习题 2, 附录 2

设D为局部环；我们用D的可逆元的$D^*$群表示，$D^*_{ab}$表示$D^*$与其导出群的商，并用$\pi : D^*\rightarrow D^*_{ab}$典范同态表示。让V成为有限维$n$的免费右D-模。我们用V的基的B(V)集合和映射$\omega : B(V)\rightarrow D^*_{ab}$满足的Ω(V)集合表示以下两个条件：

(i) 对于$D^*$和$(v_1, . . . , v_n)\in B(V)$中的$\lambda_1, . . . , \lambda_n$，我们有$\omega (v_1\lambda_1, . . . , v_n\lambda_n) =$$\omega (v_1, . . . , v_n)\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$。

(ii) 对于$i\not=j$和$\lambda \in D$，我们有$\omega (v_1, . . . , v_i+v_j\lambda , . . . , v_n) =\omega (v_1, . . . , v_n)$。 a) 令$e$为V中的元素，并且将V中的W子模作为$eD$的补充。令 $\varphi \in \Omega(W)$；证明存在 Ω(V) 满足唯一元素 $\omega$

对于 W 的每个基 $(w_1, . . . , w_{n-1})$（调整命题 1 的证明）。

b) 推断给定Ω(V)的两个元素$\omega$和$\omega '$，存在$D^*_{ab}$的唯一元素$t$，使得我们有$\omega '=t\omega$。

c) 设 $u$ 为 V 中的自同构。证明$D^*_{ab}$存在唯一元素，用det $u$表示，这样对于V的每个基 $(v_1, . . . , v_n)$和每个元素，我们都有$\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$ (det $u$)$\omega (v_1, . . . , v_n)$ $\omega$ Ω(V)。从$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$到$D^*_{ab}$的映射$u\mapsto$从$u$是群同态。

d) 取$V = D^n_d$，使得$\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$与阶$n$的可逆方阵的群$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$等同。证明映射 det$:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$ 是唯一群同态，其中矩阵 $B_{ij}(\lambda ) (i\not=j,\lambda \in D)$ 上的值 1，并且满足 det(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$ 对于 $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ $D^*$。

e) 将 No.4 的例 2 至 6 调整为设定。