习题 7, § 10

令 N 为域 K 的伽罗瓦扩张，使得 $\mathrm{Gal}(N/K)$ 同构于对称群 $S_n$ (V, p. 59, 例 5)，n 为非素数整数 ； 认同$\mathrm{Gal}(N/K)$和$S_n$。令$\Gamma_1$为阶$(n-1)!$的$S_n$的子群，留下数1不变，并让$\Gamma_2$为循环$(1, 2, ..., n)$生成的阶n的$S_n$的循环子群 （I、p. 142、例 12）。令$E_1, E_2$分别为子群$\Gamma_1, \Gamma_2$的不变量域。证明$E_1$和$E_2$在K上是线性不相交的，除了K和$E_1$之外不存在域F使得$K \subset F \subset E_1$，但是存在不同于$E_2$和N的域$F'$使得$E_2 \subset F' \subset N$（使用I、p. 142的例13和例14、I、p. 143）。