§ 10. 。矩阵

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 10。矩阵

1. 定义共矩阵

定义 1 05WH

令 $I, K, H$ 为三集合；型 $(I, K)$ 矩阵且 $H$ 中元素（或型 $(I, K)$ 矩阵超过 $H$ ）是 $H$ 元素 $M = (m_{i\kappa})_{(i, \kappa) \in I \times K}$ 的任何家庭，其索引集合为乘积 $I \times K$ 。对于所有 $i \in I$ ，族 $(m_{i\kappa})_{\kappa \in K}$ 称为指标 $i$ 的 $M$ 行；对于所有 $\kappa \in K$ ， $(m_{i\kappa})_{i \in I}$ 家族被称为指标 $\kappa$ $M$ 列。

如果 $I$ （或 $K$ ）是有限的，则 $M$ 被称为矩阵，且行数有限数（或列）。 $H$ 以上的型 $(I, K)$ 矩阵的集合被识别为乘积 $HI^{I \times K}$ 。

名称“row”和“列”源自以下事实：在 $I$ 和 $K$ 是 $\mathbf{N}$ 的间隔 $[1, p], [1, q]$ 的情况下，矩阵的元素被设想为具有 $p$ 行的矩形阵列中的集合（水平排列）和 $q$ 列（垂直排列）：

\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & \cdots & m_{1q} \\ m_{21} & m_{22} & \cdots & m_{2q} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ m_{p1} & m_{p2} & \cdots & m_{pq} \end{pmatrix}

当 $p$ 和 $q$ 明确整数足够小以使其可行时，按照惯例，上述数组是有效表示所讨论的矩阵的符号；这个记号使我们能够免除使用指标，可以理解，元素的指标是由它在数组中的位置决定的；对于例，当我们谈到矩阵时

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}

我们的意思是矩阵 $(m_{ij})_{1 \leq i < 2, 1 \leq j < 3}$ 这样

m_{11} = a,\ m_{12} = b,\ m_{13} = c,\ m_{21} = d,\ m_{22} = e,\ m_{23} = f.

如果不引起混淆，我们也可以说型 $(p, q)$ 的矩阵，或者矩阵 $p$ 行和 $q$ 列，而不是型 $([1, p], [1, q])$ 的矩阵；型 $(p, q)$ 的矩阵超过 $H$ 的集合是有时，用 $\mathbf{M}_{p, q}(H)$ 表示。

$H$ 上的每个矩阵，其索引集合 $I, K$ 之一为空，与 $H$ 的元素的空族相同；又名空矩阵。当 $I = \{i_0\}$ （或 $K = \{k_0\}$ ）是单个元素的集合由……组成时， $M$ 称为行矩阵（或列矩阵）和行（或矩阵）。列)指标可以在记号中被抑制；当 $I$ 和 $K$ 都是集合和一个元素时，型 $(I, K)$ 中的矩阵常常被识别为这个矩阵中的唯一元素。

A subfamily $M' = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in J \times L}$ of a matrix $M = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in I \times K}$ , whose indexing set is the product of a subset $J$ of $I$ and a subset $L$ of $K$ , is called a submatrix of the matrix $M$ ; it is said to be obtained by suppressing in $M$ the rows of index $\iota \notin J$ and the columns of index $\kappa \notin L$ ; conversely, $M$ is said to be obtained by bordering $M'$ with the rows of index $\iota \notin J$ and the columns of index $\kappa \notin L$ .

定义 2 05WI

矩阵* $M = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in I \times K}$ 的转置，*由* $^tM$ 表示，*是矩阵* $(m'_{\kappa \iota})_{(\kappa, \iota) \in K \times I}$ 超过 $H$ 由 $m'_{\kappa \iota} = m_{\iota \kappa}$ 对于所有 $(\iota, \kappa) \in K \times L$ 给出。

由此定义可得出型 $(I, K)$ 的矩阵转置是型 $(K, I)$ 的矩阵并且

(1)

^t(^tM) = M.

2. 矩阵超过可交换性群

令 $G$ 为交换律群（加法写）。矩阵的集合在 $G$ 上，给定索引集合 $I, K$ ，有一个*可交换的群* 结构，因为它是从 $I \times K$ 到映射的集合 $G$ ；这个群是相加写的，所以如果 $M = (m_{\iota \kappa})$ 和 $M' = (m'_{\iota \kappa})$ 是它的元素中的两个，那么

M + M' = (m_{\iota \kappa} + m'_{\iota \kappa});

因此，这个群中的单位元素是矩阵，其所有元素都是*零*（称为*零矩阵*）。显然 (2)

^t(M + M') = ^tM + ^tM'.

因此，仅当行的索引集合和列对于两个矩阵相同时，才定义两个矩阵的和。

令 $H', H''$ 为两个集合， $G$ 一个可交换的群（相加地写）以及从 $H' \times H''$ 到 $G$ 的 $f : (h', h'') \mapsto h'h''$ 映射。给定两个矩阵

M' = (m'_{ik})_{(i, k) \in I \times K}, \quad M'' = (m''_{kl})_{(k, l) \in K \times L}

分别超过

H'

和

H''

，使得

M'

的列的索引集合

K

是*有限*并且等于

M''

的行的索引集合、*

M'

的*乘积和

M''

经由

f

，用

M'M''

或

f(M', M'')

表示，为矩阵 (3)

\left( \sum_{k \in K} m'_{ik} m''_{kl} \right)_{(i, l) \in I \times L}

超过

G

。

上述定义假设 $M'$ 的列的索引集合等于 $M''$ 的行的索引集合；特别是乘积 $M''M'$ 如果 $I \neq L$ 则没有任何意义。在公式 (3) $M'$ 图的*同*行的元素乘以右侧 $M''$ 的*同*列的元素；据说乘法是“按列排列”。

令 $f^0$ 为 $H'' \times H'$ 至 $G$ 中的映射 $(h'', h') \mapsto h'h''$ ；从定义可以立即得出

t(M'M'') = tM''.tM'

其中左侧（或右侧）的乘积是通过

f

（或通过

f^0

）计算的。

当 $H'$ 和 $H''$ 本身是可交换的群（相加）且 $f$ 是 $\mathbf{Z}$ -*双线性* (§ 3, no. 1) 时，分配律公式

\begin{cases} (M' + N')M'' = M'M'' + N'M'' \\ M'(M'' + N'') = M'M'' + M'N'' \end{cases}

立即验证，索引集合使得和和乘积出现被定义。

现在让 $H_1, H_2, H_3, H_{12}, H_{23}$ 和 $H$ 可交换群（相加）， $f_{12}:H_1 \times H_2 \to H_{12}, f_{23}:H_2 \times H_3 \to H_{23}$ 映射和

f_3:H_{12} \times H_3 \to H, \quad f_1:H_1 \times H_{23} \to H

\mathbf{Z}

-双线性映射；进一步假设，对于所有

x_i \in H_i \ (i = 1, 2, 3)

f_3(f_{12}(x_1, x_2), x_3) = f_1(x_1, f_{23}(x_2, x_3))

（也可以写成上面

(x_1 x_2)x_3 = x_1(x_2 x_3)

）；那么，如果

M' = (m'_{rs}), M'' = (m''_{st}), M''' = (m'''_{tu})

分别大于

H_1, H_2, H_3

矩阵，

(M'M'')M''' = M'(M''M'''')

当定义了两侧的乘积（分别通过

f_{12}, f_3, f_{23}

和

f_1

计算）时；为了

\sum_t \left( \sum_s m'_{rs} m''_{st} \right) m'''_{tu} = \sum_t \sum_s (m'_{rs} m''_{st}) m'''_{tu} = \sum_s \sum_t m'_{rs} (m''_{st} m'''_{tu})

= \sum_s m'_{rs} \left( \sum_t m''_{st} m'''_{tu} \right)

凭借所做的假设。

(6)的两边也用 $M'M''M'''$ 表示。对于三个以上因子中的乘积也有类似的约定。

注 05WJ

以上公式扩展为更一般的情况。准确地说：

(a) 假设 $H = \bigcup_{(\iota, \kappa) \in I \times K} G_{\iota \kappa}$ ，其中每个 $G_{\iota \kappa}$ 是可加写的交换律群；那么对于每个有序对 $(\iota, \kappa)$ 、 $m_{\iota \kappa} \in G_{\iota \kappa}$ 和 $m'_{\iota \kappa} \in G_{\iota \kappa}$ ，可以定义和 $M + M'$ 。

(b) 设I、K、L为三个集合，假设K是有限的，并令 $H' = \bigcup_{(i, k) \in I \times K} H'_{ik}$ 、 $H'' = \bigcup_{(k, l) \in K \times L} H''_{kl}$ 、 $H = \bigcup_{(i, l) \in I \times L} H_{il}$ 为三个集合；假设每个 $H_{il}$ 都是一个可加的交换律群，并且对于每个三元组 $(i, k, l)$ 让

f_{ikl}: H'_{ik} \times H''_{kl} \to H_{il}

是映射。然后，如果

M' = (m'_{ik})_{(i, k) \in I \times K}

，

M'' = (m''_{kl})_{(k, l) \in K \times L}

是矩阵，使得

m'_{ik} \in H'_{ik}

和

m''_{kl} \in H''_{kl}

对于所有

i, k, l

，我们可以通过

f_{ikl}

得到定义乘积

M'M''

。我们留给读者写下类似于（4）、（5）和（6）的证明公式的任务。

3. 矩阵超过环

数学中最重要的矩阵是矩阵超过环A。矩阵超过相应的的集合 $A^{I \times K}$ 到索引集合I，K则具有规范的（A，A）双模结构（§ 1, no. 14）。

对于每个有序对 $(i, k) \in I \times K$ ，令 $E_{ik}$ 为矩阵 $(a_{jl})$ ，使得 $a_{ik} = 1$ 和 $a_{jl} = 0$ 对应 $(j, l) \neq (i, k)$ ； $E_{ik}$ 在矩阵 $A^{I \times K}$ 的集合中称为矩阵单位；如果 I 和 K 是有限的，则它们集合的左侧为形式典范基或右A-模结构 (§ 1, no. 11)。显然

tE_{ik} = E_{ki}.

除非另外提到，A上的两个矩阵的乘积 $M'M''$ （假设已定义）将始终被理解为相对于A中的乘法 $(x, y) \mapsto xy$ （或者，也如所说，将“在A中计算”）。那么我们有 (no. 2) 结合性和分配律公式

(7)

(XY)Z = X(YZ)

(8)

\begin{cases} X(Y + Z) = XY + XZ \\ (X + Y)Z = XZ + YZ \end{cases}

对于三个矩阵X，Y，Z在A上，每当和和乘积出现在这些公式中被定义。

特别是，如果 $E_{ik}$ （分别 $E'_{kl}, E''_{il}$ ）在 $A^{I \times K}$ （分别 $A^{K \times L}, A^{I \times L}$ ）中分别为矩阵单位，以及 $I = \{1, p\}, K = \{1, q\}, L = \{1, r\}$ ，我们得到公式

\begin{cases} E_{ik}E'_{jl} = 0 & \text{if } k \neq j \\ E_{ik}E'_{kl} = E''_{il}. \end{cases}

令 $A^0$ 为A的逆环，令 $a * b \ (= ba)$ 表示 $A^0$ 中a和b的乘积；那么，对于两个矩阵 X，Y 在定义了乘积的 A 上，

(10)

t(XX) = tY * tX

其中，在右侧， $^tY$ 和 $^tX$ 被视为矩阵，元素在 $\mathbf{A}^0$ 中；当 $\mathbf{A}$ 是*可交换的*，那么

(11)

^t(XY) = ^tY.^tX

命题 1 05WK

令 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为两个环和 $M = (m_{ik})_{(i,k) \in I \times K}$ 并且*

M' = (m'_{ik})_{(i,k) \in I \times K}

两个矩阵，在一个

(\mathbf{A}, \mathbf{B})

*-双模块*

G

上具有有限索引集合。 假设对于每个矩阵单位

L = (a_i)_{i \in I}

有一行和元素在

\mathbf{A}

和每个矩阵单位

C = (b_k)_{k \in K}

有一个列和元素在

\mathbf{B}

L.M.C = L.M'.C

（*乘积通过*

(\mathbf{A}, \mathbf{B})

*-模块*

G

的外法则计算）；然后*

M = M'

。

如果 $L$ 被视为矩阵单位 $(a_s)$ ， $s \neq i$ 为 $a_i = 1, a_s = 0$ ， $C$ 矩阵单位 $(b_t)$ ， $t \neq k$ 为 $b_k = 1, b_t = 0$ ，乘积 $L.M.C$ 和 $L.M'.C$ 是矩阵，单个元素分别等于 $m_{ik}$ 和 $m'_{ik}$ 。

令 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为两个环和 $\sigma : \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ 同态。

对于 $\mathbf{A}$ 上的每个矩阵 $M = (m_{ik})$ ，我们将用 $\mathbf{B}$ 上的 $\sigma(M)$ 矩阵 $(\sigma(m_{ik}))$ 来表示；显然 $\sigma(aM) = \sigma(a)\sigma(M)$ ， $\sigma(Ma) = \sigma(M)\sigma(a)$ 代表 $a \in \mathbf{A}$ ，还有 $\sigma(^tM) = (^t(\sigma(M)))$ 和

(12)

\begin{cases} \sigma(M + M') = \sigma(M) + \sigma(M') \\ \sigma(MM') = \sigma(M)\sigma(M') \end{cases}

当定义运算时，(12)左边和右边的乘积分别在

\mathbf{A}

*和*

\mathbf{B}

*中计算。*当

\sigma

用

x \mapsto x^\sigma

表示时，我们写成

M^\sigma

而不是

\sigma(M)

。

特别考虑 $\mathbf{A}$ 的*反自同态* $\sigma$ ，即 $\mathbf{A}$ 的同态到逆环 $\mathbf{A}^0$ ，或 $\mathbf{A}$ 的映射自身，这样

\sigma(a + a') = \sigma(a) + \sigma(a'), \qquad \sigma(aa') = \sigma(a')\sigma(a)

对于所有

a, a'

在

\mathbf{A}

；那么，对于定义了乘积

MM'

的两个矩阵

M, M'

超过

\mathbf{A}

，

(13)

\sigma(MM') = (^t(\sigma(^tM')).\sigma(^tM))

其中两侧的乘积计算在

\mathbf{A}

中； *这紧随 (10) 和 (12) 而来。

被以下引用 2

被以下引用 § 10. 。矩阵, 推论

4. 矩阵和线性映射

令 $\mathbf{A}$ 为环且 $E$ 一个*（右或左）* $\mathbf{A}$ *-模块*承认基 $(e_i)_{i \in I}$ 。对于每个元素 $x \in E$ ，* $x$ *相对于基* $(e_i)$ 的*矩阵，用 $M(x)$ 或 $\mathbf{x}$ 表示（或者在不会产生混淆的情况下，有时简单地用 $x$ 表示），是 $x$ 的分量 $x_i \ (i \in I)$ 相对于 $(e_i)$ (§ 1, no. 11) 的 列矩阵 由……组成；在计算中，有时会很方便，在阶中记住指标 $i$ 是一行指标，与它相邻的列指标只取一个值并将矩阵 $M(x)$ 写为 $(x_{i0})$ 。

我们现在考虑两个（左或右）A-模 E 和 F，分别具有基 $(e_i)_{i \in I}$ 和 $(f_k)_{k \in K}$ ；设 $(f_k^*)$ 为形式相应的到 $(f_k)$ 的坐标系。对于 E 的线性映射 $u$ 到 F 中，在以下每种情况下，我们应将 u 的定义 矩阵相对于基 $(e_i), (f_k)$ ：

(D) E 和 F 是右A-模， $u$ 是 A 线性。 (G) E 和 F 是左A-模， $u$ 是 A 线性。

接下来，我们将字母 (D)（分别为 (G)）附加到公式应用右侧（分别为左侧）模。

定义 3 05WL

在上述两种情况中，u 的矩阵相对于基* $(e_i), (f_k)$ 是矩阵 $M(u) = (u_{ki})_{(k, i) \in K \times I}$ *这样

u_{ki} = f_k^*(u(e_i))

分别写为

(14D)

u_{ki} = \langle f_k^*, u(e_i) \rangle

（14克）

u_{ki} = \langle u(e_i), f_k^* \rangle.

因此，指标 $i$ 的 $M(u)$ 的*列*等于 $M(u(e_i))$ 。

显然，如果 $u, v$ 是E到F中的两个线性映射，并且 $M(u), M(v)$ 它们的矩阵相对于相同的基，那么

M(u + v) = M(u) + M(v)

和

M(\gamma u) = \gamma M(u)

对于A的*中心*

\Gamma

的每个元素

\gamma

。在其他字中，一旦基

(e_i), (f_k)

固定，映射

u \mapsto M(u)

是一个*

\Gamma

模同构*

\mathrm{Hom}_A(E, F)

到集合

A^{K \times I}

的子集，如果 K 是*有限*，则等于

A^{K \times I}

。

命题 2 05WM

假设I和K是有限的。对于每个元素* $x \in E$ ，*矩阵* $M(u(x))$ 相对于基 $(f_k)$ 由公式 给出

被以下引用 2

被以下引用 § 10. 。矩阵, III § 8. 。决定因素

(17D)

M(u(x)) = M(u) . M(x)

（17克）

{}^t M(u(x)) = {}^t M(x) . {}^t M(u).

我们验证例（17 G）。让 $x = \sum_i x_{i0} e_i, \quad u(x) = \sum_k y_{k0} f_k$ 与 $x_{i0} \in A, \ y_{k0} \in A$ ；然后 $u(x) = u\left( \sum_i x_{i0} e_i \right) = \sum_i x_{i0} u(e_i) = \sum_{i, k} x_{i0} u_{ki} f_k$ ；从而 y_{k0} = \和_i x_{i0} u_{ki}。在阶中，将两个指标 $i$ 沿着一个另一个并排，我们考虑转置矩阵 ${}^t M(x) = (x'_{0i})$ ，其中 $x'_{0i} = x_{i0}$ 和

{}^t M(u) = (u'_{ik}),

其中

u'_{ik} = u_{ki}

；那么

y_{k0} = \sum_i x'_{0i} u'_{ik}

，右手边是指标

k

的矩阵的元素，其中一行

{}^t M(x) \cdot {}^t M(u)

，从而（17G）。

当 A 是可交换的时，(17 G) 约化通过 no. 2 的公式 (4) 到 (17 D)。

推论 05WN

设 E、F、G 为环 A、 $(e_i)_{i \in I}$ 、 $(f_k)_{k \in K}$ 、 $(g_l)_{l \in L}$ 上的三个右（左）模分别为 E、F、G、 $u : E \to F$ 、 $v : F \to G$ 两个线性映射的有限基， u 的 $M(u)$ 矩阵相对于 v 的基 $(e_i)$ 、 $(f_k)$ 、 $M(v)$ 矩阵相对于的基 $(f_k)$ 、 $(g_l)$ 和 $M(v \circ u)$ 矩阵 $v \circ u$ 相对于基 $(e_i)$ 、 $(g_l)$ ；然后

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 1, II § 2. 。模线性映射。二元性

被以下引用命题 6

(18D)

M(v \circ u) = M(v) M(u)

(18克)

{}^t M(v \circ u) = {}^t M(u) {}^t M(v).

我们证明例 (18 G)。对于所有 $x \in E$ ，通过 (17 G)：

{}^t M(x) \cdot {}^t M(v \circ u) = {}^t M(v(u(x))) = {}^t M(u(x)) \cdot {}^t M(v) = {}^t M(x) \cdot {}^t M(u) \cdot {}^t M(v)

结合性；然后从 no. 3、命题 1 得出推论，因为矩阵

{}^t M(x)

中的一行是任意的。

注(1)。公式 (17 D) 可以被认为是 (18 D) 的特例。对于每个 $x \in E$ 线性映射 $\theta_x : A_d \to E$ 映射，每个 $\alpha \in A$ 到 $x \alpha$ （§ 2, no. 1），对应规范地存在。 It is immediate that the matrix $M(\theta_x)$ with respect to the basis 1 of $A_d$ and the basis $(e_i)$ of E is just the matrix $M(x)$ ; similarly $M(\theta_{u(x)}) = M(u(x))$ and formula (17 D) can therefore be considered as a translation of the relation

\theta_{u(x)} = u \circ \theta_x.

命题 3 05WO

设E、F分别是E和F的两个右（左）A-模和 $(e_i)_{i \in I}$ 、 $(f_k)_{k \in K}$ 有限基。对于 E 到 F 中的每个线性映射 u，令 $M(u)$ 为 u 相对于基 $(e_i)$ 和 $(f_k)$ 的矩阵。那么 ${}^t u : F^* \to E^*$ 相对于对偶基 $(f_k^*)$ 和 $(e_i^*)$ 的矩阵等于 ${}^t M(u)$ 。

被以下引用 6

被以下引用注, 注, 命题 10, 命题 5, 推论 3, III § 8, 注 1, VIII Appendix 2

E 被规范地标识为其双数 $E^{**}$ 和 $(e_i)$ ，其中对偶基为 $(e_i^*)$ ；那么（假设例，E和F是正确的模）

\langle {}^t u(f_k^*), e_i \rangle = \langle f_k^*, u(e_i) \rangle,

从而命题。

注 05WP

(2) 令E和F分别为两个左A-模，其中基、 $(e_i)_{i \in I}$ 和 $(f_k)_{k \in K}$ 。对于每 A-线性映射 $u : E \to F$ ，通过 (14 G)， $u(e_i) = \sum_k u_{ki} f_k$ ；这些关系也可以被说解释为列矩阵 $(u(e_i))_{i \in I}$ 与元素在F中等于乘积 $^tM(u) \cdot (f_k)$ ，其中 $(f_k)_{k \in K}$ 被视为列矩阵 F 中的元素和乘积是针对映射 $A \times F \to F$ 计算的，定义 A-模 F (no. 2) 上的作用的律。

(3) 令A、B为两个交换环和 $\sigma : A \to B$ 环同态。在命题 3 的记号中， $(e_i \otimes 1)$ 和 $(f_k \otimes 1)$ 分别是 $E_{(B)} = E \otimes_A B$ 和 $F_{(B)} = F \otimes_A B$ 的基（§ 5, no. 1、命题 4）；此外，如果 $(e_i^*)$ 和 $(f_k^*)$ 分别是 $(e_i)$ 和 $(f_k)$ 的对偶基，则 $(e_i^* \otimes 1)$ 和 $(f_k^* \otimes 1)$ 分别是 $(e_i \otimes 1)$ 和 $(f_k \otimes 1)$ 的对偶基（§ 5, no. 4）。对于每个A-线性映射 $u : E \to F$ ，令 $M(u)$ 和 $M(u \otimes 1)$ 相对于 $(e_i)$ 为 $u$ 的矩阵，相对于B-线性映射 $u \otimes 1$ 为 $(f_k)$ 和矩阵 $(e_i \otimes 1)$ 和 $(f_k \otimes 1)$ 。由 § 5, no. 4, 公式 (20) 得出

M(u \otimes 1) = \sigma(M(u)).

考虑有限数未知数中有限数右标量线性方程的系统

\sum_{i \in I} a_{kt} x_i = b_k \quad (k \in K)

A 中有

a_{kt}, x_i, b_k

。

令 $(e_i)_{i \in I}, (f_k)_{k \in K}$ 为 $E = A_d^I$ 和 $F = A_d^K$ 的规范基；系统 (19) 等价于方程 $u(x) = b$ ，其中 $x = \sum_i e_i x_i$ 、 $b = \sum_k f_k b_k$ 和 $u : E \to F$ 为线性映射，使得矩阵 $M(u)$ 相对于基 $(e_i)$ 和 $(f_k)$ 等于 $A = (a_{kt})_{(k, i) \in K \times L}$ 。该矩阵称为线性方程组(19)的系统的矩阵。回想一下 (§ 2, no. 8, 注 2 和 3)，写出 $c_i = \sum_k f_k a_{kt}$ , 系统 (19) 等价于唯一的向量方程

\sum_i c_i x_i = b,

由于

c_i

是矩阵

A

中指标

i

的列，我们看到说系统（19）承认解等于说即矩阵

b = (b_{k0})

和一个列是矩阵

A

列线性组合。

我们留给读者为左线性方程的系统制定类似的定义和注的任务。

引用了 4

引用了命题 3, II § 5. 。标量的环的扩张, 命题 4, II § 5, II § 2. 。模线性映射。二元性

5. 块乘积

no. 4的定义可以概括如下。设E是子模族 $(E_i)_{i \in I}$ 的（右或左）A-模、直和。对于所有 $x \in E$ ，让 $x = \sum_{i \in I} x_i$ 和 $x_i \in E_i$ 对于所有 $i \in I$ ；我们可以说E中的列矩阵 $M(x) = (x_i)_{i \in I}$ 和元素是x的*矩阵相对于E的分解 $(E_i)_{i \in I}$ 作为直和*。

设F为另一个A-模（E和F都是右A-模或都是左A-模），并假设F是子模的 $(F_k)_{k \in K}$ 族的直和。对于所有 $u \in \mathrm{Hom}(E, F)$ 和所有 $x_i \in E_i$ ，让 $u(x_i) = \sum_k u_{ki}(x_i)$ 和 $u_{ki}(x_i) \in F_k$ 对于所有 $k \in K$ ；然后 $u_{ki} \in \mathrm{Hom}(E_i, F_k)$ ；我们可以说，型 $(K, I)$ 的矩阵 $M(u) = (u_{ki})_{(k, i) \in K \times I}$ 和 $\mathrm{Hom}(E_i, F_k)$ 的集合H和中的元素是u相对于分解的*矩阵 E和F的 $(E_i)$ 和 $(F_k)$ 为直和*。

有了这些定义，很明显，如果 $u, v$ 是E到F中的两个A-线性映射，那么对于矩阵来说，对于与直和相同的分解

M(u + v) = M(u) + M(v), \qquad M(\gamma u) = \gamma M(u)

对于A的中心的每个元素 $\gamma$ （no. 2，*注*）。

此外， $u_{ki}$ 的定义表明，如果K是有限的，我们可以写

M(u(x)) = M(u) . M(x)

其中， $M(u(x))$ 是 $u(x)$ 的矩阵，相对于分解 $(F_k)$ ，(22)右侧的乘积将 $\mathrm{Hom}(E_i, F_k) \times E_i$ 的映射 $(t, z) \mapsto t(z)$ 计算为 $F_k$ （no. 2，*注*）。

令 G 为子模中 $(G_l)_{l \in L}$ 的第三个A-模、直和，因此对于分解，每个 A-线性映射 $v : F \to G$ 矩阵 $M(v) = (v_{lk})$ 都有对应 $(F_k)$ 和 $(G_l)$ 。如果 I、K 和 L 是*有限*，那么

M(v \circ u) = M(v) . M(u)

其中，左手边是 $w = v \circ u$ 的矩阵 $(w_{li})$ 相对于分解 $(E_i)$ 和 $(G_l)$ ，左手边的乘积将 $\mathrm{Hom}(F_k, G_l) \times \mathrm{Hom}(E_i, F_k)$ 的映射 $(t, s) \mapsto t \circ s$ 计算为 $\mathrm{Hom}(E_i, G_l)$ （no. 2，*注*）。这只是§ 1, no. 8的公式(32)，以矩阵的项来表示。

最后，如果假设 I 和 K 是有限的，则 $E^*$ （分别为 $F^*$ ）被规范地标识为模 $E_i^*$ （分别为 $F_k^*$ ）（§ 2, no. 6、命题 10）的直和。那么立即验证 $^t u$ 相对于分解 $(F_k^*)$ 和 $(E_i^*)$ 的矩阵正好是 $(^t u_{ki})_{(k, i) \in K \times I}$ 。

现在假设I和K是有限的，并且每个E_i（分别是F_k）都承认有限的基。这相当于说 E（分别为 F）承认基 (e_r)_{r \in R}（分别为 (f_s)_{s \in S}），并且 R（分别为 S）承认划分 (R_i)_{i \in I}（分别为 (S_k)_{k \in K}），这样对于所有 i \in I（分别为 k \in K），(e_r)_{r \in R_i} 为 E_i 的基（分别为 (f_s)_{s \in S_k} 为 F_k 的基）。那么，如果 X = M(u) 是 u 相对于基 (e_r)_{r \in R} 和 (f_s)_{s \in S} 的矩阵，则矩阵 X_{kt} = M(u_{kt}) 相对于基 (e_r)_{r \in R_i} (f_s)_{s \in S_k} 只是通过抑制指标 s \notin S_k 和列的指标 r \notin R_i 的行而获得的 X 的子矩阵。因此我们定义一对一对应

X \mapsto (X_{kt})_{(k, t) \in K \times I}

型 (S, R) 的矩阵集合与 A 中的元素和矩阵矩阵集合型 K 的 $(X_{kt})_{(k, t) \in K \times I}$ \times I，其中每个 X_{kt} 为矩阵超过型 (S_k, R_i) 的 A。假设进一步 G 承认有限基 (g_t)_{t \in T} 并且 T = (T_l)_{l \in L} 是 T 的划分，这样，对于每个 l \in L，(g_t)_{t \in T_l} 是 G_l 的基；令 Y = M(v) 为 v 相对于基 (f_s)_{s \in S} 和 (g_t)_{t \in T} 的矩阵，Y_{lk} = M(v_{lk}) 为 v_{lk} 相对于基 (f_s)_{s \in S_k} 和 (g_t)_{t \in T_l}， w = v \circ u 的 Z = M(w) 矩阵相对于基 (e_r)_{r \in R} 和 (g_t)_{t \in T} 和 Z_{li} = M(w_{li}) w_{li} 相对于基 (e_r)_{r \in R_i} 和 (g_t)_{t \in T_l}；那么从 (23) 可以得出，Z = YX 的子矩阵 Z_{li} 由下式给出

Z_{li} = \sum_k Y_{lk} X_{kt}

在其他字中，当定义了所有相关乘积时，一对一的对应（24）变换乘积进入乘积（矩阵的矩阵的乘积在no. 2的意义上定义，注);当乘积YX的子矩阵Z_{li}被这样计算时，这个乘积被称为“在块中”执行。

这个名称的由来是，当 I = {1, p} 且 K = {1, q} 时，表示矩阵 X 的表被设想分为“块”，形成“矩阵的数组”

\begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} & \ldots & X_{1p} \\ X_{21} & X_{22} & \ldots & X_{2p} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ X_{q1} & X_{q2} & \ldots & X_{qp} \end{pmatrix}

which is considered as a symbol denoting X when p and q are specific integers sufficiently small for this to be practicable.

6. 半线性映射的矩阵

设A，B为两个环，\sigma：A \to B 同态，A进入B，E为右（左）A-模与基（e_i）_{i \in I}，F为右（左）B-模与基 $(f_k)_{k \in K}$ 。令 $u : E \to F$ 为相对于 $\sigma$ 和 $u(e_i) = \sum_{k \in K} f_k u_{ki}$ （分别为 $u(e_i) = \sum_{k \in K} u_{ki} f_k$ ）的*半线性* 映射，其中 $u_{ki}$ 因此是 B 的元素；由定义、型 $K \times I$ 的矩阵 $M(u) = (u_{ki})$ 相对于基* $(e_i)$ 和 $(f_k)$ 也称为u的*矩阵。通过与no. 4的命题2相同的计算，立即验证对于所有 $x \in E$ ，如果I和K是*有限*，

(26D)

M(u(x)) = M(u) \cdot \sigma(M(x))

（分别。

(26克)

{}^t M(u(x)) = \sigma({}^t M(x)) \cdot {}^t M(u)).

令C为第三个环， $\tau : B \to C$ 同态，G为右（或左）C-模，其中基 $(g_l)_{l \in L}$ 和 $v$ 为F到G相对于 $\tau$ 的半线性映射；如果 $M(v)$ 相对于 $(f_k)$ 和 $(g_l)$ 是 $v$ 的矩阵，并且相对于 $(e_i)$ 和 $(g_l)$ 是 $v \circ u$ 的 $M(v \circ u)$ 矩阵，那么，如果I，K和L 是有限的，

(27D)

M(v \circ u) = M(v) \cdot \tau(M(u))

（分别。

（27克）

{}^t M(v \circ u) = \tau({}^t M(u)) \cdot {}^t M(v)).

要显示例 (27 D)、注，对于所有 $x \in E$ ，通过 (26 D)，

M(v \circ u) \cdot \tau(\sigma(M(x))) = M(v(u(x)))

= M(v) \cdot \tau(M(u(x))) = M(v) \cdot \tau(M(u)) \cdot \tau(\sigma(M(x))),

从而（27 天）由命题 1 个no. 3 完成。

最后假设 $\sigma : A \to B$ 是*同构*；然后回想一下 ${}^t u : F^* \to E^*$ 是相对于 $\sigma^{-1}$ （§ 2, no. 5）的半线性映射；当I和K是有限的时，矩阵 ${}^t u$ 相对于对偶基 $(f_k^*)$ 和 $(e_i^*)$ 由下式给出

(28)

M({}^t u) = \sigma^{-1}({}^t M(u))

因为，根据定义，假设例 E 和 F 是正确的模，

\langle {}^t u(f_k^*), e_i \rangle^\sigma = \langle f_k^*, u(e_i) \rangle

当

\sigma

用

x \mapsto x^\sigma

表示时。

注 05WQ

设 A 为环且 $\sigma$ A 的*反自同态* (no. 3)；考虑以下两种情况：

(GD) E 是左A-模、F 右A-模和 $u$ E 到 F 的 $\mathbf{Z}$ 线性映射，使得 $u(ax) = u(x)\sigma(a)$ 对于 $a \in A,\ x \in E$ ；在其他字中， $u$ 是相对于右侧 $A^0$ -模E到右A-模F的 $\sigma$ 的*半线性*映射。

(DG) E 是右A-模、F 左A-模和 $u$ E 到 F 的 $\mathbf{Z}$ 线性映射，使得 $u(xa) = \sigma(a)u(x)$ 对于 $a \in A,\ x \in E$ ；在其他字中， $u$ 是相对于左侧 $A^0$ -模E到左A-模F的 $\sigma$ 的*半线性*映射。

在这两种情况下， $u$ 相对于E和F的基的矩阵 $M(u)$ 在A中具有元素；如果这些基是有限的，那么对于所有 $x \in E$ ，我们有各自的公式

(17 GD)

M(u(x)) = M(u) . \sigma(M(x))

(17 副总)

{}^t M(u(x)) = \sigma({}^t M(x)) . {}^t M(u),

在 A 中计算两侧的乘积。这分别紧随 (26 D) 和 (26 G) 得出。

7. 方阵

定义 4 05WR

矩阵其行与列具有相同索引集合称为平方矩阵。

具有 $n$ 行和 $n$ 列的平方矩阵称为阶* $n$ 的 *矩阵。

注 05WS

应该注意的是，矩阵的行索引集合和列具有*相同的基数*但*不相同*，不能被视为平方矩阵；特别是，两个这样的矩阵超过环的乘积*未定义*。

显然，A 上的方阵的加法和乘法具有有限的集合作为行的索引集合，以及这些矩阵的集合上的列、定义环结构，因为公式 (7)、(8) 和 (9) (no. 3)；矩阵 $(\delta_{ij})$ ，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克指标（对于 $i \in I, j \in I$ ），是环的单位元，当I时用 $I_n$ 或 $l_n$ 表示有 $n$ 元素。当 $I = \{1, n\}$ 时，如此定义的矩阵中的环简称为 $\mathbf{M}_n(A)$ ； $\mathbf{M}_n(A)$ 的可逆元的群用 $\mathbf{GL}_n(A)$ 或 $\mathbf{GL}(n, A)$ 表示。

为了使 A 上的阶 $n$ 的平方矩阵 $U = (a_{ij})$ 是右（或左）可逆的，有必要且充分的是，对于 A 的元素的每个系统 $(b_i)_{1 \leq i \leq n}$ ，系统 $n$ 未知数中的 $n$ 方程组

\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i \quad (1 \leq i \leq n)

（分别 $\sum_{j=1}^n x_j a_{ji} = b_i$ ）

A 中有*一个解* $(x_i)$ 。

令 I 为有限索引集合，A 环和 E 为右（左）A-模和基 $(e_i)_{i \in I}$ 。对于E的每一个*自同态* $u$ ， $u$ 的矩阵 $M(u)$ 相对于*基与* $(e_i)$ 相同是平方矩阵；更简单地说，它被称为 $u$ *相对于基* $(e_i)$ 的矩阵。

假设 $I = \{1, n\}$ 。映射 $u \mapsto M(u)$ （或 $u \mapsto {}^t M(u)$ ）是环 $\mathrm{End}_A(E)$ 到 $\mathbf{M}_n(A)$ （或 $\mathbf{M}_n(A)$ 的逆环）的*同构*，如下来自公式（18 D）（分别为 18 G））（no. 4）。环 $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$ 的可逆元称为*可逆矩阵*，对应在映射 $u \mapsto M(u)$ （或 $u \mapsto {}^t M(u)$ ）下到 E 的 自同构；因此，群 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{A})$ 被规范地标识为群 $\mathbf{GL}(\mathbf{A}_d^n)$ 。

如果 $u$ 是 E 的自同构，则其*相反* $\check{u}$ 是左（右）A-模 $E^*$ 的自同构，使得 $\check{u} = ({}^t u)^{-1} = {}^t (u^{-1})$ (§ 2, no. 5, 定义 6)；如果 $M(\check{u})$ 相对于对偶基 $(e_i^*)$ 是 $\check{u}$ 的矩阵，那么，凭借命题3（no. 4），

M(\check{u}) = ({}^t M(u))^{-1} = {}^t M(u^{-1}).

对于每个可逆矩阵 $X$ ，因此得出 ${}^t (X^{-1}) = ({}^t X)^{-1}$ ；这个矩阵也用 ${}^t X^{-1}$ 表示，称为矩阵 $X$ 的*矛盾*。

令 $\sigma$ 为环 $\mathbf{A}$ 的*自同构*；对于相对于 $\sigma$ 的每个*半线性*映射 $u : E \to E$ ，此映射的矩阵 $M(u)$ 相对于E的基 $(e_i)$ 也是平方矩阵。从 (27 D) (no. 6) 可以立即得出，如果 $u$ 是双射的，那么

M(u^{-1}) = (\sigma^{-1}(M(u)))^{-1}.

设E为A-模，它是子模的有限族 $(E_i)_{i \in I}$ 的*直和*；对于E的每一个自同态 $u$ ， $u$ 的矩阵 $M(u) = (u_{ki})$ ，对于E中与 $(E_i)$ （no. 5）相同的两个分解来说，是一个*平方矩阵线性映射*。在阶中， $u(E_i) \subset E_i$ 对于所有 $i \in I$ ， $u_{ki} = 0$ 对于 $k \neq i$ 是必要且充分的。当 $I = \{1, n\}$ 、关系时

u(E_i) \subset E_i + E_{i+1} + \cdots + E_n \qquad (1 \leq i \leq n)

相当于 $k < i$ 的关系 $u_{ki} = 0$ 。

例共方阵。*I。 对角线矩阵。在平方矩阵

M = (m_{\iota \kappa})_{(\iota, \kappa) \in I \times I},

与指标相等的元素称为*对角线元素*， $(m_{\iota \iota})_{\iota \in I}$ 族称为 $M$ 的*对角的*；平方矩阵 $M = (m_{\iota \kappa})$ 超过环，其元素除对角线元素外均为零，称为*对角矩阵*。对于环 $\mathbf{A}$ 、对角矩阵 $(m_{\iota \kappa})$ 的元素的每个家庭 $(a_\iota)_{\iota \in I}$ ，使得所有 $\iota \in I$ 的 $m_{\iota \iota} = a_\iota$ 由 $\operatorname{diag}(a_\iota)_{\iota \in I}$ 表示（或 $\operatorname{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ ，当 $I = \{1, n\}$ ）。 $\mathbf{A}$ 以上阶 $n$ 方阵集合 $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$ ，单位矩阵 $I_n$ 为对角矩阵以及每倍数这个矩阵的 $a I_n = I_n a$ 由标量 $a$ （对角矩阵（称为*标量*），其所有对角线元素等于 $a$ ）。

对于 $\mathbf{A}$ 的元素的每个家庭 $(d_i)_{1 \leq i \leq n}$ 和型 $(n, q)$ （分别为 $(p, n)$ ）超过 $\mathbf{A}$ 的每个矩阵 $X = (x_{ij})$ ，写下 $D = \operatorname{diag}(d_i)$ ，

\begin{cases} DX = (d_i x_{ij}) \\ XD = (x_{ij} d_j). \end{cases}

特别是，对于阶 $n$ 的两个对角线矩阵，

\text{diag}(a_i) + \text{diag}(b_i) = \text{diag}(a_i + b_i)

(31)

\text{diag}(a_i) \cdot \text{diag}(b_i) = \text{diag}(a_i b_i).

The diagonal matrices therefore form a subring of $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$ isomorphic to the product ring $\mathbf{A}^n$ ; the scalar matrices form a subring isomorphic to $\mathbf{A}$ .

II。 置换矩阵；单项式矩阵。令 $\pi$ 为有限集合 $\mathbf{I}$ 的任意*置换*，并令 $(e_i)_{i \in \mathbf{I}}$ 为 $\mathbf{A}$ 模 $\mathbf{E} = \mathbf{A}_d^\mathbf{I}$ 的典范基； $\mathbf{E}$ 中存在且仅有一个自同态 $u_\pi$ ，使得对于所有 $i \in \mathbf{I}$ ， $u_\pi(e_i) = e_{\pi(i)}$ （§ 1, no. 11，推论3到命题17）。对于所有 $i \in \mathbf{I}$ ，矩阵 $M(u_\pi)$ 中的指标 $i$ 的列相对于基 $(e_i)$ 拥有除指标行中的所有元素零之外的所有元素零 $\pi(i)$ ，等于 1。通过滥用语言， $M(u_\pi)$ 被称为置换* $\pi$ 的矩阵。直接的，对于 $\mathbf{I}$ ， $u_{\sigma \tau} = u_\sigma \circ u_\tau$ 中的任意两个置换 $\sigma, \tau$ ，对于恒等式置换 $\varepsilon$ ， $u_\varepsilon$ 是恒等式；因此，映射 $\pi \mapsto M(u_\pi)$ 是群 $\mathfrak{S}_\mathbf{I}$ 到置换矩阵的对称群的同构的*。

每行和置换矩阵包含中的每个列只有一个元素 $\neq 0$ 。非零环 $\mathbf{A}$ 上的有限平方矩阵 $R$ ，以及性质，称为*单项式矩阵*；令指标 $i$ 的 $R$ 列中的 $r_i$ 为唯一元素 $\neq 0$ ，并令 $\pi(i)$ 为该元素所在行的指标；显然， $\pi$ 是索引集合 $\mathbf{I}$ 和 $R = M(u_\pi)D$ 的置换，其中 $D = \text{diag}(r_i)$ 。

III。 三角形矩阵。在阶 $n$ 的方阵的环 $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$ 超过环 $\mathbf{A}$ ，任何矩阵 $(a_{ij})$ 使得 $a_{ij} = 0$ 对于 $i > j$ （分别 $i < j$ ）被称为*上*（分别*下*）*三角形矩阵*；也有人说这样的矩阵*只有零低于*（或*以上*）*其对角线*。立即确定， $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$ 的上（或下）三角形矩阵形式子环 $S$ （或 $T$ ）， $S \cap T$ 显然是对角线矩阵的环。

The set $S'$ (resp. $T'$ ) of matrices in $S$ (resp. $T$ ) whose diagonal elements are invertible is a multiplicative group of matrices called the upper (resp. lower) total triangular group, this follows immediately from § 1, no. 11, Remark 5. The set $S_1$ (resp. $T_1$ ) of matrices in $S$ (resp. $T$ ) whose diagonal elements are all equal to 1 is a subgroup of the above group, called the upper (resp. lower) strict triangular group, and every matrix $M \in S'$ (resp. $M \in T'$ ) whose diagonal is $(d_i)$ , may be written as $M = DM_1 = M'_1D$ , where $D = \text{diag}(d_i)$ and $M_1$ and $M'_1$ matrices belonging to $S_1$ (resp. $T_1$ ).

IV。 矩阵的对角线和三角形矩阵。令 $(I_k)_{1 \leq k \leq p}$ 为有限集合 $\mathbf{I}$ 的划分；平方矩阵超过环 $\mathbf{A}$ 且具有索引集合 $\mathbf{I}$ 都可以写在矩阵* 相应的的 *平方矩阵的形式中行索引集合的划分 $(\mathbf{I}_k)$ 以及列 (no. 5) 的索引集合

(32) \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} & \ldots & X_{1p} \\ X_{21} & X_{22} & \ldots & X_{2p} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ X_{p1} & X_{p2} & \ldots & X_{pp} \end{pmatrix}

其中每个 $X_{kk}$ 是平方矩阵，其中 $\mathbf{I}_k$ 作为行的索引集合和列。

有了这个记号，如果所有矩阵 $X_{ij}$ 使得 $i \neq j$ （ $i > j$ ， $i < j$ ）都是零，则（32）将被称为矩阵的对角线（分别是上三角，分别是下三角）矩阵。自同态 $u$ 的解释，其矩阵分别是对角线。三角形，通过考虑线性映射的相应的矩阵 $M(u)$ ，之前已经看到了矩阵的矩阵。 The lower triangular (resp. upper triangular, diagonal) matrices of matrices for a given partition $(\mathbf{I}_k)$ of I form subrings of the ring of matrices $\mathbf{A}^{I \times I}$ . 特别地，矩阵的对角线矩阵相对于划分 $(\mathbf{I}_k)$ 的环与乘积 $\prod_{k=1}^p \operatorname{End}_\mathbf{A}(E_k)$ 同构的。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了命题 3, 定义 6, II § 2, 推论 3, II § 1, II § 1. 。模

被以下引用推论 2

8. 变换基

命题 4 05WT

设 E 为右A-模，且基 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 为 n 元素。对于 n 元素 $e'_i = \sum_{j=1}^n e_j a_{ji} (1 \leq i \leq n)$ 的族是 E 的基，阶 n 的平方矩阵 $P = (a_{ji})$ 可逆是必要且充分的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了推论 3, II § 1

被以下引用注

相对于 $u(e_i) = e'_i (1 \leq i \leq n)$ 定义的E的自同态 $u$ 的基 $(e_i)$ ， $P$ 只是矩阵。现在，要使 $u$ 成为E的自同构， $(u(e_i))$ 成为E的基是充分必要的（§ 1, no. 11，推论3到命题17）；从而命题。

可逆的矩阵 $P$ 称为从基* $(e_i)$ *到基* $(e'_i)$ 的通道*矩阵。它也可以解释为恒等映射 $l_E$ 相对于基 $(e'_i)$ 和 $(e_i)$ 的矩阵（*其中阶*）；那么显然，从基* $(e'_i)$ 到基 $(e_i)$ 的通道矩阵是 $P$ 的*逆* $P^{-1}$ 。

命题 5 05WU

设 $(e_i), (e'_i)$ 为从 $(e_i)$ 到 $(e'_i)$ 的通道的E和P矩阵的n元素中的两个基。如果 $(e_i^*)$ 和 $({e'_i}^*)$ 分别是 $(e_i)$ 和 $(e'_i)$ 的对偶基，则从 $(e_i^*)$ 到 $({e'_i}^*)$ 的矩阵就是P的同余 $^tP^{-1}$ 。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 3

被以下引用注, III § 5. 。张量代数、张量

The transpose of the identity mapping $l_E$ is the identity mapping $l_{E^*}$ ; by Proposition 3, no. 4, the matrix of $l_{E^*}$ with respect to the bases $({e'_i}^*)$ and $(e_i^*)$ (in that order) is the transpose of the matrix of $l_E$ with respect to the bases $(e_i)$ and $(e'_i)$ (in that order), that is the transpose of $P^{-1}$ .

命题 6 05WV

Let E and F be two right A-modules, $(e_i)$ and $(e'_i)$ two bases of E* with $n$ elements, $(f_j)$ and $(f'_j)$ two bases of $F$ with $m$ elements, $P$ the matrix of passage from $(e_i)$ to $(e'_i)$ and $Q$ the matrix of passage from $(f_j)$ to $(f'_j)$ . 对于 $E$ 的每个线性映射 $u$ 进入 $F$ ，令 $M(u)$ 是 $u$ 的矩阵，相对于基 $(e_i)$ 和 $(f_j)$ 和 $M'(u)$ 矩阵 $u$ 相对于基 $(e'_i)$ 和 $(f'_j)$ ；然后

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了推论

被以下引用定义 5, 推论 2

M'(u) = Q^{-1} M(u) P.

我们可以写 $u = l_F \circ u \circ l_E$ 。 Formula (33) follows immediately from no. 4, Corollary to Proposition 2 when the matrix of $l_E$ is taken with respect to $(e'_i)$ and $(e_i)$ , that of $u$ with respect to $(e_i)$ and $(f_i)$ and that of $l_F$ with respect to $(f_i)$ and $(f'_j)$ .

推论 1 05WW

如果 $u$ 是 $E$ 、 $M(u)$ 和 $M'(u)$ 的自同态，分别相对于基、 $(e_i)$ 和 $(e'_i)$ ，则矩阵，则

被以下引用 1

被以下引用定义 6

M'(u) = P^{-1} M(u) P.

推论 2 05WX

如果 $M(x)$ 和 $M'(x)$ 分别相对于基 $(e_i)$ 和 $(e'_i)$ 为矩阵，其中一个列具有相同的元素 $x \in E$ ，则

引用了 2

引用了注, 命题 6

M(x) = P . M'(x).

这是命题 6 的特例，应用于 $A_d$ 到 $E$ 的映射 $\theta_x : a \mapsto xa$ （no. 4，*注 1*）。

公式 (35) 等价于

x_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x'_j \quad (1 \leq i \leq n)

分别为元素 $x_i$ 和 $x'_i$ 矩阵 $M(x)$ 和 $M'(x)$ 。公式(36D)称为坐标*变换*公式。观察它们将 $x$ 相对于“旧”基 $(e_i)$ 的分量表示为 $x$ 相对于“新”基的分量函数， $(e'_i)$ 和元素的 $P$ 的分量，即“新”基相对于“旧”基。

注 05WY

(1) 我们现在从一个*左* $A$ -模块 $E$ 开始，其中有两个基 $(e_i), (e'_i)$ ，每个 $n$ 元素；如果我们写 $e'_i = \sum_{j=1}^n a_{ji} e_i$ ， $P = (a_{ji})$ 也称为经过*的*矩阵，从 $(e_i)$ 到 $(e'_i)$ ；它也是 $E$ 的自同构的矩阵，使得对于基 $(e_i)$ 而言 $u(e_i) = e'_i$ ，对于基 $(e'_i)$ 和 $(e_i)$ 也是 $l_E$ 的矩阵 在那阶。上述结果只需进行以下修改即可成立：公式 (33 D) 至 (36 D) 分别替换为

\begin{align*} (33\text{ G}) &\quad {}^t M'(u) = {}^t P . {}^t M(u) . {}^t Q^{-1} \\ (34\text{ G}) &\quad {}^t M'(u) = {}^t P . {}^t M(u) . {}^t P^{-1} \\ (35\text{ G}) &\quad {}^t M(u) = {}^t M'(u) . {}^t P. \end{align*}

线性代数

(36克)

x_i = \sum_{j=1}^n x_j' a_{ij} \quad (1 \leq i \leq n).

（2）在命题4的假设下，考虑元素 $x^* \in \mathbf{E}^*$ ；因为从 $(e_i^*)$ 到 $(e_{i'}^*)$ 的路径矩阵是 $tP^{-1}$ （命题5），对于这两个基，分别为 $x^*$ 的矩阵、 $M(x^*)$ 和 $M'(x^*)$ ，

tM(x^*) = tM'(x^*) . P^{-1}

或者也

(37D)

tM'(x^*) = tM(x^*) . P

相当于方程的系统

(38D)

x_{i'}^* = \sum_{j=1}^n x_j^* a_{ji} \quad (1 \leq i \leq n)

对于元素 $(x_i^*)$ 和 $(x_{i'}^*)$ 共矩阵 $M(x^*)$ 和 $M'(x^*)$ 。相应的公式左A-模 E 是

（37克）

M'(x^*) = tP . M(x^*)

(38克)

x_{i'}^* = \sum_{j=1}^n a_{ji} x_j^* \quad (1 \leq i \leq n).

(3) 设A、B为A的两个环、 $\sigma : A \to B$ 同态到B、E的右（左）A-模、 $(e_i)$ 、 $(e_i')$ 两个基与E、F的右（左） $n$ 元素 B-模、 $(f_j)$ 、 $(f_j')$ 两个基以及 F 的 $m$ 元素和 $P$ （分别为 $Q$ ）矩阵从 $(e_i)$ 到 $(e_i')$ （分别从 $(f_j)$ 至 $(f_j')$ ）。

对于每个半线性映射 $u : E \to F$ ，相对于 $\sigma$ ，令 $M(u)$ 为 $u$ 相对于 $(e_i)$ 和 $(f_j)$ 的矩阵， $M'(u)$ 相对于 $(e_i')$ 的矩阵和 $(f_j')$ 。然后

（39D）

M'(u) = Q^{-1} M(u) \sigma(P)

（分别。（39克）

tM'(u) = \sigma(tP) . tM(u) . tQ^{-1}.

证明与 (33 D) 和 (33 G) 相同，这次使用公式 (27 D) 和 (27 G) (no. 6)。

引用了 2

引用了命题 4, 命题 5

9. 相当于矩阵；类似矩阵

定义 5 05WZ

如果存在阶 m 的可逆平方矩阵* $P$ 和可逆平方，则两个矩阵 $X, X'$ 具有 m 行和 n 列超过环被称为等效矩阵 $Q$ *阶 n 这样

引用了 2

引用了 E II § 6. 等价关系, 命题 6

(40)

X' = PXQ.

显然关系“X和X'是等价的”在A上型 $(m, n)$ 的矩阵集合 $A^{mn}$ 上等价关系（集合理论，II, § 6, no. 1），这证明了术语的合理性。

由此定义、no. 8的命题 6 可以用说来表示，当将基改变为两个右A-模E、F（与有限的基）时，线性映射 $u : E \to F$ 的矩阵相对新的基相当于 $u$ 的矩阵相对于旧的基。

相反，如果关系 (40) 成立且 $u : A_d^n \to A_d^m$ 为线性映射，其中矩阵为 $X$ ，相对于 $A_d^n$ 的相应规范基 $(e_i)$ 和 $(f_j)$ 且 $A_d^m$ ，那么 $X'$ 是 $u$ 相对于基 $(e'_i)$ 和 $(f'_j)$ 的矩阵，使得 $Q$ 是从 $(e_i)$ 到 $(e'_i)$ 的通道的矩阵并且从 $(f_j)$ 到 $(f'_j)$ 的 $P^{-1}$ 矩阵。

例相当于矩阵。 (1) 如果存在 $\mathbf{N}$ 的区间 $[1, m]$ 的置换 $\sigma$ ，则两个矩阵 $X = (x_{ij})$ 和 $X' = (x'_{ij})$ 具有 $m$ 行和 $n$ 列“仅在阶行中不同”，这样对于指标 $(i, j)$ 的每个有序对， $x'_{ij} = x_{\sigma(i), j}$ （我们也说 $X'$ 是通过对 $X$ 的行执行置换 $\sigma^{-1}$ 获得的）。对于 $X' = PX$ ，矩阵 $X$ 和 $X'$ 是等价的，其中 $P$ 是置换 $\sigma^{-1}$ 的矩阵 (cf. no. 7, 例) II）。

类似地，如果存在 $[1, n]$ 的置换 $\tau$ ，使得 $x'_{ij} = x_{i, \tau(j)}$ 对于指标的每个有序对，则据说 $X$ 和 $X'$ 仅在列的阶有所不同 $(i, j)$ 、 $X$ 和 $X'$ 也等效，对于 $X' = XQ$ ，其中 $Q$ 是置换 $\tau$ 的矩阵。

注上述中的记号 $P$ 是从基 $(f_j)_{1 \leq j \leq m}$ 到基 $(f_{\sigma^{-1}(j)})_{1 \leq j \leq m}$ 的通道矩阵以及从基的 $Q$ 矩阵 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 至基 $(e_{\tau(i)})_{1 \leq i \leq n}$ 。

(2) 令 $j, k$ 不同于元素与 $[1, n]$ ，并令 $a \in A$ 。

假设对于 $1 \leq i \leq m$ ， $x'_{ij} = x_{ij} + x_{ik}a$ 和 $x'_{il} = x_{il}$ 对于 $j \neq l$ 和 $1 \leq i \leq m$ ；据说 $X'$ 是由 $X$ 通过添加指标 $j$ 列的 $X$ 的列加上指标 $k$ 的右侧乘以 $a$ 而得。在这种情况下， $X$ 和 $X'$ 也是等价的：因为如果 $Q = I_n + aE_{kj}$ （可倒三角形矩阵，如no. 7所示），则 $X' = XQ$ 。

类似地，令 $h, i$ 是 $[1, m]$ 的两个不同的元素和 $a$ 元素的 $A$ ；如果 $X'$ 是从 $X$ 导出的，通过将指标 $i$ 的 $X$ 行添加到指标 $h$ 行左侧乘以 $a$ ，则 $X$ 和 $X'$ 是等价的，对于 $X' = PX$ ，其中 $P = I_m + aE_{ih}$ 。

(3) 最后，如果对于给定的指标 $j$ ， $x'_{ij} = x_{ij}c$ 对应于 $1 \leq i \leq m$ ，其中 $c$ 是可逆的， $x'_{il} = x_{il}$ 对应于 $1 \leq i \leq m$ 和 $l \neq j$ ， $X$ 和 $X'$ 是等价的；对于 $X' = XQ$ ，其中 $Q$ 是矩阵 $\operatorname{diag}(a_k)$ ， $a_j = c$ ， $a_k = 1$ 对于 $k \neq j$ 。那么 $X'$ 据说是由 $X$ 通过将右侧的指标 $j$ 的 $X$ 的列乘以 $a$ 得出。

类似地，如果 $X'$ 是由 $X'$ 通过将左侧指标 $i$ 的 $X$ 行乘以可逆元 $c \in A$ 得出， $X'$ 和 $X$ 是等价的，对于 $X' = PX$ ，其中 $P$ 是矩阵 $\operatorname{diag}(b_h)$ 与 $b_i = c$ ， $b_h = 1$ $h \neq i$ 。

定义 6 05X0

如果存在阶 n 的可逆平方矩阵 P，则环 A 上的阶 n 的两个方阵 X、X' 被称为相似

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了推论 1

被以下引用 VII § 5. 。自同态 / 向量空间

(41)

X' = PXP^{-1}

显然，关系“X和X'相似”是 $M_n(A)$ 上的*等价关系*，这意味着X和X'通过这个环的*内自同构*转换为一个另一个。

有了这个定义，no. 8的推论1到命题6可以用说来表示，当A-模E（具有有限的基）的基改变时，自同态u的矩阵新的基与旧的基相比，与u的矩阵*相似。

注 05X1

(1) 两个仅在阶行（或列的阶）不同的方阵是等价的，但一般来说*不相似*。矩阵类似于平方矩阵 $X = (x_{ij})$ 可以通过对行和列执行*相同的置换* $\sigma^{-1}$ 来获得，即考虑矩阵 $X' = (x'_{ij})$ ，其中每有序对指标 $x'_{ij} = x_{\sigma(i), \sigma(j)}$ ；因为如果相对于基 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ ，X是 $A^n_d$ 的自同态u的矩阵， $X'$ 相对于基 $(e_{\sigma(i)})_{1 \leq i \leq n}$ 是u的矩阵。

(2) 设X和 $X'$ 为阶n中的两个方阵，可写成方阵的对角线矩阵的形式(no. 7，例IV)：

X = \begin{pmatrix} X_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X_2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & X_p \end{pmatrix} \qquad X' = \begin{pmatrix} X'_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X'_2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & X'_p \end{pmatrix}

相应的与 X 和 $X'$ 的索引集合 $[1, n]$ 相同划分。如果，对于 $1 \leq i \leq p$ ， $X_i$ 和 $X'_i$ 等价（或类似），则 X 和 $X'$ 等价（或类似）：对于，如果 $X'_i = P_i X_i Q_i$ 对于 $1 \leq i \leq p$ ，则 $X' = PXQ$ 其中

P = \begin{pmatrix} P_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & P_2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & P_p \end{pmatrix} \qquad Q = \begin{pmatrix} Q_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & Q_2 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & Q_p \end{pmatrix}

计算“块”乘积（no. 6）如下。此外，如果 $Q_i = P_i^{-1}$ 对于所有i，则 $Q = P^{-1}$ 。

10. 张量积共矩阵超过交换环

令C为交换环、E、F、U、V四个C-模块和 $\phi : E \to U$ 、 $\psi : F \to V$ 两个C-线性映射。假设E、F、U、V分别有有限基 $(e_\lambda)_{\lambda \in L}, (f_\mu)_{\mu \in M}, (u_\rho)_{\rho \in R}, (v_\sigma)_{\sigma \in S}$ ；对于 $(e_\lambda)$ 和 $(u_\rho)$ ，令 $A = (a_{\rho \lambda})$ 为 $\phi$ 的矩阵，对于 $(f_\mu)$ 和 $(v_\sigma)$ ， $B = (b_{\sigma \mu})$ 为 $\psi$ 。对于每个有序对 $(\lambda, \mu) \in L \times M = N$ ，令 $g_{\lambda \mu} = e_\lambda \otimes f_\mu$ ；对于每个有序对 $(\rho, \sigma) \in R \times S = T$ 让 $w_{\rho \sigma} = u_\rho \otimes v_\sigma$ ； $g_{\lambda \mu}$ 然后 $E \otimes F$ 的形式基以及 $U \otimes V$ 的 $w_{\rho \sigma}$ 基（§ 3, no. 6，推论 2 到命题 7）。 $A$ 与 $B$ 的 张量积（记为 $A \otimes B$ ）为矩阵 $X = (x_{\tau v})_{(\tau, v) \in T \times N}$ ，其中元素由下式给出

x_{(\rho, \sigma), (\lambda, \mu)} = a_{\rho \lambda} b_{\sigma \mu}.

那么 $A \otimes B$ 是* $\phi \otimes \psi$ *相对于基* $(g_{\lambda \mu})$ *和* $(w_{\rho \sigma})$ 的*矩阵。定义 (§ 3, no. 2, 公式 (3))

\begin{align*} (\phi \otimes \psi)(g_{\lambda \mu}) &= (\phi \otimes \psi)(e_\lambda \otimes f_\mu) = \phi(e_\lambda) \otimes \psi(f_\mu) \\ &= \sum_{\rho, \sigma} a_{\rho \lambda} b_{\sigma \mu} (u_\rho \otimes v_\sigma) = \sum_{\rho, \sigma} a_{\rho \lambda} b_{\sigma \mu} w_{\rho \sigma}. \end{align*}

$A \otimes B$ 元素定义(42)表明，该矩阵对应与矩阵 $(a_{\rho \lambda} B)_{(\rho, \lambda) \in R \times L}$ 的矩阵以及矩阵 $(A b_{\sigma \mu})_{(\sigma, \mu) \in S \times M}$ (no. 5)双射。

事实上， $(\phi, \psi) \mapsto \phi \otimes \psi$ 是C双线性映射以及§ 3, no. 5的公式(9)，可以用恒等式来表示

\begin{align*} (A \otimes (B_1 + B_2)) &= A \otimes B_1 + A \otimes B_2 \\ ((A_1 + A_2) \otimes B) &= A_1 \otimes B + A_2 \otimes B \end{align*}

(43)

(cA) \otimes B = A \otimes (cB) = c(A \otimes B) \quad \text{for } c \in \mathbf{C}

(44)

(A_1 \otimes B_1)(A_2 \otimes B_2) = (A_1 A_2) \otimes (B_1 B_2)

(45)

当运算出现时被定义。矩阵张量积转置由下式给出

(A \otimes B)^t = (A^t) \otimes (B^t).

(46)

如果 $A$ 和 $B$ 可逆方阵超过 $\mathbf{C}$ ，则 $A \otimes B$ 可逆且

(A \otimes B)^{-1} = (A^{-1}) \otimes (B^{-1}).

(47)

设 $(e'_\lambda)_{\lambda \in L}$ 为 $E$ 的另一个基和 $F$ 的 $(f'_\mu)_{\mu \in M}$ 另一个基；如果 $P$ 是从基 $(e_\lambda)$ 到基 $(e'_\lambda)$ 的通道的矩阵以及从基 $(f_\mu)$ 到基 $(f'_\mu)$ 的通道 $Q$ 矩阵，从基 $(e_\lambda \otimes f_\mu)$ 到基 $(e'_\lambda \otimes f'_\mu)$ 经过的矩阵是 $P \otimes Q$ 。如果 $A'$ 与 $A$ 等价（或相似），并且 $B'$ 等价（或相似）至 $B$ ，则 $A' \otimes B'$ 与 $A \otimes B$ 等价（或相似）。

矩阵的张量积的定义可以以明显的方式推广到 $\mathbf{C}$ 上矩阵的任意有限数；特别是我们有结合性公式

\left( \bigotimes_{i \in I_1} X_i \right) \otimes \left( \bigotimes_{i \in I_2} X_i \right) = \bigotimes_{i \in I} X_i

对于有限索引集合 $I$ 的每个划分 $(I_1, I_2)$ 。

11. 矩阵的痕迹

设 $C$ 是一个*可交换的* 环；对于超过 $C$ 相应的的每个平方矩阵 $X = (x_{ij})$ 到有限索引集合 $I$ ， $X$ 的迹为元素

\operatorname{Tr}(X) = \sum_{i \in I} x_{ii}.

设 $E$ 为 $C$ 模，承认有限基 $(e_i)_{i \in I}$ ；对于 $E$ 中的每自同态 $u$ ，

\operatorname{Tr}(u) = \operatorname{Tr}(M(u))

相对于基 $(e_i)$ ， $M(u)$ 为矩阵 $u$ ；当这个公式应用于自同态 $x \mapsto \langle x, e_i^*\rangle e_j$ （其中 $e_i^*$ ）是 $(e_i)$ 的对偶基时，这立即从§ 4, no. 3，公式（17）开始；由此我们通过线性传递到一般情况。公式 (49) 表明

\operatorname{Tr}(u) = \sum_i \langle u(e_i), e_i^* \rangle

对于 $E$ 中的每个基 $(e_i)$ (cf. § 4, no. 3, 公式 (17))。

如果 $X$ 是 $C$ 上型 $(m, n)$ 的矩阵，并且 $C$ 上型 $(n, m)$ 的 $Y$ 矩阵，那么

\operatorname{Tr}(XY) = \operatorname{Tr}(YX)

由上述和§ 4, no. 3中的命题3如下； (52) 也可以直接求得，若 $X = (x_{ij}), Y = (y_{ji})$ ( $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ )，则

\operatorname{Tr}(XY) = \sum_{i,j} x_{ij} y_{ji}

由（49）。后者公式还证明：

命题 7 05X2

令 $C$ 为交换环，对于每个矩阵 $P \in \mathbf{M}_n(C)$ ，让 $f_P$ 在 $\mathbf{M}_n(C)$ 上为线性形式 $X \mapsto \operatorname{Tr}(PX)$ ；映射 $P \mapsto f_P$ 是 $\mathbf{M}_n(C)$ 的 $C$ 线性双射到其对偶上。

被以下引用 1

被以下引用命题 5, VIII § 17

命题 8 05X3

如果 $C$ 模块 $\mathbf{M}_n(C)$ 上的 $g$ 为线性形式，使得 $g(XY) = g(YX)$ 对于 $\mathbf{M}_n(C)$ 中的所有矩阵 $X, Y$ ，则存在且仅有一个标量 $c \in C$ ，使得 $g(X) = c \cdot \operatorname{Tr}(X)$ 对于每个矩阵 $X \in \mathbf{M}_n(C)$ .

由于命题对于 $n = 1$ 来说是微不足道的，因此注意力可能仅限于 $n \geqslant 2$ 的情况。将 $X = E_{ij},\ Y = E_{jk}$ 与 $i \neq k$ 相乘，得到 $g(E_{ik}) = 0$ ；然后用 $X = E_{ij},\ Y = E_{ji}$ 和 $i \neq j$ ，我们找到 $g(E_{ii}) = g(E_{jj})$ ；命题紧随 $\mathbf{M}_n(\mathbf{C})$ 的 $E_{ij}$ 形式基之后。

12. 矩阵超过域

The finite matrices with $m$ rows and $n$ columns over a field $K$ are in one-to-one correspondence with the linear mappings of the right vector space $E = K_d^n$ into the right vector space $K_d^m$ when the matrices of these mappings are taken with respect to the canonical bases of $E$ and $F$ . 由定义，这样的矩阵 $X$ 的*秩*对其来说是线性映射 $u : E \to F$ 相应的的秩；因为这个数是由 $F$ 的子空间 $u(E)$ 定义维数，所以它是相同的（识别 $X$ 的列与典范基的 $u$ 下的像） $E$ ）给出以下定义：

定义 7 05X4

Given a matrix $X$ with $m$ rows and $n$ columns over a field $K$ , the dimension of the subspace of $K_d^m$ generated by the $n$ columns of $X$ is called the rank of $X$ with respect to $K$ and denoted by $\operatorname{rg}(X)$ .

被以下引用 2

被以下引用命题 10, 推论, III § 8

也可以说， $X$ 的秩是 $X$ *线性无关的列的*最大值数（如 $K_d^m$ 的元素）。显然 $\operatorname{rg}(X) \leqslant \inf(m, n)$ ；对于 $X$ 、 $\operatorname{rg}(Y) \leqslant \operatorname{rg}(X)$ 的每个子矩阵 $Y$ 。

如果 $E$ 和 $F$ 是 $K$ 和 $E$ 的 $u$ 线性映射到 $F$ 的两个有限维向量空间，则矩阵 $M(u)$ 的秩相对于任意两个基等于秩共 $u$ 。

命题 9 05X5

如果矩阵 $X$ 中的元素具有 $m$ 行以及 $n$ 列属于至子域 $K_0$ 域 $K$ ，秩的 $X$ 相对于 $K_0$ 等于 $X$ 相对于 $K$ 的秩。

引用了 1

引用了命题 2, II § 8

设 $F_0$ 为右向量 $K$ -空间 $E = K_d^m$ 的典范基生成的右向量 $K_0$ -空间；由假设列至 $X$ 属于至 $E_0$ 。令 $V_0$ （或 $V$ ）为由这些列生成的 $F_0$ 的向量子 $K_0$ 空间（或向量 $E$ 的子 $K$ 空间）。然后是 $V = V_0 \otimes_{K_0} K$ (§ 8, no. 2, 命题 2)，因此是 $\dim_K V = \dim_{K_0} V_0$ 。

命题 10 05X6

矩阵 $X$ 超过域 $K$ 的秩等于其转置 ${}^t X$ 的秩超过相反的域 $K^0$ 。

引用了 3

引用了定义 7, 命题 3, 命题 10, II § 7

在记号引入之前定义7中， $u$ 的秩等于 ${}^t u$ （§ 7, no. 5，命题10），命题因此从no. 4，命题3得出。

由此可见， $X$ 的秩也可以定义为 $X$ *的线性独立行的*最大数（将它们视为左侧向量 $K$ -空间 $K_s^n$ 的元素）。

阶 $n$ 的方阵在域 $K$ 对应上双射，与 $E = K_d^n$ 的自同态和形式环同构于环

结束 $_{\mathbf{K}}$ (E) (no. 7); E 的相应的到自同构是可逆的方阵。

命题 11 05X7

设X为阶n除以域K的平方矩阵。以下属性是等效的：

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了推论, II § 7

被以下引用命题 12, 命题 5, VIII § 21

(a) X 在 $\mathbf{M}_n(\mathbf{K})$ 中可逆。 (b) X 在 $\mathbf{M}_n(\mathbf{K})$ 中是右可逆的。 (c) X 在 $\mathbf{M}_n(\mathbf{K})$ 中可逆。 (d) X 属于秩 n.

这只是 § 7, no. 4 的翻译，是命题 9 的推论。

命题 12 05X8

对于 n 个未知数中 m 个线性方程的系统

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了推论 4, II § 7, 命题 11

被以下引用命题 16, III § 8

\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i \quad (1 \leq i \leq m)

在域 K 上至少有一个解，系统和矩阵 B 的矩阵 $A = (a_{ij})$ 是必要且充分的，通过将 A 与第 $(n+1)$ 列接壤而获得，等于 $(b_i)$ ，为相同的矩阵秩.

可知(no. 4)，(54)中解的存在性等价于列 $(b_i)$ 是 $A$ 的列的线性组合和命题，因此从§ 7, no. 3推出推论4到命题4。

当 $m = n$ 和 $A$ 可逆时，注总是满足命题12的条件，即秩 $n$ （命题11）。如果 $x$ 和 $b$ 分别用1个列、 $(x_i)$ 和 $(b_i)$ 表示矩阵，则系统(54)等价于 $A.x = b$ ，其唯一的解为 $x = A^{-1}.b$ 。

13. 等价矩阵超过域

命题 13 05X9

设E、F为域K上的两个有限维向量空间。如果 $u : E \to F$ 是秩r的线性映射，则存在E和F的基，使得对于这些基，

M(u) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

K 上的型 $(m, n)$ 和秩 r 的每个矩阵相当于形式 (55) 的矩阵。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了 II § 7. 。向量空间, 定理 2, II § 7

被以下引用推论, 命题 14, 推论 2, VII § 4

第二个断言与第一个基本等价。为了显示后者，让 $\dim E = n$ ， $\dim F = m$ 。核 $N = u^{-1}(0)$ 为维数 $n - r$ (§ 7, no. 4, 公式 (11))；令V为E中N的子空间和E中的 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 基的补充，使得 $(e_i)_{1 \leq i \leq r}$ 是V的基和N的 $(e_i)_{r+1 \leq i \leq n}$ 基。则 $u(e_j)$ $(1 \leq j \leq r)$ 形式基共 $u(E)$ ；因此，存在 F 的基 $(f_j)_{1 \leq j \leq m}$ ，使得 $f_j = u(e_j)$ 对应 $1 \leq j \leq r$ (§ 7, no. 1, 定理 2)，并且显然关于基 $(e_i)$ 和 $(f_j)$ 矩阵 $M(u)$ 由 (55) 给出。

推论 05XA

对于型 $(m, n)$ 中的两个矩阵超过域，要等价，它们具有相同的秩是必要且充分的。

引用了 1

引用了命题 13

我们现在将通过另一个更明确地方法恢复命题13。对于 $[1, m]$ 中*不同*整数 $i, j$ 的每个环 $A$ 、每个 $\lambda \in A$ 、每个整数 $m > 1$ 和每个有序对，我们写

B_{ij}(\lambda) = I_m + \lambda E_{ij}

阶 $m$ 乘no. 8的可逆矩阵。

引理 1 05XB

设 $X = (\xi_{ij})$ 为型 $(m, n)$ 除环 $A$ 中的矩阵。假设 $m \geqslant 2$ ，并且在 $X$ 的第一个列中存在元素 $\xi_{i1}$ ，它在 $A$ 中可逆。那么在 $A$ 上存在型 $(m - 1, n - 1)$ 的两个可逆方阵 $P \in \mathbf{M}_m(A)$ 、 $Q \in \mathbf{M}_n(A)$ 和矩阵 $Y$ ，使得 $P$ （分别为 $Q$ ）为乘积矩阵形式 $B_{ij}(\lambda)$ 阶 $m$ （或 $n$ ）和

被以下引用 2

被以下引用命题 14, 习题 17, § 2

PXQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & Y & \\ 0 & & & \end{pmatrix}.

The matrix $B_{ij}(\lambda)X$ is obtained by adding to the row of $X$ of index $i$ the row of index $j$ multiplied on the left by $\lambda$ (no. 9, Example 2); if $\xi_{i1}$ is invertible, then there exists $\lambda \in A$ such that, for the matrix $X' = B_{1i}(\lambda)X = (\xi'_{kl})$ , $\xi'_{11} = 1$ ; multiplying $X'$ on the left by suitably chosen matrices $B_{k1}(\mu_k)$ of order $m$ (for $1 \leq k \leq m$ ), a matrix $X'' = (\xi''_{kl})$ is obtained such that $\xi''_{j1} = 1$ , $\xi''_{k1} = 0$ for $k \neq 1$ . 然后将得到的矩阵依次*在右边*乘以阶 $n$ $(2 \leq j \leq n)$ 的合适的矩阵 $B_{1j}(v_j)$ ，得到形式(57)的矩阵。

命题 14 05XC

设 $X$ 为型 $(m, n)$ 除域 $K$ 中的矩阵。如果 $X$ 是秩 $r$ ，则存在两个可逆的方阵 $P \in \mathbf{M}_m(K)$ 、 $Q \in M_n(K)$ ，使得 $P$ （或 $Q$ ）是阶的矩阵的乘积形式 $B_{ij}(\lambda)$ 中的 $m$ （分别为 $n$ ）和

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了引理 1, 命题 13

被以下引用注, 命题 17, III § 8

PXQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \delta_r & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

（矩阵 $(\eta_{ij})$ 的所有项都是零，除了 $\eta_{li}$ 代表 $1 \leq i \leq r$ ， $\eta_{li} = 1$ 代表 $1 \leq i \leq r - 1$ 、 $\eta_{rr} = \delta_r \neq 0$ ）。 *如果 $r \neq m$ 或 $r \neq n$ ，也可以假设为 $\delta_r = 1$ 。

如果 $X = 0$ ，则命题是明显的；因此假设 $X \neq 0$ 。如果 $m = n = 1$ 命题是明显的（ $P = I_m$ ， $Q = I_n$ ， $\delta_1 \neq 0$ 任意）。如果 $n = 1$ ， $m \geq 2$ ，我们可以应用引理 1（从 $X \neq 0$ 开始），这给出了所需的形式（58）和 $r = 1$ ， $\delta_r = 1$ 。我们通过归纳对 $n > 1$ 争论； $X$ 中存在元素 $\xi_{ij} \neq 0$ ；如果 $j = 1$ ，引理 1 可以应用，约化问题可以应用到 $X$ 有形式 (57) 的情况。归纳假设然后适用于 $Y$ ，因此有可逆的矩阵

P' \in \mathbf{M}_{m-1}(\mathbf{K}), \quad Q' \in \mathbf{M}_{n-1}(\mathbf{K})

which are products of matrices of the form $B_{ij}(\lambda)$ of order $m - 1$ (resp. $n - 1$ ), such that $P'YQ'$ is of the form (58). 但是，如果 $B_{ij}(\lambda)$ 属于对于例到 $\mathbf{M}_{m-1}(\mathbf{K})$ ，则

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & B_{ij}(\lambda) \end{pmatrix} = B_{i+1,\ j+1}(\lambda);

公式 (58) 然后从公式进行块乘积写作

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & P' \end{pmatrix} \text{ and } Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q' \end{pmatrix}.

如果最终 $j \neq 1$ ，对于上述情况考虑矩阵 $XB_{j1}(1)$ 到约化就足够了。

命题14立即恢复命题13。

推论 1 05XD

如果 $X$ 是阶 $n$ 在域 $\mathbf{K}$ 上的可逆平方矩阵，则存在阶 $n$ 的三个可逆矩阵 $P, Q, D$ 使得 $X = PDQ$ 、 $P$ 和 $Q$ 为形式 $B_{ij}(\lambda)$ 矩阵乘积和形式* $D$ 对角矩阵

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了习题 13, § 10

被以下引用例 3, VIII Appendix 2, 命题 9, VIII § 17

D = \operatorname{diag}(1, 1, \ldots, \delta),

其中 $\delta \neq 0$ (cf. 习题 13).

推论 2 05XE

对于每个域 $\mathbf{K}$ ，可逆矩阵 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{K})$ 的群由置换矩阵（no. 7，例2）生成，对角线矩阵 $\operatorname{diag}(a, 1, \ldots, 1)$ （ $\mathbf{K}$ 中的 $a \neq 0$ ）和矩阵 $B_{12}(\lambda)$ （ $\lambda \in \mathbf{K}$ ）。

被以下引用 1

被以下引用 LIE IV § 2. 。奶系统

已经看出(no. 9)，适当转置的矩阵乘矩阵的右（或左）乘积交换任意两个列（或行）。那么矩阵 $\operatorname{diag}(1, \ldots, 1, a)$ 等于 $\operatorname{diag}(a, 1, \ldots, 1)$ 和置换矩阵的乘积，并且每个矩阵 $B_{ij}(\lambda)$ 等于 $B_{12}(\lambda)$ 和置换矩阵的乘积，从而推论。

注 05XF

(1) 在章III中，我们将看到，如果 $m = n = r$ 和 $K$ 是*可交换的*，那么，对于 $P$ 的所有选择和命题14的 $Q$ 满足条件，元素 $\delta_r$ 始终相同且等于 $X$ (III, § 8, no. 6) 的*行列式*。

(2) 命题 14 的论证稍加修改，表明存在置换矩阵 $R$ 使得（ $P$ 上有相同的条件）

PX R = \begin{pmatrix} I_r & N \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

如果 $m = n = r$ 不成立，并且

PX R = \operatorname{diag}(1, \ldots, 1, \delta)

否则。还观察到，当显式给出 $X$ 时，证明的方法给出了矩阵 $P, Q, R$ 的显式确定。

引用了 2

引用了命题 14, III § 8. 。决定因素

习题

参见习题为 § 10。

§ 10。 矩阵

1. 定义共矩阵

定义 1 05WH

定义 2 05WI

2. 矩阵超过可交换性群

注 05WJ

3. 矩阵超过环

命题 1 05WK

4. 矩阵和线性映射

定义 3 05WL

命题 2 05WM

推论 05WN

命题 3 05WO

注 05WP

5. 块乘积

6. 半线性映射的矩阵

注 05WQ

7. 方阵

定义 4 05WR

注 05WS

8. 变换基

命题 4 05WT

命题 5 05WU

命题 6 05WV

推论 1 05WW

推论 2 05WX

注 05WY

9. 相当于矩阵；类似矩阵

定义 5 05WZ

定义 6 05X0

注 05X1

10. 张量积共矩阵超过交换环

11. 矩阵的痕迹

命题 7 05X2

命题 8 05X3

12. 矩阵超过域

定义 7 05X4

命题 9 05X5

命题 10 05X6

命题 11 05X7

命题 12 05X8

13. 等价矩阵超过域

命题 13 05X9

推论 05XA

引理 1 05XB

命题 14 05XC

推论 1 05XD

推论 2 05XE

注 05XF

习题

§ 10。矩阵