a) K 上的 L 的次数是有限的。

b) A 存在非零元素 $a$，使得 K 等于 $A[a^{-1}]$。

令 S 为生成子集 / A-代数 L。我们使用归纳法在S枢机主教上。

首先，假设 S 的元素都是 K 上的代数。那么 K 上的 L 的次数是有限的（V, §3, No. 2、p. 18、定理 2）。令$(e_i)_{i\in I}$为K上L的基。存在A的非零元素$a$，使得S的元素、元素1和元素$e_ie_j$相对于该基的坐标为$i,j$在I属于到$A[a^{-1}]$。 线性组合 $\sum_{i\in I}a_ie_i$ 的集合加上每个 $i$ 的 $a_i\in A[a^{-1}]$ 则为 L 的子环。 包含 A 和 S 乘以构造，因此等于 L。特别是包含$Ke_1$，所以K等于$A[a^{-1}]$。

现在假设S的元素$s$超越K。用环$A[s]$的分数的E域来表示。 $A[s$]-代数L由S$-\{s\}$生成。到归纳假设，存在非零的多项式$P\in A[X]$，使得E等于$A[s][P(s)^{-1}]$。令 $\overline{K}$ 为 K (V, §4, No. 3, p. 23, 定理 2) 的代数闭包。由于域$\overline{K}$是无限的（V, §4, No. 1，p. 20，命题3），因此$\overline{K}$存在元素$x$使得$P(x)\not= 0$。令$\varphi : E\rightarrow K$为唯一同态，从K-代数$E = A[s][P(s)^{-1}]$到K-代数$\overline{K}$，将$s$发送到$x$。这是荒谬的，因为 E 是 K 的超越扩张，而 $\overline{K}$ 是 K 的代数扩张。这完成了定理的证明。

a) K 上的 $A/\mathfrak{m}$ 的次数是有限的。

b) 令Ω为K的代数闭扩张。从A到Ω存在K-代数同态，且核$\mathfrak{m}$。

K-代数$A/\mathfrak{m}$由有限多个元素生成，$A/\mathfrak{m}$是域。通过定理 1，$A/\mathfrak{m}$的次数是有限的； 断言a)如下。 有限次数的 K 的每个扩张同构于 Ω 的子扩张 (V, §4, No. 1, p. 20, 定理 1);这给出了b)。

(i) 多项式 $P_i$ 在 $\Omega^n$ 中没有公共零点。

(ii) 存在一个族$(Q_i)_{i\in I}$，其中有限支撑，元素，$K[X_1, . . . ,X_n]$，使得$\sum_{i\in I}P_iQ_i= 1$。

用 A 环 $K[X_1, . . . ,X_n]$ 和 $\mathfrak{a}$ 表示由多项式 $P_i$ 生成的理想值。 条件(i)表示从$A/\mathfrak{a}$到Ω不存在K-代数同态。如果满足，则根据推论1，环$A/\mathfrak{a}$没有极大理想，因此为零，并且1属于到$\mathfrak{a}$。这证明(i)蕴含(ii)。 (ii) $\Rightarrow$ (i) 的含义是明确的。