Exercice 2, Annexe 2

Soit D un anneau local ; on note encore $D^*$ le groupe des éléments inversibles de $D, D^*_{ab}$ le quotient de $D^*$ par son sous-groupe dérivé, et $\pi : D^*\rightarrow D^*_{ab}$ l’homomorphisme canonique. Soit V un D-module à droite libre, de dimension finie $n$. On note B(V) l’ensemble des bases de V et Ω(V) l’ensemble des applications $\omega : B(V)\rightarrow D^*_{ab}$ satisfaisant aux deux conditions suivantes :

(i) Pour $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ dans $D^*$ et $(v_1, . . . , v_n)\in$ B(V), on a $\omega (v_1\lambda_1, . . . , v_n\lambda_n) =$ $\omega (v_1, . . . , v_n)\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$;

(ii) Pour $i\not=j$ et $\lambda \in D$, on a $\omega (v_1, . . . , v_i+v_j\lambda , . . . , v_n) =\omega (v_1, . . . , v_n)$.

a) Soient $e$ un élément de V et W un sous-module de V supplémentaire de $eD$. Soit $\varphi \in \Omega (W)$; prouver qu’il existe un unique élément $\omega$ de Ω(V) satisfaisant à

pour toute base $(w_1, . . . , w_{n-1})$ de W (adapter la démonstration de la prop. 1).

b) En déduire qu’étant donnés deux éléments $\omega$ et $\omega '$ de Ω(V), il existe un unique élément $t$ de $D^*_{ab}$ tel qu’on ait $\omega '=t\omega$.

c) Soit $u$ un automorphisme de V. Démontrer qu’il existe un unique élément de $D^*_{ab}$, noté det $u$, tel qu’on ait $\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$ (det $u$)$\omega (v_1, . . . , v_n)$ pour toute base $(v_1, . . . , v_n)$ de V et tout élément $\omega$ de Ω(V). L’application $u\rightarrow$ det $u$ de $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ dans $D^*_{ab}$ est un homomorphisme de groupes.

d) On prend $V = D^n_d$, de sorte que $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ s’identifie au groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ des matrices carrées d’ordre $n$ inversibles. Démontrer que l’application det$:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$ est l’unique homomorphisme de groupes prenant la valeur 1 sur toutes les matrices $B_{ij}(\lambda ) (i\not=j$, $\lambda \in D)$ et satisfaisant à det(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$ pour $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ dans $D^*$.

e) Adapter à ce cadre les exemples 2 à 6 du n$^o4$.