Bourbaki

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§ 3。代数扩张

1. 代数的代数元素

令 A 为域 K 上的代数以及 A 的 x 元素。可能有两种情况：

a) 单项式族(xn)n∈N(x^n)_{n \in \mathbf{N}}在KK之上是自由的。那么我们说xx超越KK。 xx生成的AA的子代数K[x]K[x]上存在多项式代数K[X]K[X]的同构，而后者在KK上具有无限次数。

b) 存在整数n≥1n \geq 1使得单项式1, x, …, xn−1, xn1,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1},\ x^n线性相关；同样，在 K[X]K[X] 中存在一个多项式 f≠0f \neq 0，使得 f(x)=0f(x) = 0。那么我们说xx是KK的代数。上面的性质中最小的整数n≥1n \geq 1满足称为xx超过KK的次数。如果KK上xx的次数是nn，则单项式1, x, …, xn−11,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1}在KK上线性无关，并且存在KK的元素a0, a1, …, an−1a_0,\ a_1,\ \ldots,\ a_{n-1}，使得

xn=a0+a1x+⋯+an−1xn−1 x^n = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}
首一多项式f(X)=Xn−∑k=0n−1akXkf(X) = X^n - \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k是次数nn在K[X]K[X]中的唯一一元多项式，使得f(x)=0f(x) = 0；它被称为xx超过KK的最小多项式。

定理 1 06HI

— Let AA be an algebra over a field KK, xx an element of AA algebraic over KK, nn the degree and ff the minimal polynomial of xx over KK.

被以下引用 8

被以下引用 定理 1, V § 10, 注, 推论 2, 定理 2, 命题 1, V § 4, 推论 1, V § 7, 推论 3, VIII § 14, Chapter V, § 3, Theorem 1

a) 对于多项式 g∈K[X]g \in K[X] 到满足 g(x)=0g(x) = 0，gg 应该是 ff 的倍数是充分必要的。

b) 映射 g↦g(x)g \mapsto g(x) 定义通过将代数 K[X]/(f)K[X]/(f) 的商同构代入代数 K[x]K[x]，以及元素 1, x, …, xn−11,\ x,\ \ldots,\ x^{n-1} 形式 K[x]K[x] 中的基超过KK。特别是[K[x]:K]=n[K[x]:K] = n。

c) 假设AA为整环。那么K[x]K[x]是域，ff是K[X]K[X]中唯一的一元不可约多项式，使得f(x)=0f(x) = 0。

d) 为了使xx在AA中可逆，f(0)≠0f(0) \neq 0是充分必要的；那么我们就有x−1∈K[x]x^{-1} \in K[x]。

存在唯一代数同态φ:K[X]→A\varphi : K[X] \to A使得φ(X)=x\varphi(X) = x；对于每个P∈K[X]P \in K[X]，我们都有φ(P)=P(x)\varphi(P) = P(x)，并且φ\varphi的像等于K[x]K[x]。设aa为φ\varphi的核：通过构造，xx在KK属于到aa的最小多项式ff，它是次数的最小多项式aa。因此（IVIV，p. 11，命题11）我们有a=(f)a = (f)，从而aa。 断言 bb) 立即从 a) 和 Cor 得出。 IVIV、p. 11第 10 号提案。

假设AA是整环。 代数 K[x]K[x] 那么整环和有限次数超过KK，因此它是域（VV，p. 10，Cor.）。因此，K[x]K[x]的理想(f)(f)是最大的，这意味着ff在K[X]K[X]（IVIV，p. 13）中不可约。最后，令gg为K[X]K[X]中的一调不可约多项式，使得g(x)=0g(x) = 0；由aa）它是ff的倍数，因此g=fg = f，这证明了cc）。

仍有待证明dd）。存在次数n−1n-1的多项式g∈K[X]g \in K[X]和KK的元素aa，使得f(X)=Xg(X)+af(X) = Xg(X) + a、从而f(0)=af(0) = a。如果a=0a = 0，我们有xg(x)=f(x)=0xg(x) = f(x) = 0和g(x)≠0g(x) \neq 0，那么xx在AA中不可逆。另一方面，如果a≠0a \neq 0，则我们有x⋅[−a−1g(x)]=1x \cdot [-a^{-1}g(x)] = 1，因此xx在AA和x−1=−a−1g(x)x^{-1} = -a^{-1}g(x)中可逆。

推论 1 06HJ

— 令 AA 为代数超过域 KK。为了使AA的元素xx成为KK的代数，xx生成的AA的子代数K[x]K[x]应该是有限次数超过KK。特别是，如果AA是有限次数超过KK，则AA的每个元素都是超过KK的代数。

被以下引用 2

被以下引用 命题 3, VIII § 13, 推论 3, VIII § 14

推论 2 06HK

— 设EE为KK的扩张，EE上的AA代数以及KK上的AA代数xx元素。 Then xx is algebraic over EE, the minimal polynomial of xx over EE divides the minimal polynomial of xx over KK and the degree of xx over EE is at most equal to the degree of xx over KK.

引用了 1

引用了 定理 1

For let ff be the minimal polynomial of xx over KK;我们有f(x)=0f(x) = 0和f∈E[X]f \in E[X]，因此xx是EE的代数，ff是xx在EE上的最小多项式的倍数（Th.1，*a*）。

注 06HL

Let EE be an extension of a field KK and xx an element of EE which is root of a monic irreducible polynomial f∈K[X]f \in K[X]. Th。 1, c) 然后表明 ff 是 xx 在 KK 上的最小多项式。

引用了 1

引用了 定理 1

例 1 06HM

在复数C\mathbf{C}的域中，数ii是次数2在素数域Q\mathbf{Q}上的代数；如果f(X)=X2+1f(X) = X^2 + 1，则f(i)=0f(i) = 0，x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 对于所有x∈Qx \in \mathbf{Q}，因此i∉Qi \notin \mathbf{Q}。因此，域Q(i)\mathbf{Q}(i)是扩张 / 次数 2 / Q\mathbf{Q}；它由所有数a+bia + bi组成，其中a,ba, b是有理数。同样，ii是次数2对实数的域R\mathbf{R}的代数，C\mathbf{C}是R\mathbf{R}的次数2的扩张。 \

例 2 06HN

令KK为域且FF域K(X)K(X)有理函数在KK上的一个不定数。设EE为FF中的子域K(X3)K(X^3)；我们有F=E(X)F = E(X)，XX是EE的代数，因为它是环E[Y]E[Y]的多项式Y3−X3Y^3 - X^3的根；这个多项式在 E[Y]E[Y] 中是不可约的，因为在相反的情况下，它将至少有第一个次数中的一个因子，然后将存在两个非零多项式 u(X)u(X)、v(X)v(X) 和 K[X]K[X]，这样 (u(X3))3=X3(v(X3))3(u(X^3))^3 = X^3(v(X^3))^3 是荒谬的，因为如果mm和nn是uu和vv的次数，这意味着9m=9n+39m = 9n + 3或3m=3n+13m = 3n + 1。因此，域FF是次数3除以EE，并且FF的每个元素都可以用一种方式写为线性组合f(X3)+Xg(X3)+X2h(X3)f(X^3) + Xg(X^3) + X^2 h(X^3)，其中f,g,hf, g, h是有理分式的三个K(X)K(X)。

例 3 06HO

\* 在实数的域R\mathbf{R}中，可以证明1^1数π\pi超越素数域Q\mathbf{Q}。 \

2. 代数扩张

定义 1 06HP

— 如果 EE 的每个元素都是超过 KK 的代数，则域 KK 的扩张 EE 被称为代数（超过 KK）。 KK的扩张EE不是代数的，称为超越（超过KK）。

命题 1 06HQ

— 为了使 KK 的扩张 EE 成为代数，EE 的每个子 K 代数 AA 应为域是充分必要的。

1^1 参见。 例 D. Hilbert，Gesammelte Abhandlungen，卷。 1、p. 1（柏林（施普林格），1932 年）。

条件是必要的：如果 EE 是 KK 的代数，且 x≠0x \neq 0 是 EE 的子 K 代数 AA 的元素，则 x−1∈K[x]⊂Ax^{-1} \in K[x] \subset A 乘以 VV、p. 16、Th。 1、d)。因此AA是域。

条件就足够了：如果满足并且xx在EE中是元素≠0\neq 0，则环K[x]K[x]是域，因此x−1∈K[x]x^{-1} \in K[x]；在其他字中，存在多项式g∈K[X]g \in K[X]，使得x−1=g(x)x^{-1} = g(x)，或者还有xg(x)−1=0xg(x) - 1 = 0；这表明xx是KK的代数，因此EE是KK的代数扩张。

命题 2 06HR

— *如果 K 的扩张 E 为有限次数 n，则它是代数且次数超过 E 除 n 的每个元素的 K。

被以下引用 4

被以下引用 命题 3, 命题 1, V § 4, 引理 1, V § 6, 引理 5, V § 6

因为，给定 x∈Ex \in E，[K(x):K][K(x):K] 是有限的，除 n (VV，p. 10，Cor.1)，因此 xx 是 KK (VV，p. 17，Cor.1) 的代数。

对于有限域 (V, p. 24, 注 4) 的例代数闭包，存在无限次代数扩张。

定理 2 06HS

— *令 E 为 K 的有限生成的扩张，由元素 a1,...,ama_1, ..., a_m 生成，它们是 K 上的代数；则 E 是 K 的有限次数扩张。如果 aia_i 次数超过 K(a1,a2,...,ai−1)K(a_1, a_2, ..., a_{i-1}) 是 nin_i（对于 1≤i≤m1 \leq i \leq m），则 E 的次数超过 K 是 n1n2...nmn_1 n_2 ... n_m 和元素 E 比 K 的a1v1a2v2...amvma_1^{v_1} a_2^{v_2} ... a_m^{v_m} (0≤vi≤ni−10 \leq v_i \leq n_i - 1) 形式基。

引用了 2 · 被以下引用 13

引用了 命题 25, II § 1, 定理 1

被以下引用 命题 17, V § 14, 推出 3, V § 16, 习题 1, § 3, 注 1, 注 2, 命题 3, 推论 1, 命题 7, V § 4, 命题 4, V § 5, 命题 2, V § 6, 命题 9, V § 7, 推论 1, V § 9, 定理 1, VIII Appendix 3

K(a1,a2,...,ai)K(a_1, a_2, ..., a_i) 超过K(a1,a2,...,ai−1)K(a_1, a_2, ..., a_{i-1}) 的元素 aivia_i^{v_i} (0≤vi≤ni−10 \leq v_i \leq n_i - 1) 形式基截至 Th。 1、b) VV、p. 16；因此，定理紧随mm上的归纳，来自II、p. 222的第25号提案。

推论 1 06HT

— *设 E 为 K 的扩张和 A 子集的 E 由……组成的元素，它们是 K 上的代数。然后 K(A)K(A) 是 K 上的代数，我们有 K[A]=K(A)K[A] = K(A)。

引用了 1 · 被以下引用 10

引用了 定理 2

被以下引用 定理 5, V § 10, 命题 16, V § 14, 命题 7, V § 14, 推论 2, V § 15, V § 2. 。 扩张, 命题 4, 推论 2, 命题 11, V § 7, 命题 6, V § 7, 定理 3, VIII § 12

对于每个x∈K(A)x \in K(A)属于到域K(F)K(F)，其中F是AA的有限子集（VV，p. 11，Cor.）；现在K(F)K(F)是KK的代数并且等于K[F]K[F]的Th。 2，因此xx是KK和K(A)=K[A]K(A) = K[A]的代数。

推论 2 06HU

— *令L为L的K和E、F子扩展的扩张。如果 F 是 K 上的代数，则 E∪FE \cup F 生成的 L 的子环 K[E,F]K[E, F] 是域，与 E(F)E(F) 一致并且是 E 上的代数。

引用了 1 · 被以下引用 7

引用了 推论 1

被以下引用 引理 1, V § 10, 命题 13, V § 14, 命题 6, V § 14, 命题 10, V § 17, 命题 3, 定理 1（斯坦尼茨）, V § 4, 命题 10, V § 7

对于FF的每个元素，在KK上是代数，在EE上也是代数（VV，p. 17，Cor.2），因此E(F)E(F)是EE的代数扩张，我们有E(F)=E[F]E(F) = E[F]由科. 1.

注 1 06HV

与Th的记号。 2、 E=K[a1,a2,...,an]E = K[a_1, a_2, ..., a_n] 因此 EE 同构于商 K[X1,X2,...,Xm]/aK[X_1, X_2, ..., X_m]/\mathfrak{a}；由于EE是域，aa是K[X1,...,Xm]K[X_1, ..., X_m]的极大理想。

引用了 1

引用了 定理 2

注 2 06HW

令 EE 为 KK 的无限次代数扩张。由 Th. 2 存在EE的无限序列(ai)(a_i)，元素使得ai∉K(a1,a2,...,ai−1)a_i \notin K(a_1, a_2, ..., a_{i-1})； Th。图2进一步表明，K(a1,a2,...,an)K(a_1, a_2, ..., a_n)超过KK的次数取任意大的值。在其他字中，如果E是K的代数扩张，使得有限次数的E的子外延F在K上的次数[F : K]有界，则E是K的有限次数的扩张。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定理 2

被以下引用 定理 2, AC V § 2, 定理 1, V § 7

3. 代数扩张的传递性。 域在扩张域中相对代数封闭

命题 3 06HX

— 令 E 和 F 为域 K 的两个扩张域，使得 K ⊂ E ⊂ F。对于 F 是 K 上的代数，E 应该是 K 上的代数且 F 是 E 上的代数是充分必要的。

引用了 4 · 被以下引用 3

引用了 定理 1, V § 2, 命题 2, 定理 2, 推论 2

被以下引用 命题 1, AC V § 3, 定理 3, AC V § 3, 命题 4

条件是必要的，由V，p. 17，Cor。 2. 让我们证明它是充分的。令x为F的任意元素；它是 E 上的代数；设 g ∈ E[X] 为 E 上的最小多项式。如果 A 是 g 系数的（有限）集合，则 g ∈ K(A)[X]，因此 x 是 K(A) 上的代数，并且 K(A U {x}) = K(A)(x) 是 K(A) 上的有限次数。现在 A ⊂ E 和 E 是 K 上的代数，因此 K(A) 是 K 上的有限次数，乘以 Th。 2. 因此 (V, p. 10, Th. 1), K(A U {x}) 在 K 上为有限次数，这表明 x 在 K 上是代数 (V, p. 18，命题 2)。

定义 2 06HY

— 域 E 的子域 K 被认为在 E 中是相对代数封闭的，如果 E 的每个元素是 K 上的代数，属于到 K。

同样的道理，K 是 E 中包含的 K 的唯一代数扩张。每个域 K 本身都是相对代数封闭的。在§ 4中，我们将研究域，它们在每个扩张域中是相对代数封闭的。

命题 4 06HZ

— 令 E 为域 K 的扩张； E 的元素的集合 L，是 K 上的代数形式 E 的子扩张，在 E 中相对代数封闭。

引用了 2

引用了 命题 3, 推论 1

对于域 K(L) 是 K (Th. 2 的 Cor. 1) 的代数，因此 K(L) ⊂ L；由此可知 K(L) = L 且 L 为域。另一方面，如果 x ∈ E 在 L 上是代数，那么在 K 上也是如此（命题 3），因此属于到 L。

E 的所有元素在 K 上的代数的 K 由……组成扩张 L 称为 K 在 E 中的相对代数闭包；它是E中包含的K的最大的代数扩张。

习题

参见习题为 § 3。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。