c) ⇒ a): 令 x 为 N 的元素而不是 K 的属于。用 K 包含于 N 的 Ω 代数闭包表示作为子扩展 (V, p. 23, Th. 2)。设 f 为 x 在 K 上的最小多项式，其次数 ≥ 2 乘以假设，并令 A 为 N 中 $f(X)$ 的根的集合。如果条件 c) 成立，则有 $f(X) = \prod_{y \in A} (X - y)$，因此 (V， p. 53，Cor. 1) A 是 Ω 中 x 的共轭的集合。由于 f 次数 ≥ 2，因此 A 元素 $y \neq x$ 中存在，因此 Ω 的 K-自同构 u 使得 $u(x) = y$。现在在假设 c) 下，K 的扩张 N 是拟伽罗瓦，因此 $u(N) = N$ (V, p. 54, Cor. 1)；由此可见，u 诱导 N 的 K-自同构 a，使得 $\sigma(x) = y \neq x$，因此 K 是 Γ 的不变量的域。

首先，E 是代数且可在 K（V，p. 36，命题 1）上分离，对于 F（V，p. 41，命题 8）也是如此。此外，根据命题 4 (V, p. 55)，E 和 F 是 K 上的拟伽罗瓦。

由于 N 是 K 上的拟伽罗瓦，Cor。 V、p. 56的1证明了N包含E和有限次数在K上的拟伽罗瓦子扩张F的存在。由于N在K上可分，因此对于F（V，p. 36，命题1）同样成立，因此F是K上的伽罗瓦子扩张。

命题 2 意味着以下结果：令 R 为 K 和 E₁, ..., Eₙ 的代数闭包，包含在 R 中的 K 上有限次数的可分离代数扩张，则存在包含在 R 和包含 E₁, ..., Eₙ 中的 K 的伽罗瓦扩张 N，有限次数。

更一般地，考虑 N 的两个子扩展 L 和 L'，以及 L 到 L' 的 K 同构 $u$。 K 包含于 N 的选择代数闭包 $\Omega$ 作为子扩展（V、p. 23、Th.2）。存在$\Omega$的K-自同构$v$，其中重合与$u$在L上（V，p. 52，命题1），并且由于N是K的拟伽罗瓦扩展，$v$诱导a N 的 K-自同构 $\sigma$ (V, p. 55, 注 1)。其他$\mathrm{Gal}(N/K)$重合的字、元素$\sigma$和L的$u$。

$\Gamma$的每个元素$\sigma$都有基邻域由……组成的开路和闭路集合$U_E(\sigma)$，因此$\Gamma$完全断开（Gen.Top.，I， p. 111）。我们有$\{\sigma\} = \bigcap_{E \in \Lambda} U_E(\sigma)$，因此$\Gamma$是分开的。对于$x$的共轭$\sigma(x)$的每个$x \in N$集合，当$\sigma$范围超过$\Gamma$时，是*有限的*，因为$x$是$K$的代数（V，p.Cor.1）；因此，$N^N$的因子空间上的$\Gamma$的所有投影都是有限的集合，这表明$\Gamma$在$N^N$中相对紧凑（Gen.Top.，I，p. 88）。尚待证明$\Gamma$于$N^N$关闭。现在，如果$u$在$N^N$中$\Gamma$的闭包中，那么对于$N$的点$(x, y)$的每个对，都存在$a \in \Gamma$和$u(x) = \sigma(x), \ u(y) = \sigma(y), \ u(x+y) = \sigma(x+y), \ u(xy) = \sigma(xy)$，从而$u(x+y) = u(x) + u(y)$和$u(xy) = u(x)u(y)$。同样的推理，对于所有$x \in K$，我们有$u(x) = x$，因此$u$是$N$到$N$的$K$同态；由于$N$是$K$的代数，$u$是$N$的$K$自同构（V，p. 52，命题1），因此$u \in T$。

令$N$为$K$的伽罗瓦扩张和$(N_i)_{i \in I}$递增有向$N$的子扩展族。假设对于所有 $i \in I$ 和 $N = \bigcup_{i \in I} N_i$，$N_i$ 是伽罗瓦超过$K$。对于每个$i \in I$，用$N_i$的$\Gamma_i$伽罗瓦群表示$K$；对于$I$中的$i \leq j$，我们定义了$N_i \subset N_j$和$\Gamma_j$到$\Gamma_i$的限制同态$\varphi_{ij}$。它是连续的，因此族$(\Gamma_i, \varphi_{ij})$是拓扑群的逆系。进一步，对于每个$i \in I$，用$\mathrm{Gal}(N/K)$中的$\lambda_i$限制同态表示为$\mathrm{Gal}(N_i/K) = \Gamma_i$；它是连续的，我们有 $\lambda_i = \varphi_{ij} \circ \lambda_j$ 对应 $i \leq j$，因此$(\lambda_i)_{i \in I}$ 定义族是 $\mathrm{Gal}(N/K)$ 的连续同态 $\Lambda$ 到 $\varprojlim \Gamma_i$。

由于$\mathrm{Gal}(N/K)$是紧致的，$\lambda$连续且群$\varprojlim \mathrm{Gal}(N_i/K)$分离，因此足以证明$h$是双射的（*Gen.Top.*，*I*，p. 87，Cor.2）。设$u = (u_i)_{i \in I}$为$\varprojlim \mathrm{Gal}(N_i/K)$的元素；对于每个$i \in I$，$u_i$是$N_i$的K-自同构，$u_i$是$u_j$到$N_i$对于$i \leq j$的限制。从$N = \bigcup_{i \in I} N_i$开始，$\mathrm{Gal}(N/K)$存在唯一元素$\sigma$，对于所有$i \in I$，重合和$N_i$上存在$u_i$。因此$\sigma$是$\mathrm{Gal}(N/K)$的唯一元素，使得$\lambda(u) = u$，因此$\lambda$是双射的。

当我们将$(N_i)$族视为$N$的所有有限伽罗瓦子扩张族时，这尤其适用；那么每个群 $\mathrm{Gal}(N_i/K)$ 都是离散且有限的。因此，拓扑群 $\mathrm{Gal}(N/K)$ 同构于有限群的有向逆极限，配备离散拓扑；这就是有时，称为 profinite 拓扑群。

b) 设 $V_1$ 和 $V_2$ 是两个向量空间超过 $N$，*每个都有一个* $K$-*结构*。 对于线性映射 $f$ 的 $V_1$ 进入 $V_2$ 要理性地超过 $K$ 有充分必要 $f(u_\sigma(x)) = u_\sigma(f(x))$ 对于所有 $\sigma \in \Gamma$ 和所有 $x \in V_1$。

很明显，$K$是*$x \in N$*的集合*使得*$\sigma(xy) = x \sigma(y)$*对于所有*$\sigma \in \Gamma$*和所有*$y \in N$。 命题因此由 Th 得出。 1（II，p. 324）。

注形式 $1 \otimes x \ (x \in V_0)$ 的元素的集合是$N \otimes_K V_0$ 上的K 结构就足够了，对于$\sigma \in \Gamma$，我们有$u_\sigma = \sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$。

a) $V_0$是$V$的向量子K空间和$N \otimes_K V_0$的K-线性映射$\varphi$进入$V$，其中映射$\lambda \otimes x$到$\lambda x$是单射的。

b) 如果 $\Gamma$ 是有限的，则 $\varphi$ 是双射的，$V_0$ 是 $V$ 上的 K 结构。

显然$V_0$是$V$的向量子K空间。

公式$u_\sigma \circ \varphi = \varphi \circ (\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0})$表明$\varphi$的核$W$在映射$\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$下是稳定的；由科。根据命题6，因此存在$V_0$的子空间$W_0$使得$W = N \otimes_K W_0$。如果$x$属于到$W_0$，我们就有$x = \varphi(1 \otimes x) = 0$，因此$W_0 = 0$，所以$W = 0$。这就证明了a）。

现在假设 $\Gamma$ 是有限的；我们必须证明 $\varphi$ 是满射的，或者等效于 $V_0$ 生成向量 N 空间 $V$。因此，让$f$是$V$上的N线性形式，其限制到$V_0$是零。设 $x \in V$；对于$V$的每个$\lambda \in N$元素$y_\lambda = \sum_{\sigma \in \Gamma} u_\sigma(\lambda x)$，显然属于到$V_0$，从而$f(y_\lambda) = 0$，即

根据 Dedekind 的定理 (V, p. 27, Cor. 2)，因此对于每个$\sigma \in \Gamma$，我们有 $f(u_\sigma(x)) = 0$；特别是，取$\sigma = \varepsilon$，我们找到$f(x) = 0$，这意味着$f = 0$。这证明了b)。

设 $M$ 为向量空间大于 $N$；对于每个$\sigma \in \Gamma$，令$M^\sigma$为向量空间超过$N$，具有与$M$相同的基础加法群，以及外法则$(A, x) \mapsto \sigma(\lambda) x$。写$V = \prod_{\sigma \in \Gamma} M^\sigma$； $V$的底层加法群是$\Gamma$到$M$的所有映射，其中外法则定义为

（乘积 $\sigma(\lambda) h(\sigma)$ 是在向量空间 $M$ 中计算的。）此外，我们在 $N \otimes_K M$ 向量空间结构上比$N$ 公式定义 最后我们将$N \otimes_K M$的$\psi$K-线性映射表示为$V$，其特征为关系 对于 $A \in N, x \in M$ 和 $\sigma \in \Gamma$。显然 $\psi$ 是 N 线性的

对于每个 $a \in \Gamma$，我们将 $V$ 的定义映射 $u_\sigma$ 转换为 $V$

对于 $h \in V$ 和 $\tau \in \Gamma$。 (1)-(4)的验证为直接的。 Denote by $V$, 集合 of $h \in V$ such that $u_\sigma(h) = h$ for all $\sigma \in \Gamma$. For each $x \in M$ let $\theta(x)$ be the constant 映射 of $\Gamma$ into $M$ with 值 $x$;那么$\theta$是$M$到$V$的K同构。 If we 定义同态 $\varphi : N \otimes_K V, \to V$ as above, we have $\psi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_N \otimes \theta)$ and now Prop. 8 follows from Prop. 7.

这是第 8 条提案的特殊情况$M = N$。

条件是*必要的*：如果$U_\sigma = A^{-1}\,a(A)$，那么我们有

条件 足够：我们 $N^n$ 的认同元素，其中矩阵 $n$ 行和一个列，系数在 $N$ 中。我们让群$\Gamma$作用于$N^n$：

对于每个 $a \in \Gamma$，我们将 $N^n$ 的 $u_\sigma$ 映射 $x \mapsto U_\sigma \cdot \sigma(x)$ 表示为自身。 V、p. 62的公式(1)至(3)验证为直接的。此外，我们有$u_\varepsilon \circ u_\varepsilon = u_\varepsilon$，并且由于$u_\varepsilon$是双射，所以我们有$u_\varepsilon = \mathrm{Id}_{N^n}$。令$V_0$为向量$x \in N^n$中的集合，使得$u_\sigma(x) = x$对于所有$\sigma \in \Gamma$。根据命题7（V，p. 63），$V_0$是$N^n$上的K结构；特别是存在$V_0$向量$b_1, \ldots, b_n$，在$N$上形成$N^n$的基。因此，矩阵 $B$ 与列 $b_1, \ldots, b_n$ 是可逆的，关系 $u_\sigma(b_i) = b_i$ 对于 $1 \leq i \leq n$ 相当于 $U_\sigma \cdot \sigma(B) = B$。写出$A = B^{-1}$，我们得到所有$a \in \Gamma$的$U_\sigma = A^{-1} \sigma(A)$。

对于$N$中的所有$b$和$\Gamma$中的$\sigma, \tau$，我们有$\sigma \tau(b) - b = [\sigma(b) - b] + \sigma[\tau(b) - b]$，从而是必要性。

相反，假设$a_{\sigma \tau} = a_\sigma + \sigma(a_\tau)$对于$\Gamma$中的任何$\sigma$和$\tau$。将$U_\sigma = \begin{pmatrix} 1 & a_\sigma \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$换成$\sigma \in \Gamma$；那么我们在$\Gamma$中有$U_{\sigma \tau} = U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau)$对应$\sigma, \tau$；根据命题 9，因此存在矩阵 $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ 且行列式非零，使得 $\sigma(A) = A U_\sigma$ 对于所有 $a \in \Gamma$；写下关系 $\sigma(A) = A U_\sigma$ 我们发现

特别是，$x$和$z$属于到$K$，我们有 如果$x \neq 0$我们有$a, = \sigma(b) - b$和$b = x^{-1} y$；如果$z \neq 0$，我们有与$b = z^{-1} t$相同的关系。现在 $x$ 和 $z$ 不能都是零因为