Bài tập 2, Phụ lục 2

Cho D là một vành địa phương; ta ký hiệu bởi $D^*$ nhóm các phần tử khả nghịch của D, bởi $D^*_{ab}$ thương của $D^*$ theo nhóm dẫn xuất của nó, và bởi $\pi : D^*\rightarrow D^*_{ab}$ đồng cấu chính tắc. Cho V là một D-môđun phải tự do có số chiều hữu hạn $n$. Ta ký hiệu bởi B(V) tập hợp các cơ sở của V và bởi Ω(V) tập hợp các ánh xạ $\omega : B(V)\rightarrow D^*_{ab}$ thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) Với $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ trong $D^*$ và $(v_1, . . . , v_n)\in B(V)$, ta có $\omega (v_1\lambda_1, . . . , v_n\lambda_n) =$ $\omega (v_1, . . . , v_n)\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$.

(ii) Với $i\not=j$ và $\lambda \in D$, ta có $\omega (v_1, . . . , v_i+v_j\lambda , . . . , v_n) =\omega (v_1, . . . , v_n)$. a) Cho $e$ là một phần tử của V và W là một môđun con của V bù với $eD$. Cho $\varphi \in \Omega(W)$; chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $\omega$ của Ω(V) thỏa mãn

với mọi cơ sở $(w_1, . . . , w_{n-1})$ của W (hãy phỏng theo chứng minh của Mệnh đề 1).

b) Suy ra rằng với hai phần tử bất kỳ $\omega$ và $\omega '$ của Ω(V), tồn tại một phần tử duy nhất $t$ của $D^*_{ab}$ sao cho ta có $\omega '=t\omega$.

c) Cho $u$ là một tự đẳng cấu của V. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất của $D^*_{ab}$, ký hiệu là det $u$, sao cho ta có $\omega (u(v_1), . . . , u(v_n)) =$ (det $u$)$\omega (v_1, . . . , v_n)$ với mọi cơ sở $(v_1, . . . , v_n)$ của V và mọi phần tử $\omega$ của Ω(V). Ánh xạ $u\mapsto$ det $u$ từ $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ đến $D^*_{ab}$ là một đồng cấu nhóm.

d) Lấy $V = D^n_d$, sao cho $\mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ được đồng nhất với nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)$ các ma trận vuông khả nghịch cấp $n$. Chứng minh rằng ánh xạ det$:\mathbf{G}\mathbf{L}_n(D)\rightarrow D^*_{ab}$ là đồng cấu nhóm duy nhất có giá trị 1 trên mọi ma trận $B_{ij}(\lambda ) (i\not=j,\lambda \in D)$ và thỏa mãn det(diag($\lambda_1, . . . , \lambda_n$)) $=\pi (\lambda_1. . . \lambda_n)$ với $\lambda_1, . . . , \lambda_n$ trong $D^*$.

e) Thích nghi các Ví dụ 2 đến 6 của No. 4 với bối cảnh này.