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6. 过滤器

1. 过滤器的定义

$(\mathrm{F}_1)$ $X$ 的每个子集，其中 $\mathfrak{F}$ 属于到 $\mathfrak{F}$ 的包含集合。 $(\mathrm{F}_\mathrm{II})$ $\mathfrak{F}$ 属于到 $\mathfrak{F}$ 的集合的每个有限交。 $(\mathrm{F}_\mathrm{III})$ 空集不在 $\mathfrak{F}$ 中。

从$(\mathrm{F}_\mathrm{II})$和$(\mathrm{F}_\mathrm{III})$得出，$\mathfrak{F}$的集合的每个有限交都是*非空*。

$X$ 定义结构 $X$、公理上的过滤器$\mathfrak{F}$，其中$(\mathrm{F}_1)$、$(\mathrm{F}_\mathrm{II})$和$(\mathrm{F}_\mathrm{III})$；这个结构被称为经过过滤的集合*的*结构，而赋予这个结构的集合$X$被称为经过*$\mathfrak{F}$过滤的*集合。

公理$(\mathrm{F}_\mathrm{II})$等价于以下两个公理的合取： $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{a}})$ 交 $\mathfrak{F}$ 属于至 $\mathfrak{F}$ 两个集合。 $(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$ $X$ 属于至$\mathfrak{F}$。

公理$(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$和$(\mathrm{F}_\mathrm{III})$表明*空集*上没有过滤器。

在子集的集合的阶中，也满足$(\mathrm{F}_1)$到满足$(\mathrm{F}_{\mathrm{II}\,\mathrm{b}})$，它是*非空*的充分必要。满足$(\mathrm{F}_1)$的子集中的集合也满足$(\mathrm{F}_\mathrm{III})$当且仅当它与$\mathfrak{P}(X)$不同时。

过滤器的例。 1) 如果单独$X$的子集由……组成$X \neq \varnothing$、集合是$X$上的过滤器。更一般地，$X$的所有子集中的集合，其中包含给定的$X$的非空子集$A$是$X$上的过滤器。

2) 在拓扑空间$X$中，$X$的任意非空子集$A$的所有邻域*的*集合（特别是点的所有邻域的集合） $X$）是一个过滤器，称为$A$的*邻域过滤器*。

3) 如果$X$是*无限*集合，则$X$的*有限子集*补集是过滤器的元素。 The filter of complements of finite subsets of the set $\mathbf{N}$ of integers $\geqslant 0$ is called the Fréchet filter.

2. 过滤器比较

如果一个滤波器比另一个滤波器更细，则称两个滤波器具有可比性。 $X$上所有过滤器的集合按关系排序“$\mathfrak{F}$比$\mathfrak{F}'$更粗糙”；这个关系是由$\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))$中包含关系引起的。

令 $(\mathfrak{F}_i)_{i \in I}$ 为集合 $X$ 上的任何非空过滤器系列（因此必须非空）；然后集合

满足公理$(F_I), (F_{II})$和$(F_{III})$，因此是一个过滤器； $\mathfrak{F}$被称为过滤器家族$(\mathfrak{F}_i)_{i \in I}$的交，显然是$X$上所有过滤器的有序集合中$\mathfrak{F}_i$的集合的下确界。

由单个集合$X$形成的滤波器是$X$上所有滤波器的有序集合中的最小的元素。我们将在no. 4中看到，如果$X$有多个元素，则$X$上的所有过滤器中的集合没有最大元素。

给定集合$X$的子集的集合$\mathfrak{G}$，让我们考虑在$X$和包含$\mathfrak{G}$上是否存在过滤器。如果这样的过滤器存在，则由$\mathfrak{G}$的集合有限交的$(F_{II})$它包含还有集合$\mathfrak{G}'$（包括$X$，即空子集的交） $\mathfrak{G}$);因此，这样一个过滤器存在的必要的条件是$X$的空子集不在$\mathfrak{G}'$中。这个条件也足够了，对于$(F_I)$任何过滤器，其中包含$\mathfrak{G}'$还有$X$的子集包含集合$\mathfrak{G}''$其中包含集合 $\mathfrak{G}'$。现在$\mathfrak{G}''$显然满足$(F_I)$；由于$\mathfrak{G}'$的定义，它满足$(F_{II})$；最后它满足$(F_{III})$，因为$X$的空子集不会属于到$\mathfrak{G}'$。因此$\mathfrak{G}''$是包含$\mathfrak{G}$最粗的过滤器，我们已经证明：

3. 基过滤器

如果 $\mathfrak{G}$ 是 $X$ (no. 2) 上过滤器 $\mathfrak{F}$ 的子基，则 $\mathfrak{F}$ 通常不是 $X$ 的子集的集合，其中包含集合 $\mathfrak{G}$；为了使$\mathfrak{G}$具有这个性质，$\mathfrak{G}$的集合的每个有限交应该是$\mathfrak{G}$的包含集合。因此有以下命题：

如果$\mathfrak{G}$是过滤器$\mathfrak{F}$的子基，则$\mathfrak{G}$的集合的有限交的集合$\mathfrak{G}'$是$\mathfrak{F}$（no. 2）的基。

4. 超滤器

由于$X$上所有滤波器的有序集合是归纳式的（no. 2，命题1，推论3），Zorn的引理（集合理论，R，§ 6, no. 10）表明：

5. 感应滤波器

如果$X$ 诱导上的过滤器$\mathfrak{F}$ $A \subset X$ 上的过滤器，则由于no. 3 的命题 3，$\mathfrak{F}$ 基 $A$ 上的轨迹为$\mathfrak{F}_A$ 基。

6. 过滤器的直接像和逆像基

令$\mathfrak{B}$为集合$X$上的过滤器基，并令$f$为$X$的映射进入集合$X'$；那么$f(\mathfrak{B})$是$X'$上的*过滤器基*，因为关系$M \neq \emptyset$意味着$f(M) \neq \emptyset$，我们有$f(M \cap N) \subset f(M) \cap f(N)$。如果$\mathfrak{B}_1$是比基$\mathfrak{B}$的过滤器*更细*的过滤器的基，则$f(\mathfrak{B}_1)$是比基$f(\mathfrak{B})$的过滤器*更细*的基 （no. 3，命题4）。

7. 乘积过滤器

令$(X_i)_{i \in I}$为集合的族，对于每个$i \in I$，令$\mathfrak{B}_i$为$X_i$上的*过滤器基*。令$\mathfrak{B}$为乘积集合$X = \prod_{i \in I} X_i$的子集的集合，其中形式$\prod_{i \in I} M_i$，其中$M_i = X_i$除了指标的*有限*数并且其中$M_i \in \mathfrak{B}_i$ 对于每个 $i$ 使得 $M_i \neq X_i$。 公式 $\left( \prod_{i \in I} M_i \right) \cap \left( \prod_{i \in I} N_i \right) = \prod_{i \in I} (M_i \cap N_i)$ 显示$\mathfrak{B}$ 是$X$ 上的*过滤器基*。 注基 $\mathfrak{B}$ 的过滤器也是由

集合 $\overline{\mathrm{pr}}_x^{-1}(M_x)$，其中$M_x \in \mathfrak{B}_x$和$x$贯穿$I$，因为

读者可以轻松验证过滤器$\mathfrak{F}_i$的乘积也可以定义为$X$上的*粗略*过滤器$\mathfrak{G}$，使得每个$i \in I$都有$\mathrm{pr}_i(\mathfrak{G}) = \mathfrak{F}_i$。

前面的注表明，如果对于每个$i \in I$，$\mathfrak{B}_i$是$\mathfrak{F}_i$的基，则$\mathfrak{B}$是乘积过滤器$\prod_{i \in I} \mathfrak{F}_i$的*基*（no. 3，命题3）。

在拓扑空间的乘积$X = \prod_{i \in I} X_i$上，任何点$x = (x_i)$的邻域过滤器都是$x_i$（§ 4, no. 1）的邻域过滤器的*乘积*。

当指标集合 $I$ 是*有限*时，乘积过滤器 $\mathfrak{F} = \prod_{i \in I} \mathfrak{F}_i$ 构造更简单：$\mathfrak{F}$ 的基则由 all 乘积 $\prod_{i \in I} M_i$ 形成，其中每个$M_i \in \mathfrak{F}_i$ $i \in I$。 如果 $I = \{ 1, 2, \ldots, n \}$ 我们写

8. 基本过滤器

与$(x_n)$相关的基本过滤器是$X$的子集$M$的集合，使得$x_n \in M$除了$n$的值的*有限*数，这也是同样的道理。如果$S_n$表示所有$x_p$中的集合使得$p \geq n$，则集合$S_n$形式与序列$(x_n)$相关联的基本滤波器的*基*。

与序列 $(x_n)$ 的无限*子序列*关联的基本滤波器比与 $(x_n)$ (cf. 习题 15) 关联的基本滤波器 更细。

到定义，每个基本过滤器都有一个可数的基。反过来：

9. 与过滤器相关的细菌

让$\mathfrak{F}$作为集合$X$的过滤器。 $X$全部子集、关系中的集合$\mathfrak{P}(X)$

“存在$V \in \mathfrak{F}$使得$M \cap V = N \cap V$”

$M$和$N$之间是一个*等价关系* $R$，因为$R$显然是自反且对称的，并且如果$M, N, P$是$X$的三个子集，使得$M \cap V = N \cap V$和$N \cap W = P \cap W$，其中$V$ 和 $W$ 属于到 $\mathfrak{F}$，可得出 $M \cap (V \cap W) = N \cap (V \cap W) = P \cap (V \cap W)$ 和 $V \cap W \in \mathfrak{F}$，因此 $R$ 是及物性的。 $X$的子集$M$等价类模$R$相对于$\mathfrak{F}$*称为$M$的*胚芽； 商集$\mathfrak{P}(X)/R$称为$X$（相对于$\mathfrak{F}$）*的子集菌*集合。 映射 $(M, N) \to M \cap N$ 和 $(M, N) \to M \cup N$

$\mathfrak{P}(X)$ 与等价关系 $R \times R$ 和 $R$ 相容的

（集合理论，R，，no. 8）。对于如果 $M \equiv M' \pmod{R}$ 和 $N \equiv N' \pmod{R}$ 则在 $\mathfrak{F}$ 中存在 $V$ 和 $W$ 使得

经过到商，这些映射诱导将$(\mathfrak{P}(X)/R) \times (\mathfrak{P}(X)/R)$的两个映射化为$\mathfrak{P}(X)/R$，我们分别用$(\xi, \eta) \to \xi \cap \eta$和$(\xi, \eta) \to \xi \cup \eta$表示（滥用语言）。这是一个简单的习题来验证对于合成的这些律[在$\mathfrak{P}(X)/R$中定义]，每个元素都是幂等的，并且每个律相对于另一个律是可交换的、关联的和分配的。进一步地，关系$\xi = \xi \cap \eta$与$\eta = \xi \cup \eta$等价；如果我们用$\xi \subset \eta$来表示它们（滥用语言），很容易验证这个关系是$\mathfrak{P}(X)/R$的一个排序，相对于它$\mathfrak{P}(X)/R$是一个格子，其中$\varnothing$的胚芽至少为元素，$X$的胚芽为最大元素。 注、关系$\xi \subset \eta$意味着存在$M \in \xi$、$N \in \eta$和$V \in \mathfrak{F}$使得$M \cap V \subset N \cap V$。

现在令$X'$为另一个集合，并令$\Phi$为$\mathfrak{F}$的集合所有映射到$X'$的集合。 关系 $\Phi$

“存在$V \in \mathfrak{F}$使得$f$和$g$被定义并同意$V$”

$f$和$g$之间是等价关系$S$；显然，$S$是自反且对称的，如果$f, g, h$是$\Phi$的三个元素，使得$f$和$g$在$V \in \mathfrak{F}$上定义，$g$和$h$在$W \in \mathfrak{F}$上定义并一致，那么$f$ 和 $h$ 已定义且一致于 $V \cap W \in \mathfrak{F}$，因此 $S$ 具有传递性。将集合 $V \in \mathfrak{F}$ 映射 $f$ 等价类 mod $S$ 成 $X'$ 称为 $f$ (相对于$\mathfrak{F}$)的胚芽，商集 $\tilde{\Phi} = \Phi/S$ 称为$X$的映射细菌的集合变成$X'$（相对于$\mathfrak{F}$）。