a) K 的特征是素数数 p，并且存在整数 f \geq 1 使得 q = p^f。

b) K 的加法群是阶 p 的 f 循环群的直和。

c) K 的乘法群是阶 q - 1 的循环。

由于 Z 无限而 K 有限，唯一的环同态 \varphi : Z \to K 不是单射的，其核是 Z 不等于 0 的素理想。因此 K 的特征是素数数并且 K 是代数超过 p 的域 \mathbf{F}_p 元素（V，p. 2）。令 f 为 K 在 \mathbf{F}_p 上的次数。如果 f 是无限的，对于 \mathbf{F}_p 上的每个整数 n \geq 0 子空间的维数 n 来说，K 就是包含，从而 q \geq p^n，这是荒谬的。因此 f 是有限的。因此 K 的加法群同构于 (\mathbf{F}_p)^f, 从而断言 a) 和 b)。

断言 c) 后面是引理 1 (V, p. 78)。

1 根据章的约定，我们在这里只关注有限的交换域。事实上，每个有限域都是可交换的，正如我们将在章VIII（cf.V，p. 170，习题14）中看到的那样。

对于$K$中的每个$x \neq 0$，我们都有$x^{q-1} = 1$，因为$K^*$是阶$q-1$中的有限群（I，p. 52）。由此可见，$K$中的每个$x$都有$x^q = x$。 $\mathbf{F}_p[X]$的多项式$X^q - X$为次数$q$，并且在$K$、从而中有$q$根

由此立即得出命题2。

设$K'$为$q$元素中的有限域；它的特征是质数数$p'$除$q = p^f$、从而$p' = p$。因此$K'$是$\mathbf{F}_p[X]$（命题2）中多项式$X^q - X$的分裂域，因此$K$和$K'$是同构的（V，p. 22，Cor.）。

当 $K = \mathbf{F}_p$、公式 (1) 约化至关系

在多项式环$\mathbf{Z}[X]$。

公式 (2) 也可以写成

特别是对于 $X = 0$，我们得到 (« Wilson's 公式 »)

现在让L是$\Omega$的子扩展，是次数$m$在$K$上的子扩展。由于向量空间超过$K$，$L$与$K^m$同构的，$q^m$元素也同构。因此，对于所有 $x \in L$（提案 2），我们有 $x^{q^m} = x$，从而 $L \subset K_m$。从$[L : K] = [K_m : K] = m$开始，我们终于有了$L = K_m$。

由此我们证明了断言 a) 和 b) 以及 c) 是微不足道的。

我们知道$K$是$K$的代数闭包（V，p. 22，例2），并且很明显，$\Omega$属于到$K$中单位元的每个根。此外，给定$\overline{K}$中的$x \neq 0$，次数$m$超过$K$，如果$K$有$q$元素，则域$K(x)$有$q^m$，从而 $x^{q^m - 1} = 1$，因此 $x$ 是 $\Omega$ 中单位元的根。

令$p$为素数数，令$\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$为$p$元素的域。我们$\mathbf{F}_p$的选择代数闭包$\Omega$，其存在源于斯坦尼茨的定理（V，p. 23，Th.2）。令 $f$ 为正整数和 $q = p^f$。根据命题 3，存在唯一的子域 $\Omega$，其次数 $f$ 超过 $\mathbf{F}_p$；我们将用$\mathbf{F}_q(\Omega)$或滥用记号$\mathbf{F}_q$来表示它。它是 $\Omega$ 的独特子扩展，其中次数 $f$ 超过 $\mathbf{F}_p$。它是基数$q$的$\Omega$的唯一子域，并且基数$q$的每个域与$\mathbf{F}_q$同构的（不规范）（第2条的Cor.）。我们注，$\mathbf{F}_q$由$\Omega$中的$x$组成，其中$x^q = x$和$F, \subset \mathbf{F}_{q'}$当且仅当$q'$是$q$的幂。

a) 域$\mathbf{K}_m$是$K$的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群是由自同构$\sigma_q : x \mapsto x^q$生成的阶$m$的循环群。

b) 对于$x$的每个$x \in \mathbf{K}_m$范数相对于$K$等于$x^{(q^m - 1)/(q - 1)}$。

c) $K$的每个元素都是$\mathbf{K}_m$的元素的踪迹（或范数）。*

令$\Gamma$为由$\sigma_q$生成的$\mathbf{K}_m$的自同构的循环群。 $\Gamma$的不变量域由$\mathbf{K}_m$的元素$x$组成，使得$x^q = x$等于$K$。因此$\mathbf{K}_m$是$K$的伽罗瓦扩张和伽罗瓦群$\Gamma$，后者的阶等于$[K_m : K] = m$（V，p. 66，Th.3）。因此a)如下。

我们有$\Gamma = \{1, \sigma_q, \sigma_q^2, \ldots, \sigma_q^{m-1}\}$； 范数元素 $x$ $\mathbf{K}_m$ 相对于 $K$ 因此是 $N(x) = \prod_{i=0}^{m-1} \sigma_q^i(x) = x^{1 + q + \cdots + q^{m-1}}$ 并且我们有 $1 + q + \cdots + q^{m-1} = \frac{q^m - 1}{q - 1}$。这证明了b)。设$\xi$为循环群$\mathbf{K}_m^*$的生成元； 范数 $N : \mathbf{K}_m^* \to K^*$的像是元素$\xi = N(\xi) = \xi^{(q^m - 1)/(q - 1)}$生成的子群对$K^*$的循环；因为$\xi$是阶$q^m - 1$，$\xi$是阶$q - 1$，所以生成$K^*$。这证明了 K 的每个非零元素都是 K 的非零元素的范数 ；此外，我们还有$0 = N(0)$。

最后，由于 $K_m$ 是 K 的可分离代数扩张，因此迹在 K 上的向量空间 $K_m$ 上是非零线性形式（V，p. 49，Cor.）；所以K的每一个元素都是$K_m$的元素的迹。

令$\Gamma$为由$\sigma_q$生成的$\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$的子群。对于每个整数$m > 0$，我们对所有$x \in \bar{K}$都有$\sigma_q^m(x) = x^{q^m}$，因此$\sigma_q^m$的固定点的集合等于$K$。从$K \neq \bar{K}$开始，我们有$\sigma_q^m \neq 1$。因此，$\mathbf{Z}$有同构$\pi_0$到$\Gamma$，其中映射1到$\sigma_q$。

$\Gamma$的不变量域由$x \in K$组成，使得$x^q = x$等于$K$。因此 (V, p. 67, 引理 2) 群 $\Gamma$ 在 $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ 中是稠密的。由于有限次数的$\bar{K}$超过$K$的子扩展都是域$K_m$之一，子群$\mathrm{Gal}(\bar{K}/K_m)$形式是邻域的基本系统为1 $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$。显然，$\Gamma \cap \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_m)$是$\sigma_q^m$生成的循环群，因此等于$\pi_0(m\mathbf{Z})$。

从上述$\mathbf{Z}$同构$\pi_0 : \mathbf{Z} \to \Gamma$扩展的注约拓扑以独特的方式到拓扑群$\pi_K : \mathbf{Z} \to \mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$的同构。

设$m \geq 1$为整数；很明显，$\bar{K}$相对于$K$的弗罗贝尼乌斯自同构是$\sigma_q^m$。因此我们得到关系

因此，考虑到V、p. 84的第6号提案：