习题 5, § 16

设G为群，M a 不一定阿贝尔的群赋予同态$\varphi : G\rightarrow$Aut(M)；对于$g\in G$和$m\in M$，集合$^gm=\varphi (g)(m)$。由M的$H^0(G,M)$子群表示，由G的作用固定元素的由……组成；它的单位元素称为$H^0(G,M)$的标记或区分的元素。对于G中的$g, h$，令$Z^1(G,M)$为映射$c: G\rightarrow M$满足$c(gh) =c(g)^gc(h)$的集合。对于$c\in Z^1(G,M)$和$m\in M$，映射$g\mapsto m c(g) (^gm)^{-1}$属于为$Z^1(G,M)$； $Z^1(G,M)$ 群 M 的定义作用。 商集用$H^1(G,M)$表示；它被赋予了一个标记的元素，即常数映射与值1的类。如果M是阿贝尔的，则集合$H^1(G,M)$重合与习题1中定义的。

a) 设 N 为第二个群，赋予 G 的作用且$u: M\rightarrow N$ 群同态与 G 的作用兼容。对于 $i= 0,1$、定义同态 $H^i(u) : H^i(G,M)\rightarrow H^i(G,N)$，将 $H^i(G,M)$ 的标记元素发送至该$H^i(G,N)$。

b) 设 $0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$ 为群的正合序列，且运算符在 G 中。设 $x''\in H^0(G,M'')$，并设 $x$ 为 M 的元素，使得 $\pi (x) =x''$。证明存在元素 $c'\in Z^1(G,M')$，使得每个$g\in G$都有$\iota \circ c'(g) =g^{-1}c(g)$，并且$H^1(G,M')$中$c'$的类仅依赖于$x''$；我们用$\partial (x'')$表示类。证明序列

是精确的（映射 $G\rightarrow^iF\overset{p}{\rightarrow}E$的序列，其中集合 E 被赋予了标记的元素 $e$，如果 Im($i$) $=p^{-1}(e)$，则在 F 中被称为精确）。

c) 此外，假设$M'$包含在M的中心中。 构造映射$\partial^1: H^1(G,M'')\rightarrow H^2(G,M')$使得单位元素乘以$\partial^1$的逆像等于$H^1(\pi )$的像。 另外，集合$H^1(G,M)$上群$H^1(G,M')$的定义作用，使得两个元素对于这个作用来说是共轭当且仅当它们具有相同的像和$H^1(\pi )$。

d) 令 K 为 K 的交换域、L 有限伽罗瓦扩张和伽罗瓦群 G，以及 $n$ 整数。让G通过设定$^{\sigma}A= (\sigma (a_{ij}))$对$\sigma \in G$和A$= (a_{ij})\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)$作用于群$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)$。从 V, §10, No. 5、p. 64、命题 9 推出集合 $H^1(G,\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$ 减少到 1 个元素（“希尔伯特的 90 定理”）。