a) 如果 u 映射 E 代入 E，则 u 诱导 E 的 K-自同构。

b) 存在扩展 u 的 $\Omega$ 的 K 自同构 v。

假设$u(E) \subset E$；证明a）只要证明$u(E) = E$就足够了。令x为E的元素，f为x在K上的最小多项式，以及fin E的根的$\Phi$集合。集合$\Phi$是有限的，E到E的映射u是单射的，我们有$u(\Phi) \subset \Phi$；因此 $u(\Phi) = \Phi$、从而 $x \in u(\Phi) \subset u(E)$；这表明$E = u(E)$。

显然$\Omega$是E和$u(E)$的代数闭包；因此（V，p. 23，Cor.），E的同构u到$u(E)$扩展到同构$\Omega$的v到$\Omega$。

a) x 和 y 在 K 上共轭。

b) 存在$K(x)$到$K(y)$的K同构o，使得$v(x) = y$。

c) x 和 y 在 K 上具有相同的最小多项式。

首先假设 x 和 y 在 K 上共轭；令 u 为 $\Omega$ 的 K 自同构，使得 $u(x) = y$ 并令 f 为 x 在 K 上的最小多项式。我们有

且$f$是$\mathbf{K}[X]$中的一元不可约多项式；因此 ($V$, p. 16, Th.1, c))，$f$ 是 $y$ 在 $K$ 上的最小多项式。因此a) 意味着c)。

现在假设 $x$ 和 $y$ 在 $K$ 上具有相同的最小多项式 $f$。 There exists a $K$-isomorphism of the field $\mathbf{K}[X]/(f)$ onto $\mathbf{K}(x)$ (resp. onto $\mathbf{K}(y)$) mapping the residue class of $X$ modulo $(f)$ to $x$ (resp. $y$) ($V$, p. 16, Th. 1, b)); hence there exists a $K$-isomorphism $v$ of $\mathbf{K}(x)$ onto $\mathbf{K}(y)$ such that $v(x) = y$. 因此c)意味着b)。

最后，在假设 b)下，命题1暗示存在$\Omega$延伸$v$的$K$自同构$u$；然后我们有$u(x) = y$，因此$x$和$y$是共轭超过$K$，所以b）意味着a）。

令$f$为$x$在$K$上的最小多项式；它的根是$x$在$K$上的共轭，并且每个根都承认$f$是$K$上的最小多项式。现在$x$在$K$上是可分的，当且仅当多项式$f$是可分的（$V$，p. 39，命题5），也就是说，如果$f$在$\Omega$中与$n$不同的根。科。由此得出 2。*

在其他字中，$\Omega$的元素$x$是$K$的p根式当且仅当它除了自身之外没有共轭。

令 $p$ 为特征指数，令 $x \in \Omega$。根据$V$、p. 44、命题13，存在整数$m \geq 0$，使得$y = x^{p^m}$是代数且可在$K$上分离。现在$x$在$G$下不变当且仅当$y$在$G$下不变；由科. 2 当且仅当$y$是次数1除以$K$，即说即$y \in K$时，才是这种情况。现在推论是直接的推论.*

c) 和 d) 的等价源于这样一个事实：E 到 $\Omega$ 的每个 K-同态都是由 $\Omega$ 的 K-自同构引起的（V，p. 52，命题 1）。

通过定义，拟伽罗瓦扩展是其元素的最小多项式族（超过 K）的分裂域，因此 a) 蕴含 e)。在假设 e) 下，令 $u$ 为 $\Omega$ 的自同构；对于每个$i \in I$，$u$排列$f_i$的根的集合$R_i$，从$E = K \left( \bigcup_{i \in I} R_i \right)$开始，我们有$u(E) = E$；因此 e) 意味着 c)。

共轭元素的定义表明c)蕴涵b)。最后假设 b) 成立；令 $f$ 为 $K[X]$ 中的一元不可约多项式，在 E 中至少有一个根 $x$；由于 $\Omega$ 是代数闭集，因此存在 $\Omega$ ($1 \leq k \leq n$) 的元素 $a_k$，使得 $f(x) = \prod_{k=1}^n (X - a_k)$ 并且由于 $a_k$ 是 x 在 K 上的共轭 (V，p. 53，Cor. 1)，他们属于到 E 假设。所以我们已经证明 b) 蕴涵 a)。

这是从第 1 号提案的 a) (V、p. 52) 和第 3 号提案的条件 a) 和 c) 的等价得出的。

我们可以假设$F \subset \Omega$。令$u$为$\Omega$的E自同构。由于$u$是$\Omega$的K-自同构，并且F是K上的拟伽罗瓦，所以我们有$u(F) = F$，因此F是E上的拟伽罗瓦。

令 $w$ 为 $\Omega$ 扩展 $u$ 的 K-自同构（V，p. 52，命题 1）；由于 N 是 K 上的拟伽罗瓦，我们有 $w(N) = N$、从而 $w(E) \subset N$，因此 $w$ 诱导是 N 的 K-自同构 $v$。

令 $(f_i)_{i \in I}$ 为 $K[X]$ 中的非常数多项式族，其 $K$ 上的分裂域为 $E$。那么很明显，$E'$是$(f_i)_{i \in I}$族在$K'$上的分裂域，因此它是$K'$上的拟伽罗瓦。

令$u$为$\Omega$的$K$自同构。对于所有 $i \in I$，我们都有 $u(N_i) = N_i$，因此我们获得等式 $u(N) = N$ 和 $u(M) = M$；现在命题遵循 Cor. 1（V，p. 54）。

令$A$为$\Omega$元素集合，令$B$为$\Omega$元素集合，即$A$元素共轭；换句话说，如果$G$是$K$的群-$\Omega$的自同构，我们有$B = \bigcup_{u \in G} u(A)$。对于每个$u \in G$，我们有$u(B) = B$从而$u(K(B)) = K(B)$。因此 $K(B)$ 是 $K$ 包含于 $A$ 的拟伽罗瓦扩展，直接的 $K$ 包含于 $A$ 包含的每个拟伽罗瓦扩展 $N$ $B$，因此$K(B)$。我们可以说$K(B)$是由$A$生成的拟伽罗瓦扩展。当$A$是$K$的扩张时，这个定义尤其适用。

下一个命题直接接在前一个注之后。