 的直接的推论和公理 (O_{II})。

(V_{IV}) 如果 $V$ 属于到 $\mathfrak{B}(x)$ ，则有集合 $W$ 属于到 $\mathfrak{B}(x)$ ，这样，对于每个 $y \in W$ ， $V$ 属于至 $\mathfrak{B}(y)$ 。

到命题 1，我们可以将 $W$ 视为任何开集合，其中包含 $x$ 并且包含在 $V$ 中。

这个性质可以用形式来表达， $x$ 的*邻域也是所有点的邻域，充分接近 $x$ *。

集合 $\mathfrak{B}(x)$ 的这四个属性是*特征*。准确地说，我们有：

命题 2 0AZ7

如果对于集合 $X$ 的每个元素 $x$ ，存在 $X$ 的子集的对应集合 $\mathfrak{B}(x)$ ，使得属性(V_I)，(V_{II})， (V_{III}) 和 (V_{IV}) 满足，则 $X$ 上存在唯一的拓扑结构，使得对于每个 $x \in X$ ， $\mathfrak{B}(x)$ 是 $x$ 的邻域的集合拓扑.

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 1

被以下引用注 3, I § 2

到命题 1 时，如果 $X$ 满足上有拓扑这条件，为此集合集合拓扑必然是子集集合 $\mathscr{D}$ $X$ 的 $A$ 使得*对于每个 $x \in A$ 我们有 $A \in \mathfrak{B}(x)$ *；因此，如果存在的话，这个拓扑的*唯一性*。

集合 $\mathscr{D}$ 当然满足公理 (O_I) 和 (O_{II})：对于 (O_I)，这直接从 (V_I) 得出，对于 (O_{II})，从 (V_{II}) 得出。它

!图表显示集合 V、U、W 和点 x、y、z

图 1.

仍有待证明，在 $\mathscr{D}$ 定义的拓扑中，对于每个 $x \in X$ ， $\mathfrak{B}(x)$ 是 $x$ 的邻域的集合。从(V_I)可以得出， $x$ 属于到 $\mathfrak{B}(x)$ 的每一个邻域。相反，令 $V$ 为集合属于至 $\mathfrak{B}(x)$ ，并令 $U$ 为点 $y \in X$ 中的集合，使得 $V \in \mathfrak{B}(y)$ ；如果我们能证明 $x \in U, U \subset V$ 和 $U \in \mathscr{D}$ ，那么证明就完整了。从 $V \in \mathfrak{B}(x)$ 开始，我们就有了 $x \in U$ ；还有 $U \subset V$ ，对于每个点 $y \in U$ 属于到 $V$ ，由于 (V_III) 和假设 $V \in \mathfrak{B}(y)$ 。还需要证明 $U \in \mathscr{D}$ ，即每个 $y \in U$ 对应 $U \in \mathfrak{B}(y)$ ；现在（图1）如果 $y \in U$ ，那么通过（V_IV）有集合 $W$ ，这样对于每个 $z \in W$ ，我们有 $V \in \mathfrak{B}(z)$ ；因为 $V \in \mathfrak{B}(z)$ 意味着 $z \in U$ ，所以可以得出 $W \subset U$ ，因此，根据(V_I)， $U \in \mathfrak{B}(y)$ 。

Q.E.D.

命题 2 表明 $X$ 上的拓扑可以通过 $X$ 的点的邻域的集合 $\mathfrak{B}(x)$ 来定义，仅受限于公理 (V_I), (V_II)，（V_III）和（V_IV）。

例 0AZ8

我们可以将有理数的集合 $Q$ 上的定义拓扑取为开集合所有有界开区间并；其中子集中的集合当然满足(O_I)，并且只要看它满足(O_II)就足够了注，如果两个开区间 $]a, b[$ 和 $]c, d[$ 中的交不为空，则它是区间 $]\alpha, \beta[$ ，其中 $\alpha = \sup(a, c)$ 和 $\beta = \inf(b, d)$ 。通过将 $x$ 的邻域的每个 $x \in Q$ 集合 $\mathfrak{B}(x)$ 定义为子集包含的集合，我们得到相同的拓扑一个开区间，其中 $x$ 属于。将这个拓扑代入 $Q$ 得到的拓扑空间称为有理线（cf.章IV, § 1, no. 2）。请注意，在这个空间中，每个开区间都是一个开集合。 \* 我们可以用同样的方式对实数的集合 $R$ 进行定义拓扑； $R$ 与拓扑称为实直线（cf.§ 2、习题5和章IV, § 1, no. 3）。 \

引用了 2

引用了习题 5, § 2, IV § 1. 定义 / 实数

3. 基本系统邻域；基拓扑

定义 5 0AZ9

在拓扑空间 $X$ 中，点 $x$ 的邻域的基本系统（分别是 $X$ 的子集 $A$ ）是以下任意集合 $\mathfrak{G}$ $x$ （或 $A$ ）的邻域，使得对于 $x$ （或 $A$ ）的每个邻域 $V$ ，有邻域 $W \in \mathfrak{G}$ ，使得 $W \subset V$ 。

被以下引用 1

被以下引用推论, I § 6

如果 $\mathfrak{G}$ 是 $X$ 的子集 $A$ 的邻域的基本系统，则 $\mathfrak{G}$ 的 $\mathfrak{G}$ 包含集合的集合的每个有限交。

例。 1) 在离散的空间 (no. 1) 集合 $\{ x \}$ 中，单独构成邻域点 $x$ 的基本系统。 2) 在所有开区间包含点 $x$ 的有理线上 $\mathbf{Q}$ 集合是这个点的邻域的基本系统。开区间 $]x - 1/n, x + 1/n[$ 的集合和闭区间 $[x - 1/n, x + 1/n]$ 的集合也是如此，其中 $n$ 贯穿所有整数 $> 0$ ，或贯穿整数 $> 0$ 的任何无限严格递增的序列。 \* 实直线也有类似的结果。 \*

定义 6 0AZA

一个拓扑空间 $X$ 的拓扑基是 $X$ 的开子集的任何集合 $\mathfrak{B}$ 使得 $X$ 的每个开子集是集合的并属于至 $\mathfrak{B}$ 。

命题 3 0AZB

如果 $X$ 是拓扑空间，则对于 $X$ 的开子集的集合 $\mathfrak{B}$ 为 $X$ 的拓扑的基来说，对于每个 $x \in X$ 集合是充分必要的 $V \in \mathfrak{B}$ 使得 $x \in V$ 是 $x$ 的邻域的基本系统。

被以下引用 2

被以下引用命题 6, 例, I § 6

显然条件是必要的。相反，如果满足，则给定任何开集合 $U$ 和任何 $x \in U$ ，都存在一个开集合 $V_x \in \mathfrak{B}$ 使得 $x \in V_x \subset U$ 。因此， $x \in U$ 的集合 $V_x$ 的并等于 $U$ 。这样就完成了证明。

例 1 0AZC

离散的拓扑具有基集合、子集、 $X$ ，由单个点组成。

例 2 0AZD

有界开区间的集合是有理线(no. 2)的拓扑的定义基。 \* 同样，有界开区间的集合是实直线的拓扑的基。 \

4. 关闭集合

定义 7 0AZE

在拓扑空间 $X$ 中， $X$ 的开集合的补集称为闭集合。

取补，我们发现公理 $(O_I)$ 和 $(O_{II})$ 取以下形式：

$(O'_I)$ 闭集合的每个交都是一个闭集合。

$(O'_{II})$ 闭集合的每个有限并都是闭集合。

空集和整个空间 $X$ 都是闭合的（因此*既开又闭合*；cf. § 11）。

在有理线上，形式 $[a, \rightarrow[$ 的每个区间都是一个闭集合，对于它的补码]\leftarrow，a[是开的；同样，形式]\leftarrow, a] 的每个区间都是一个闭集合；因此，每个有界闭区间 $[a, b]$ 也是如此，因为它是区间 $[a, \rightarrow[$ 和]\leftarrow, b]的交。

有理数整数的集合 $Z$ 在有理数线上是闭的，因为它的补集 $\bigcup_{n \in Z} ]n, n+1[$ 是开集。

如果每个 $F_i$ 在 $X$ 中都是闭的，则拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 的覆盖 $(F_i)_{i \in I}$ 被称为“闭”。

拓扑空间 $X$ 到拓扑空间 $X'$ （no. 1）的*同胚* $f$ 可以表征为 $X$ 到 $X'$ 的双射*使得像在 $X$ 的每个闭子集的 $f$ 是 $X'$ 的闭子集，并且 $X'$ 的每个闭子集的 $f$ 下的逆像是子集的闭子集 $X$ *。

5. 本地有限家庭

定义 8 0AZF

拓扑空间 $X$ 的子集的族 $(A_i)_{i \in I}$ 被认为是局部有限的，如果对于每个 $x \in X$ ，有 $x$ 的邻域 $V$ ，使得除了有限的数之外的所有 $V \cap A_i = \varnothing$ 指标 $i \in I$ 。如果由 $\mathscr{S}$ 的恒等式映射定义的子集族是局部有限的，则 $X$ 的子集的集合 $\mathscr{S}$ 被认为是局部有限的。

很明显，如果 $(A_i)_{i \in I}$ 是子集的局部有限族，并且如果每个 $i \in I$ 都有 $B_i \subset A_i$ ，则 $(B_i)_{i \in I}$ 族是局部有限的。

拓扑空间 $X$ 的子集的每个“有限”族显然是局部有限的；逆命题一般来说是不正确的。

\* 对于例，在 $\mathbf{R}$ 中，由区间 ]\leftarrow, 1[ 和每个整数 $n \geqslant 0$ 的区间 ] $n, \rightarrow[$ 形成的开覆盖是局部有限的；并且每个区间 ] $n, \rightarrow[$ 满足此覆盖的无限数集合。 \*

命题 4 0AZG

拓扑空间 $X$ 的局部有限闭族子集的并在 $X$ 中闭合。

引用了 1 · 被以下引用 6

引用了命题 1

被以下引用例, I § 3, 命题 3, I § 3, 例 3, I § 5, 推论 1, IX § 4, 引理 6, IX § 4, 命题 1, IX § 6

设 $(F_i)_{i \in I}$ 是 $X$ 的闭子集的局部有限族，并假设 $x \in X$ 不属于到 $F = \bigcup_{i \in I} F_i$ ；那么 $x$ 有邻域 $V$ ，它只满足那些 $F_i$ ，其指标属于到 $I$ 的*有限*子集 $J$ 。对于每个 $i \in J$ 令 $U_i$ 为 $F_i$ 的补集；然后 $\complement F$ 包含集合 $V \cap \bigcap_{i \in J} U_i$ ，这是 $x$ 的邻域，因为每个 $U_i$ 都是开放的，包含于 $x$ 。因而，到 no. 2 的命题 1 时， $\complement F$ 打开，因而 $F$ 在 $X$ 关闭。

我们注认为 $X$ 的*任意*封闭族子集的并不一定是封闭的；对于例，在有理线 $\mathbf{Q}$ 上，集合 $]2, 1[$ 是闭集合的并

\left[ \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right] \quad \text{for } n > 2,

但并未关闭。

6. 集合的内部、封闭、边界；密集集合

定义 9 0AZH

在拓扑空间 $X$ 中，如果 $A$ 是 $x$ 的邻域，则点 $x$ 被认为是子集 $A$ 于 $X$ 的内部点。 $A$ 的内部点的集合称为 $A$ 的内部，记为 $\dot{A}$ 。

根据定义 9和4，如果 $A$ 中存在一个开集合，其中包含 $x$ ，则点 $x$ 是 $A$ 的内部点；由此可见， $\dot{A}$ 是 $A$ 中包含的所有开集合的并，因而*最大的开集合包含在* $A$ ：在其他字中，如果 $B$ 是一个*开* 集合包含在 $A$ 中，然后是 $B \subset \dot{A}$ 。因而，如果 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 中的两个子集，使得 $B \subset A$ ，则 $\dot{B} \subset \dot{A}$ ；并且 $A$ 是 $B$ 的邻域当且仅当 $B \subset \dot{A}$ 。

注 0AZI

非空集合的内部可以为空；对于未开的单个点的集合由……组成，对于有理线\*（或实直线）*上的例，情况就是这种情况。

命题 no. 2 中的 1 可重述如下：

集合打开当且仅当重合及其内部。

no. 2的性质 $(V_{II})$ 意味着每个点是两个子集 $A$ 和 $B$ 中每一个的内部点是 $A \cap B$ 的内部点；因而

(1)

\dot{A} \cap \dot{B} = \dot{A} \cap \dot{B}.

每个集合 $A$ 补集的内部点被称为 $A$ 的*外部*点，并且这些点中的集合被称为 $X$ 中 $A$ 的*外部*；因此，作为 $A$ 的外部点的点 $x \in X$ 的特征在于性质，即* $x$ 具有不满足* $A$ 的邻域。

引用了 1

引用了命题 1

定义 10 0AZJ

拓扑空间* $X$ 的子集 $A$ 的闭包是所有点 $x \in X$ 的集合使得 $x$ 的每个邻域满足 $A$ ，*并且是用* $\overline{A}$ 表示。

被以下引用 1

被以下引用例, I § 6

这个定义可以通过说重新表述，点 $x$ 位于集合 $A$ 的闭包中，如果 $A$ 有点*尽可能接近* $x$ *如我们所愿*。

不在 $A$ 闭包内的每个点都是 $A$ 的外部，反之亦然；因此我们有公式（它们是彼此的对偶）

(2)

\mathscr{C}\overline{A} = \widehat{\mathscr{C}}A,\qquad \mathscr{C}\dot{A} = \overline{\mathscr{C}}A.

因此，对于集合内部的任何命题，闭包上的*对偶性*命题存在对应，反之亦然。特别地，集合 $A$ 的闭包是*最小的闭集合，其中包含* $A$ ；在其他字中，如果 $B$ 是闭集合，使得 $A \subset B$ ，则 $\overline{A} \subset B$ 。如果 $A$ 和 $B$ 是 $X$ 的两个子集，使得 $A \subset B$ ，则 $\overline{A} \subset \overline{B}$ 。

集合是封闭的当且仅当重合及其闭包。

公式 (1) 的对偶是

(3)

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}.

命题 5 0AZK

设* $A$ *为* $X$ 中的开集合； 然后对于每个子集 $B$ of $X$ *我们有

被以下引用 3

被以下引用命题 2, I § 3, 命题 6, II § 2, 定理 4, X § 3

(4)

A \cap \overline{B} \subset \overline{A \cap B}.

假设 $x \in A \cap \overline{B}$ ；那么如果 $V$ 是 $x$ 中的任意邻域，则 $V \cap A$ 是 $x$ 中的邻域，因为 $A$ 是开放的；因此 $V \cap A \cap B$ 不为空，因此 $x$ 位于 $A \cap B$ 的闭包中。

如果 $x$ 位于 $A$ 的闭包中但不在 $A$ 中，则 $A$ 的 $x$ 包含点的每个邻域*除了* $x$ ；但如果 $x \in A$ ，则可能发生 $x$ 有邻域，其中包含没有 $A$ 的点，除了 $x$ 。那么我们说 $x$ 是 $A$ 的*孤立的点*。特别地，当且仅当 $\{x\}$ 是开集合时， $x$ 在整个空间 $X$ 中是孤立的。

没有孤立的点的封闭集合称为*完美* 集合。

定义 11 0AZL

在拓扑空间 $X$ 中，如果 $x$ 位于 $A$ 的闭包和 $\overline{CA}$ 的闭包中，则点 $x$ 被称为集合 $A$ 的边界点。 $A$ 的边界点的集合称为 $A$ 的边界。

因此， $A$ 的边界是集合 $\overline{A} \cap \overline{\overline{CA}}$ ，它是封闭的。 $A$ 的边界点 $x$ 的特征在于性质， $x$ 包含的每邻域至少有一个点在 $A$ 和至少一个点 $\overline{CA}$ ； $x$ 可能会也可能不会属于至 $A$ 。 $A$ 的边界与 $\overline{CA}$ 的边界相同。 $A$ 的内部、 $A$ 的外部和 $A$ 的边界互为不相交的，并且它们的并是整个空间 $X$ 。

定义 12 0AZM

如果 $\overline{A} = X$ ，即如果每个非空开集合，则拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 被认为在 $X$ 是稠密的（或者简单地稠密，如果 $X$ 没有歧义） $X$ 中的 $U$ 满足 $A$ 。

例 0AZN

\* 我们将在章IV, § 1中看到有理数的集合及其补集在实直线上稠密。 \* 在离散空间 $X$ 中， $X$ 的唯一稠密子集是 $X$ 本身。另一方面， $X$ 的每个非空子集都密集在 $X$ 上的拓扑，其中唯一的开集合是 $\varnothing$ 和 $X$ 。

引用了 1

引用了 IV § 1. 定义 / 实数

命题 6 0AZO

如果 $\mathfrak{B}$ 是拓扑空间 $X$ 的拓扑的基，则在 $X$ 中存在稠密的集合 $D$ 使得 $\mathrm{Card}(D) \leq \mathrm{Card}(\mathfrak{B})$ 。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 Proposition 3, E III § 3, 命题 3

被以下引用推出 1, I § 11

我们可以将自己限制在 $\mathfrak{B}$ 的集合都不为空的情况（ $\mathfrak{B}$ 的非空集已经是 $X$ 的拓扑的形式基）。对于每个 $U \in \mathfrak{B}$ ，令 $x_V$ 为 $U$ 的点；由no. 3的命题 3可知，点 $x_U$ 的集合 $D$ 密集于 $X$ ，并且我们有 $\mathrm{Card}(D) \leq \mathrm{Card}(\mathfrak{B})$ （集合理论，章III, § 3, no. 2，命题3）。

习题

参见习题为 § 1。