每基 $(w_1, . . . , w_{n-1})$ W。

A) $\omega :$ 的唯一性令 $\omega$ 为 Ω(V) 的元素。令$(v_1, . . . , v_n)$为V的基，令$\mu_1, . . . , \mu_n$为$e$在此基中的坐标。用整数的 I 集合表示从 1 到 $n$（含），使得 $\mu_i\not= 0$；它不是空的。设$i$为I中的元素。 序列$(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$是V的基，并且由于$e-v_i\mu_i$是序列$(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n)$的线性组合，所以公式(6)意味着

从公式 (1) 和 (3) 可以看出，等式的左侧等于 $\pi (-1)^{n-i}\pi (\mu_i)\omega (v_1, . . . , v_n)$。用V的$p$投影算子和像W和核$eD$表示。 向量$v_j-p(v_j)$与$e$成正比，重复应用公式(6)可知公式(8)的右边等于$\omega (p(v_1), . . . ,\widehat{p}(v_i), . . . , p(v_n), e)$。

由此可见，如果 $\omega$ 满足关系 (7)，那么我们有

对于I中的每个$i$，这证明唯一性等于$\omega$。

B) $\omega :$ 的构造令$(v_1, . . . , v_n)$ 为V 的基；我们定义$\mu_1, . . . , \mu_n$和I如上所述。对于I中的每个$i$，假设$\mu_i\not= 0$意味着序列$(v_1, . . . ,\widehat{v}_i, . . . , v_n, e)$生成空间V，所以序列$(p(v_1), . . . ,\widehat{p}(v_i), . . . , p(v_n))$生成空间$W =p(V)$。在其他字中，最后一个序列是W的基，并且

定义元素共$D^*_{ab}$。

令$i$和$j$为I中的两个元素，使得$i < j$；让我们证明等式$t_i=t_j$。通过定义，向量$v_i\mu_i+v_j\mu_j-e$是$k$的向量$p(v_k)$中的线性组合，与$i$和$j$不同。因而，对于$k$，$p(v_i)\mu_i+p(v_j)\mu_j$ 是向量 $p(v_k)$ 的线性组合，与$i$ 和$j$ 不同。到公式 (6)，我们有

由应用公式 (1) 和 (3)，我们推出

因而$t_i=t_j$。

证明了这一点，我们将I中$i$的$t_i$的公共的值视为定义$\omega (v_1, . . . , v_n)$。因此，我们从 B(V) 到$D^*_{ab}$构造了映射$\omega$，满足关系(9)。设$(w_1, . . . , w_{n-1})$为W的基；如果我们对$1\leqslant i\leqslant n-1$和$v_n=e$进行集合$v_i=w_i$，那么我们就有$I =\{n\}$和$\mu_n= 1$。此外，对于$1\leqslant i\leqslant n-1$，我们还有$p(v_i) =w_i$，而公式$\omega (w_1, . . . , w_{n-1}, e) =\varphi (w_1, . . . , w_{n-1})$是（9）的一个特例。

我们现在必须证明 $\omega$ 属于到 Ω(V)。

C)公式的证明 (1)：令$\lambda_1, . . . , \lambda_n$为$D^*$的元素，且$(v_1, . . . , v_n)$为V的基。我们定义$\mu_1, . . . , \mu_n$和I如上所述。 选择 $i$ I。由于我们有 $e=\sum^n_{j=1}(v_j\lambda_j)(\lambda^{-1}_j\mu_j)$，公式 (9) 意味着

但我们有 $\pi (\lambda^{-1}_i\mu_i)^{-1}=\pi (\mu_i)^{-1}\pi (\lambda_i)$ 并且

比较公式 (9) 和 (11) 得到所需的关系

D) 公式证明 (2): 设$(v_1, . . . , v_n)$为V的基，且$i, j$为区间$[1, n]$中的两个不同整数；我们定义$\mu_1, . . . , \mu_n$为之前。考虑$v'_i=v_i+v_j$和$v'_k=v_k$对$k\not=i$定义的V的基$(v'_1, . . . , v'_n)$，让我们介绍$e$相对于这个基的坐标$\mu'_1, . . . , \mu'_n$；他们满足$\mu'_j=\mu_j-\mu_i$和$\mu'_k=\mu_k$$k\not=j$。我们集合$t=\omega (v_1, . . . , v_n)$和$t'=\omega (v'_1, . . . , v'_n)$。我们必须证明认为$t$和$t'$是相等的。

让我们首先注，通过$\omega$的定义，我们有

对于每个$k$，使得$\mu_k$和$\mu'_k$是非零的。

a) 如果$\mu_i\not=0$，则序列、$(p(v_1), . . . ,\widehat{p(v_k)}, . . . , p(v_n))$和$(p(v'_1), . . . ,\widehat{p(v'_k)}, . . . , p(v'_n))$相等，并且我们有$\mu_i$ = $\mu'_i$，因此$t=t'$。

b) 如果存在与$i$和$j$不同的指标$k$使得$\mu_k\not= 0$，那么对于$l\not=i$和$p(v'_i) =p(v_i) +p(v_j)$我们有$p(v'_l) =p(v_l)$。 元素$p(v_i)$和$p(v_j)$均为属于至序列$(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_k), . . . , p(v_n))$。从 $\varphi$ 属于到 Ω(W)，公式 (2) of VIII、p. 447 适用；它给了

但我们还有 $\mu_k=\mu'_k$，因此也有 $t=t'$。

c) 当唯一的指标$k$使得$\mu_k\not= 0$是$j$时，仍然需要检查这种情况。然后我们就有$\mu'_j=\mu_j,e=v_j\mu_j$和$p(v_j) = 0$。 集合$k=j$在公式（12）和（13）中。由于序列 $(p(v_1), . . . ,p(\widehat{v}_j), . . . , p(v_n))$ 和 $(p(v'_1), . . . ,p(\widehat{v}'_j), . . . , p(v'_n))$ 相等，因此我们有 $t=t'$。

让我们用归纳在$n$上证明这个推论。如果$n= 0$，那么V中唯一的基是空的，所以断言为真。现在假设$n\geqslant 1$；表示由$e_1, . . . , e_{n-1}$生成的V的W子空间。到命题 1，存在从 Ω(V) 到 Ω(W) 满足的双射 Λ

对于 W 的每基 $(w_1, . . . , w_{n-1})$ 和 Ω(V) 中的每 $\omega$。到归纳假设时，存在 Ω(W) 的唯一元素 $\varphi$，使得 $\varphi (e_1, . . . , e_{n-1}) =t$。 关系 $\omega (e_1, . . . , e_n) =t$，对于 Ω(V) 中的 $\omega$，相当于 $\Lambda (\omega ) =\varphi$。推论 1 如下。

(15)$\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$（不含$u$）$\omega (v_1, . . . , v_n)$

对于V的每个基$(v_1, . . . , v_n)$和Ω(V)中的每个$\omega$。

b) 映射 $u\mapsto$ 从 $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ 到 $D^*_{ab}$ 的 $u$ 为群同态。

设 $\omega_0$ 为 Ω(V) 的元素。 映射$(v_1, . . . , v_n)\mapsto$$\omega_0(u(v_1), . . . , u(v_n))$从B(V)到$D^*_{ab}$属于到Ω(V)。根据VIII、p. 451的推论2，存在$D^*_{ab}$的唯一元素$t$，使得我们有

对于 B(V) 中的 $(v_1, . . . , v_n)$。如果 $\omega$ 是 Ω(V) 的另一个元素，则存在 $D^*_{ab}$ 的元素 $s$，使得

对于 V 中的每基 $(v_1, . . . , v_n)$（前述）。我们立即推导出关系

这证明了a）； 断言 b) 是 a) 的直接的推论。

（16）det（$B_{ij}(1)$）$= 1$

对于 $i\not=j$ 和

(17) det(诊断($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$,

$\lambda_1, . . . , \lambda_n\in D^*$

设 A 为 $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ 的元素，$a_1, . . . , a_n$ 为其列。我们有

检测（A）$=\omega_0(a_1, . . . , a_n)$。

现在，矩阵 A diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$) 的列为 $a_1\lambda_1, . . . , a_n\lambda_n$，因此矩阵 AB$_{ij}(1)$ 的$a_1, . . . , a_j+a_i, a_{j+1}, . . . , a_n$。由于$\omega_0$是$\Omega (D^n_d)$的唯一元素使得$\omega_0(\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n) = 1$，我们看到行列式是满足关系的唯一映射$\varphi :\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$

(18) $\varphi ($A 诊断($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\varphi ($A$)\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$,

(19) $\varphi ($AB$_{ij}(1)) =\varphi ($A) $i\not=j$，

这首先证明行列式映射满足关系（16）和（17）。我们已经知道这个映射是从$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$到$D^*_{ab}$的同态。相反，如果 $\varphi$ 是从 $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ 到 $D^*_{ab}$ 的同态，使得 $\varphi (B_{ij}(1)) = 1$ 对于 $i\not=j$ 和 $\varphi$(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1\cdots \lambda_n)$，则 $\varphi$ 满足关系 (18) 到 (20)，因此等于 det。

a) $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$的子群$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$由矩阵$B_{ij}(\lambda )$生成，其中$i$和$j$是不同整数在区间$[1, n]$和$\lambda$穿过D。

b) 假设 $n\geqslant 3$ 或 Card(D) $\geqslant 3$。 $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$的导出群等于$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$。

c) 假设 $n\geqslant 3$ 或 Card(D) $\geqslant 4$。 $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$的导出群等于$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$。

A) 用矩阵$B_{ij}(\lambda )$生成的$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$的T子群表示。到 VIII、p. 454 的例 1 时，我们得到 det($B_{ij}(\lambda )$) $= 1$，因此有 $T\subset \mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$。为了证明这两个群相等，只需 loc 的例 3 即可。引证，证明形式 diag(1$, . . . ,1, d$) 的每个矩阵以及 $\pi (d) = 1$ 属于到 T。 矩阵 diag(1$, . . . ,1, d$) 属于到像同态$U\mapsto \begin{pmatrix} I_{n-2} & 0 \\ 0 & U \end{pmatrix}$从$\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$到$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$；因此，考虑$n= 2$的情况就足够了。由于$\pi$的核是$D^*$的导出群，我们可以假设$d=uvu^{-1}v^{-1}$和$u, v$在$D^*$中。然后我们的断言由等式得出

(28) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v^{-1} & 0 \\ 0 & v \end{pmatrix}\begin{pmatrix} vu & 0 \\ 0 & u^{-1}v^{-1} \end{pmatrix}$

和

(29) $\begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s^{-1} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-s & 1 \end{pmatrix}$

$s\in D^*$。

B) 通过构造，$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$是从$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$到可交换的群的同态的核，所以它是$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$的包含导出群$(\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D),\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D))$。综上所述，我们有

为了证明c)，只要证明矩阵$B_{ij}(\lambda )$是$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$中的换位子即可。

假设$n\geqslant 3$。如果$i,j,k$在区间$[1, n]$中是不同整数并且$\mu, \nu$是D的元素，那么我们有

通过取$\mu= 1$和$\nu =\lambda$，我们可以看到矩阵$B_{ij}(\lambda )$是$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$的元素的换位子。

现在假设$n= 2$。设$u$和$v$为D与$u\not= 0$的元素。我们有关系

(31) $\begin{pmatrix} 1 & v-uvu \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和

(32)$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v-uvu & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u^{-1} & 0 \\ 0 & u \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v & 1 \end{pmatrix}$。

我们有 det $\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^{-1} \end{pmatrix}$ = 1，所以矩阵 $B_{12}(v-uvu)$ 和 $B_{21}(v-uvu)$ 是 $\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$ 的元素的换位子。

假设域 D 至少有四个元素。设$\lambda$为D的元素。如果$\lambda$等于0、1或$-1$，则选择为$D-\{0,1,-1\}$中的任意元素$u$；否则，集合$u=\lambda$。在这两种情况下，$u$是D的非零元素，它与$\lambda$交换，我们有$u^2\not= 1$。 集合$v=\lambda (1-u^2)^{-1}$。我们有$uv=vu$，因此有$v-uvu=v(1-u^2) =\lambda$。然后从关系(31)和(32)得出矩阵$B_{12}(\lambda )$和$B_{21}(\lambda )$是$\mathbf{S}\mathbf{L}_n(D)$中的换位子。这样就完成了 c) 的证明。

C) 当D有三个元素时，还需要证明$\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$是$\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$中的导出群。由A)，群$\mathbf{S}\mathbf{L}_2(D)$由矩阵$B_{12}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$和$B_{21}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$生成，而这些矩阵是$\mathbf{G}\mathbf{L}_2(D)$的元素换位子，因为我们有$B_{21}(1) =^tB_{12}(1)$和

(33)$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$。