习题 18, § 10

令 K 为域，F 域为有理分式 K(T)。 群 GL2(K) 通过律 (yf)(T) = f $\left( \frac{aT + b}{cT + d} \right)$ 右 F 进行运算，其中 y = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ∈ GL2(K) 且 f ∈ F。 中心 K* 。 GL2(K) 的 I 运算很简单，从而通过商，我们得到 PGL2(K) 的同态 = GL2(K)/K* 。 I 转化为 K 的扩张 F 的自同构群。这个同态是双射的（V，p. 148，例 11）。 a) 令 H 为有限阶 h 的 PGL2(K) 的子群，并令 E 为 H 的不变量的域，因此 F = E(T) 是 E 的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群 H (V, p. 66, Th. 3)。让

是 T 在 E 上的最小多项式。对于每个 i，使得 0 ≤ i ≤ h，S_i(T) ∈ K 或 E = K(S_i(T))。 （使用V、p. 157的例11、a）。） b) 对于每个 s ∈ H，令 $\begin{pmatrix} a_s & b_s \\ c_s & d_s \end{pmatrix}$ 为 GL2(K) 中的代表，并令 H₀ 为 cₛ = 0 的那些 s 的 H 由……组成的子群；设 h₀ = Card H₀ 并设置 R^H(T) = S_{h₀}(T)。证明 E = K(R^H(T)) 且 R^H(T) = P(T)/Q(T)^{h₀}，其中 P 是次数 h 且 Q(T) = $\prod_s (c_s T + d_s)$ 的多项式，其中 s 超过系统与 H₀ 不同的陪集 H₀ 的代表；因此 Q 的次数为 (h/h₀) − 1。 c) 假设有限阶 n 的 K* 包含子群 μₙ。设C，矩阵$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$GL2(K)由……组成子群PGL2(K)中像，a ε μₙ。那么 C, (X) = Xⁿ − Tⁿ 和 R^{Cₙ}(T) = (−1)^{n+1} Tⁿ。 d) 令 w 为由 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 表示的 PGL2(K) 的元素。如果 s 由对角矩阵表示，则 w² = 1 且 wsw⁻1 = s⁻1。由Cₙ生成的PGL2(K)的子群Dₙ，因此w为阶2n。我们有 Dₙ(X) = (Xⁿ − Tⁿ) $\left( X^n - \left( \frac{1}{T} \right)^n \right)$ = X^{2n} + (−1) R^{Dₙ}(T) + 1 其中 R^{Dₙ}(T) = − ((−T)ⁿ + (−T)⁻ⁿ)。

e) 令S为由矩阵$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$的像生成的PGL_2(K)中的阶3中的群。我们有 $S(X) = (X - T) \left( X - \frac{1}{T-1} \right) \left( X - \frac{T+1}{T-1} \right)$ 和 $R^s(T) = \frac{T^3 - 3T + 1}{T^2 - 1}$

f) 假设 K 为有限域，q 元素。令U为所有矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$、$b \in K$中群的PGL_2(K)中的像。然后

设B为$C_{q-1}$和U生成的群；它的大小为阶 q(q - 1)。我们有